椭圆和双曲线练习题及答案

1、圆锥曲线测试题一、选择题(共12题，每题5分)221已知椭圆xr 1 (a 5)的两个焦点为、F2,且IF1F2I 8,弦 a 25AB过点E,则 ABF2的周长为()(A) 10(B) 20(C) 2河(D) 4,不222椭圆三 匕1上的点P到它的左准线的距离是 10,那么点P 100 36到它的右焦点的距离是()(A) 15 (B) 12 (C) 10 (D) 8223椭圆二 匕1的焦点F1、F2 , P为椭圆上的一点，已知PF1 PF2,259则 F1PF2的面积为()(A) 9 (B) 12 (C) 10 (D) 84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是()

2、(A) x2 y2 2(B) y2 x2 2(C)x2y24 或 y2x2 4(D)x2y22 或y2x22225双曲线-y- 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P169点到左准线的距离为()(A) 6(B) 8(C) 10(D) 126过双曲线x2 y2 8的右焦点F2有一条弦PQ |PQ|=7,F1是左焦点，那么 F1PQ的周长为()(A) 28(B) 14 8M (C) 14 8V2 (D) 8V27双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为F1、F2, F1MF2 120 , 则双曲线的离心率为()(A) M (B) ? (C)=(D)?2338在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦

3、长为反 焦点到相应准线的距离为 L则该双曲线的离心率为()2(A) -2- ( B) 2229如果椭圆人L(C) 2 ( D) 2 2线方程是（369)1的弦被点（4 , 2）平分，则这条弦所在的直(A) x 2y 0 (B) x22y 4 0 (C) 2x 3y 12 0 (D) x 2y210如果双曲线5 q 1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（(A) 436(B) 236(C) 26(D) 2 311中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是22x sin y cosA.D.12(0, £)，已知双曲线2 y b21 a 0,b的右焦点为F,过F且斜率为出的直线

4、交C于A、B两点，若AF则C的离心率为（A、6 B、7二、填空题（20 2213与椭圆上1-43D、）1具有相同的离心率且过点（2,-点）的椭圆的标准方程是4FB ,O14离心率e 一条准线为x 3的椭圆的标准方程2215以知F是双曲线义工1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的412动点，则PF| |PA的最小值为2216已知双曲线与当1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 a bE( c,0), F2(c,0),若双曲线上存在一点P使sn3 工则该双曲线 sin PF2F1 c的离心率的取值范围是.三、解答题(70)17)已知椭圆C的焦点F1 ( 2a 0)和F2 C 0),长轴长6,

5、设直线y X 2交椭圆C于A B两点，求线段AB的中点坐标。2218)已知双曲线与椭圆x-么1共焦点，它们的离心率之和为925吆，求双曲线方程.519)求两条渐近线为x 2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为野 的双曲线方程。20. (1)椭圆C* 2 1(a>b>0)上的点A(1,8到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程；(2) 设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段FiK的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,当直线PM PN的斜率都存在弁记为kpMNkpN时，那么kpM kpN是与点P位置无关的定值。试对双

6、曲线22x2y产b21写出具有类似特性的性质,弁加以证明。2解：(1) a * 1(2) 设中点为(X,y), F(X 2)2 y2-4- T 11(-1,0) K(-2-x,-y)设 M(x1,y 1), N(-x1,-y 1), P(x o,y则y2b2d1)2y1b2d 1)kPM kPNyo y1Xo X1yo y1Xo X1yoy122Xo X12 X b (2"X0 X1b22 a为定值。21 (1)当k为何值时,直线l与双曲线有一个交点,没有交点。若P为弦AB(2)过点P (1, 2)的直线交双曲线于 A、B两点,的中点，求直线AB的方程;(3)是否存在直线l,使Q (

7、1, 1)为l被双曲线所截弦的中点。若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线Cl的斜率存在时，设直线l的方程为y 2=k(x 1)，代入C的方程，弁整理得(2 -k2)x 2+2(k2-2k)x k2+4k 6=0(*)(i )当2k2=0,即k=± /时，方程(*)有一个根，l与C有一个交占 I 八、 (ii)当 2k2中0,即 k± V2时A = 2(k22k) 2 4(2k2)( k2+4k6)=16(3 -2k)当A =0,即3-2k=0,k= ”寸，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当A &g

8、t; 0,即kv 3,又k ±也，故当k v 五或一V2 < k 2尤或&vkv|时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当AV0,即k>|时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=± <2 ,或k=| ,或k不存在时，l与C只有一个交占.I八、)当亚v kv。，或一行v kv收，或kv 正时，l与C有两2个交占.I八、)当k>3时，l与C没有交点. 2(2)假设以P为中点的弦为 AB,且A(xi,y i),B(x 2,y 2),则2xi2 yi2=2,2x 2 y22=2 两式相减得： 2(x 1 X2)(x i+X2)=(y

9、1 y2)(y i+y2)又 ; Xi+X2=2,y i+y2=42(xi X2)=y 1 yi即kAB= yy2 =1x1 x2但渐近线斜率为土 行，结合图形知直线 AB与有交点，所以以P 为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 2x； y；=2,2x 22 y22=2 两式相减得：2(x 1 x2)(x 1+x2)=(y 1 y2)(y 1+y2)又 : x1+x2=2,y 1+y2=2. 2(x 1 x2)=y 1 y1 即kAB=应2 =2x1 x2但渐近线斜率为土 J5,结合图形知直线 AB与C无交点，故假设

10、 不正确，即以Q为中点的弦不存在.22_13)与椭圆二 工1具有相同的离心率且过点(2, -«)的椭圆43222,2的标准方程是 A 匕1或竺”1。一 86252514)离心率e迤，一条准线为x 3的椭圆的标准方程是322X 9y 1 o52017)已知椭圆C的焦点Fi ( 2金,0)和F2(2凡0),长轴长6,设直线y x 2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。(8分)解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=2V2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：2XL2 1y2 1.联立方程组 8 y 1,消去y得，10x2 36x 27 0.9y x 2设 A( xi,yi

11、),B( x2,y2 ),AB 线段的中点为 M( x0, y0 )则：18_xi x2 9“ x27, x0=h 5所以y0 = x0+2=1.也就是说线段AB中点坐标为(-9, 1). 55 52218)已知双曲线与椭圆 J y- 1共焦点，它们的离心率之和为925廿，求双曲线方程.(10分) 5解：由于椭圆焦点为F(0, 4),离心率为e=4,所以双曲线的焦点 5为F(0, 4),离心率为2,从而 c=4,a=2,b=2 .3.22所以求双曲线方程为：土工1.41220)求两条渐近线为x 2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为啦 3的双曲线方程。(10分)解：设双曲线方程为x2-4y2

12、=.22-C联立方程组得：x-4y =，消去y得，3x2-24x+(36+ )=0x y 3 0设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(x1,y)B( xz.),那么：x1 x2 836x1x232242 12(36) 0那么：|AB|= (1 k2)(xi x2)2 4x1x2 ,(1 1)(82 4 363 ) , 8(1； ) 8332解得：=4,所以，所求双曲线方程是：上 y2 14椭圆基础训练题1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是 5: 3,焦距是8,焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是()(C) x- + y- =1 (D) 土 35925(A)x2+y2 = i(B)xi + yl=i53

13、2592,椭圆x2 + ' = 1的两条准线间的距离是(5450(A) 2<5(B) 10(C) 15(D)33.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()(A) 1 (B)号(C)手(D) ? 22234,椭圆十广=1上有一点P,它到右准线的距离是9,那么P点到左准线的距离 2594是()。(A) 9(B) 16(C)竺(D) 4155455,已知椭圆x2 + 2y2 = m,则下列与m无关的是()(A)焦点坐标(B)准线方程(C)焦距 (D)离心率6椭圆mx2+y2=1的离心率是夸,则它的长半轴的长是()1(A) 1(B) 1 或 2(C) 2(D) 1或 1

14、7.椭圆的中心为 O,左焦点为F1, P是椭圆上一点，已知 PF1O为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是()(A) <3-1 (B) 3- 33(C) J3(D) 1228 .若椭圆 匕=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是。3m 12 m9 .椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30。的弦长为2则此椭圆的标准 方程是。10 .椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分度的两段的比例中 项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为 箸，求此椭圆的方程。11 .证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值

15、。12 .已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=|,长轴长为6,那么椭圆的方程是（）。(A)+ 丫=1 36 20(C)xi+z!=1 95(B) + =1£ + =1(D)36 2020 36x2 y2x2y2+ =1或+ =113 .椭圆25x2+16/=1的焦点坐标是（）133（A）（±3,。）（B） （土 3,。）（C）（±a。）（D）（0，±20），4(A) V=Qx14 .椭圆4xJ=1的两个焦点F1, F2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率 b+y2=4的准线方程是（）(B) x= 443 y (C) y= V3(D) x= V333

16、324=1 （a>b>0）上任意一点到两个焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为2c,若 b2di, 2c, d2,成等差数列则椭圆的离心率为（1(A) 2(B)n(C)三(D)216.曲线£25+亡=1与曲线92x25- k+ 上=1（k<9）,具有的等量关系是（）9 k（A）有相等的长、短轴 （C）有相等的离心率（B）有相等的焦距（D） 一相同的准线17.椭圆2+21a是（）。,3 （A）y(B)国33 6、6(C)可(D)-18. P(x, y)是椭圆亡+16j1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线PD, D是垂足,M是PD222yr1©X1(D)1636的

17、中点，则M的轨迹方程是（）222(A)45=1(B) +496419.已知椭圆的准线为x=4,对应的焦点坐标为(2, 0),离心率为，那么这个椭圆的方2程为()0(A) x-+ y-=1(B) 3x2 + 4y2 8x=0(C) 3x2-/2-28x4 60=0(D) 2x2 + 2y2-7x+ 4=020.椭圆x-+ y-=1上的一点P到它的右准线的距离是10,那么P点到它的左焦点 10036的距离是()。(A) 14(B) 12 (C) 10(D) 821.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3, 2),过P点的弦恰好以P为中点，那么这条弦所 在的直线方程是()0(A) 3x-2y-12

18、=0(B) 2x+3y- 12=0(C) 4x+ 9y-144=0(D) 4x- 9y-144=022 .椭圆4x2+16y2=1的长轴长为,短轴长为,离心率为,焦点坐标 是,准线方程是 。23 .已知两点A(3, 0)与B(3, 0),若|PA|+|PB|=10，那么P点的轨迹方程是24 .椭圆3x2+y2=1上一点P到两准线的距离之比为2 : 1,那么P点坐标为25 .已知椭圆+y2=1的两焦点为F1, F2,上顶点为B,那么 F1BF2的外接圆方程 为。26 .椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为 竺 方，焦距为2«,则椭圆的5 方程为。 2227 .椭圆的长、短轴都在

19、坐标轴上，和椭圆 , ' 1共焦点，并经过点P(3, 2), 则椭圆的方程为。28 .椭圆的长、短轴都在坐标轴上，经过 A(0, 29B(：, *3)则椭圆的方程为 。29 .才岬的不、短轴都在坐标轴上，焦点间的距离等于长轴和短轴两端点间的距离， 且经过点 P( 13, (3)，贝U椭圆的方程为 。30.在椭圆x- +40弦AB所在的直线的方程。2 y_ 1o=1内有一点M(4, 1),使过点M的弦AB的中点正好为点 M,求31.32.2在椭圆十2522%=1上求一点P,使它到两焦点的距离之积等于短半轴的平方数。椭圆X2嗫=1的焦距等于()(A) 4 (B) 8(C) 16 (D) 1

20、2V333. F是椭圆的一个焦点，BB'是椭圆的短轴，若 BFB'是等边三角形，则椭圆的离 心率e等于()。(A) 1(B) 1(C) (D)422234.椭圆x +广=1的两条准线间的距离是()。204(A) 10 (B) 5 (C) <5(D)呼235.椭圆、 m2_=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是() (m 1)2(A)全体实数 (B) m< -且 mw1 (C) m>-且 m*0 (D) m>0的椭圆方程是(A) x2+匕=142221+ >(C)-12237.到定点(电,0)和定直线x= 77的距离之比为 立 的动点轨迹方程是()。7

21、4(A)916亡=1(B)贮 +16二12(C) +y2=1(D)8x2 +/1238.直线y=kx+2和椭圆+y2236.与椭圆与+.1共焦点，且经过点P (学1)=1有且仅有一个公共点，则4，3，3(A) y (B) ±y39.过椭圆x- + y2=1的一个焦点且倾角为-的直线交椭圆于M、N两点，则I MN I 96等于()。(A) 8(B) 4 (C) 2(D) 140 .如果椭圆x- + y-=1上有一点P,它到左准线的距离为2.5,那么P点到右焦点的 259距离与到左焦点的距离之比是()。(A) 3 : 1(B) 4 : 1(C) 15 : 2(D) 5 : 141 .如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比 是()。(A) 4 : 1(B) 9 : 1(C) 12 : 1(D) 18 : 142 .已知椭圆的两个焦点是F1( 2, 0)和F2(2, 0),两条准线间的距离等于13,则此椭 圆的方程是。244.椭圆篙十43 .方程4x2+m=1表示焦点在y轴上