不等式知识点归纳大全

1、不等式知识点归纳.（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.解分式不等式f5aa0的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，Xgx的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回）；含方西个绝对值的丕笠式如何去绝对值?一一工二股是分类讨论二一壬方转化或换元转化）；（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集二、利用重要不等式ab2m布以及变式ab（ab）2等求函数的最值时，务必注意a,bR（或a,b非负），且等号成立”时的条件是

2、积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）.三、.常用不等式有：&b工、（根据目标不等式左右的运算结构选用）a、b、abcR,a2b2c2abbcca（当且仅当abc时，取等号）a3 b3 c 3 3abc ( a四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：c0l式即可成立，abc或abc0时取等）；,3,33abc3abcabc()32JE,若积xyP（定值），则当xy时和xy有最小值（和定积最大）x, y 0,由x yZ7xy,若和x yS（定值），则当xy是积xy有最大值s2.4_11R,右axby1,则有则一的最小值为:xyby axa b ax yb 2、ab1111

3、一一(axby)(-)xyxy1等式到不等式的转化：已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是.2xy 8 (x 2y)x 2y 8 (x 2y)_2(x 2y)4_2即”卫4(x 2y) 8 0(x 2y 8)(x 2y 4) 0解得x 2y8(舍)或x 2y 4故x+ 2y的最小值是4如果求xy的最大值，贝U2xy 8 (x 2y)x 2y 8 2xy 2J2xy ,a 00;2然后解关于Jxy的一元二次不等式，求xy的范围，进而得到xy的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、配方、函数单调性分析法和放缩法(注意：对整式，

4、分式绝对值丕等式:的放缩途径,等:对放统一匹影响)七、含绝对值不等式的性质：a、b同号或有0|ab|a|b|a|b|ab|;a、b异号或有0|ab|a|b|a|b|ab|.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题含参不等式包成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，具以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的函数与方程”、化归与转化”、数形结合”、分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、函数法kxb,xm,n有:f(x)

5、0包成立f(m)f(n)00，f(x)0包成立f(m)0f(n)00,xR)有:62 )f(x)0对xR包成立(3)不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题例1.设f3x22mx2,当x1,)时，f(x)m包成立，求实数m的取值范围解：设F(x)x22mx2m,则当x1,)时，F(x)0包成立当4(m1)(m2)0即2m1时，F(x)0显然成立；当0时，如图，F(x)0包成立的充要条件为：0F(1)0解得3m2。综上可得实数m的取值范围为3,1)。3 12、最值法:将不等式包成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:(1) f(x)a恒成立af(x)min(2) f

6、(x)a恒成立af(x)max232例2.已知两个函数f(x)8x216xk,g(x)2x35x24x,其中k为实数.(1)若对任意的x3,3,都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的xPx23,3,都有f(xjg(x2),求k的取值范围.(3)若对于任意x解：(1)令 F(x)3,3，总存在x03,3使得g(x0)f(x1)成立，求k的取值范围.g(x)f(x)2x33x212xk,问题转化为F(x)0在x3,3上恒成立，即F(x)min0即可(2)由题意可知当x33时，都有f(x)maxg(x)min.(3)于任意x3,3，总存在x03,3使得g(xO)f(x1)成立，等

7、价于fx的值域是gx的值域的子集，三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1) f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2) f(x)g(a)(a为参数)包成立g(a)f(x)max例3:已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)=1，若m,n1,1,mn0时f(m)f(n)0,若mnf(x)t22at1对于所有的x1,1,a1,1恒成立，求实数t的取值范围.解：题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量

8、，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数，故f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1，则f(x)t22at1对于所有的x1,1,a1,1恒成立1t22at1对于所有的a1,1恒成立，即2tat20对于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只要g(1)0,g(1)0t2或t2或t0.四、变换主元法理含参不等式包成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行换位”思考，往往会使问题降次、简化。例4:,不等式x2(a4)x42a0包成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上包成立的问

9、题。解：令f(a)(x2)ax24x4,则原问题转化为f(a)0恒成立(a1,1)。当x2时，可得f(a)0,不合题意。当x2时，应有f(1)0解之得x1或x3。f(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式包成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着密切的联系：1) f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；2) f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方.例5.设函数f(x) axx24x,g(x)axa,若恒有f(x)g(x)成立，试求实数a的

10、取值范围.2x 4x ax 2a,2a.4,yi 0),它表示以(2,0)为圆心，2为(-2,0),以a为斜率的直线，要使解：由题意得f(x)g(x)令yidx24x,y2ax可化为(x2)2y24(0x半径的上半圆；表示经过定点f(x)g(x)包成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示).当直线与半圆相切时就有|2!2a|2,即a由图可知，要使f(x)g(x)包成立，实数a的取值范,1a23围是a,33六、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例6:x2,2时，不等式x2ax3a恒成立，求a的取值范围。解：设

11、fxx2ax3a,则问题转化为当x2,2时，fx的最小值非负。(1)当a2即：a4时，fxminf273a0a7又a4所以a不存在；2min3aaa2(2)当2a2即：4a4时，fxf3a06a2又2min244a44a2a(3)当一2即：a4时，fxminf27a0a7又a47a4min综上所得：7a2例7:已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a,如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.解析：由函数f(x)的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就a0和a0两类情况进行讨论。解：函数yf(x)在区间-1,1上有零点，即方程f(x)2ax22x3a=0在-1,1上有解，a=0时，不符合题意，所以aw0方程f(x)=0在-1,1上有解f(1)f(1)0或af(1)0a