第六节傅里叶级数ppt课件

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第六节第六节 傅里叶级数傅里叶级数 上面我们已经研究了用幂级数来表示一个函数f(x),该函数的幂级数展开式是以多项式的形式逼近非多项式函数, 现在我们要研究的傅里叶级数展开是解决三角多项式近似 表达函数的问题. 有了幂级数的展开式,为什么还要研究傅里叶级数.这是 因为幂级数展开对函数的要求太高. 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 (1)要求函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数. (2)如果具备条件1后,还要求它的余项极限为0,否则就不是该函数的幂级数展开式. 相反,傅里叶级数对函数的要

2、求就低很多,它只要求函数连续,即使函数不连续，但它允许只有有限个第一类间断 点,或有从某一阶开始的导数不存在的点.所以在工程中,广泛应用傅里叶级数.下面,我们对傅里叶级数的展开式进行介绍.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系1.三角级数,)sincos(210的级数叫做三角级数形如nnnnxbnxaa2.三角函数系为:一一 三角函数三角函数, ,三角函数系的正交性三角函数系的正交性;.)3 , 2 , 1(,0都是常数其中nbaann 1.cosx,sinx, cos2x, sin2x,.,cosnx, sinnx,3.三角函数系的正交性: 三角函数系在-,上

3、正交,是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间-,上的积分等于零.即:高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系,.)3 , 2 , 1(0cos1) 1 (nnxdx),.,3 , 2 , 1,(0coscos)4(nknknxdxkx,.)3 , 2 , 1(0sin1)2(nnxdx,.)3 , 2 , 1,(0cossin)3(nknxdxkx),.,3 , 2 , 1,(0sinsin)5(nknknxdxkx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系现选择(4)式用计算定积分来验证,由积化和差可得到:)cos()cos(

4、21coscosxnkxnknxkx时有当nk dxxnkxnknxdxkx)cos()cos(21coscos),.3 , 2 , 1,(nknk0)sin()sin(21nkxnknkxnk高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系注意:在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间-,21) 1 (2dx,.)3 , 2 , 1(22cos1sin)2(2ndxnxdxnx|42sin2122cos1sin2nnxdxnxdxnx我们把(2)式进行证明:上的积分不等于零,即,.)3 , 2 , 1(22cos1cos)3(2ndxnxdxnx高等数学电子教案高等数学

5、电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 1, 函数展开成傅立叶级数的含义:10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf并设三角级数可逐项积分.二二 函数展开成傅立叶级数函数展开成傅立叶级数若f(x)是周期为2的周期函数,且f(x)能展开成三角级数:若a0,a1,b1,.能表达为与f(x)有关的积分表达式:高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dxxfa)(10,.)3 , 2 , 1(cos)(1nnxdxxfan,.)3 , 2 , 1(sin)(1nnxdxxfbn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系将a0,a

6、1,b1,代入三角级数的右端,得到10)sincos(2kkkkxbkxaa则此式称为函数f(x)的傅立叶级数.其中a0,a1,b1,叫做f(x)的傅立叶系数.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系2.傅立叶系数a0,a1,b1,的导出:10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf从-到逐项积分:sincos2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk由三角函数系的正交性:dxxfaaadxxf)(122)(000(1)a0: 把高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)an和bn:两端,再从-到逐项积分,得到nxd

7、xanxdxxfcos2cos)(0由三角函数系正交性,等式右端除k=n 一项外,其余各项nnnadxnxanxdxanxdxxf22cos1coscos)(210)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 用cosnx乘cossincoscos1nxdxkxbnxdxkxakkk均为零.,.)32 , 1(sin)(1:，类似可得到nnxdxxfbn,.)32 , 1(cos)(1:，即nnxdxxfan高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系3. 收敛定理(狄里克雷充分条件)0()0(21xfxf设f(x)是周期为2的周期函数,如果它满足: (1)在一个周

8、期内连续或只有有限个第1类间断点; (2)在一个周期内至多只有有限个极值点.则f(x)的傅立叶级数收敛于并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系狄里克雷充分条件的解释: (1)即函数f(x)在-,上不作无限次振动,函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值f(x). (2)在间断点,则收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 设f(x)是周期为2的周期函数,它在求解(-1,1上定义为)(xf1001.

9、 23xxx则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于分析: 根据收敛定理, f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于)01()01 (21)0()0(21ffxfxf现在我们研究狄里克雷收敛定理的应用:232|2113xx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 设f(x)=2-x (0 x2), 而)(2sin)(1xxnbxSnn其中), 2 , 1(2sin)(20ndxxnxfbn求S(-1)和S(0)分析: S(x)是f(x)在0,2上的傅里叶正弦级数,也是奇函数2-2-22xy020,202,2xxxxF(x)=高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技

10、学院数理系武汉科技学院数理系在-2,2上的傅里叶正弦级数,由狄里克雷定理,在F(x)的连续点x=-1处 S(-1)=F(-1)=-2-(-1)=-1在F(x)的间断点x=0处 S(0)=F(0-0)+F(0+0)/2=-2+2/2=0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例3 设f(x)是周期为2的周期函数,它在-,)上的)(xfxx0101把f(x)展开成傅立叶级数.x-2-01-1解:对于傅里叶级数,首先作图. 因为在图中,我们可看出其展开后的情况表达式为高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(1)因为函数满足收敛定理条件,在

11、点x=k0211)0()0(21ff(k=0,1,2,.)处不连续,所以在间断点x=k处,级数收敛于高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)xk时,级数收敛于f(x)., 计算傅立叶系数:nxdxxfancos)(100sin11sin)1(1sin)(1nxdxnxdxnxdxxfbn,.)3 , 2 , 1 , 0(0cos11cos)1(100nnxdxnxdx1coscos1 1cos1cos100nnnnnxnnx)1(1 2nnnbnn4,.7 , 5 , 3 , 1当0,.8 , 6 , 4 , 2nbn当高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉

12、科技学院数理系武汉科技学院数理系x-2-01-1(3)傅立叶展开式为:.) 12sin(121.3sin31sin4)(xkkxxxf 如果把例1中的函数理解为矩形波的波形函数(周期,.)2, 0,(xxT=2,辐值E=1,自变量x表示时间),那么上面所得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的,这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系周期延拓:)0()0(21ff 若f(x)不是周期为2的周期函数,只在-,上有定义,并满足狄里克雷充分条件,可在-,)或(-,外补充函数定义,使f(x)拓广为周期为2的周期函

13、数F(x),称这种拓广函数定义域的过程为周期延拓.把F(x)展开为傅立叶级数,最后限制x在(-,)内,此时F(x)f(x)即得f(x)的傅立叶级数展开式.注意:由狄里克雷充分条件,该级数在区间端点x=,收敛于:高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例4 把函数 f(x)=-x, -x0 x, 0 x 展开成傅立叶级数.解: (1) f(x)在-,上满足狄里克雷充分条件,把f(x)拓xy-2-2广为周期函数,该周期函数的傅立叶级数在-,上收敛于f(x).高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)计算傅立叶系数:nxdxxfanco

14、s)(1=,.)6 , 4 , 2(0,.)5 , 3 , 1(42nnn00cos1cos)(1nxdxxnxdxx0202cossin1cossin1nnxnnxxnnxnnxx) 1(cos22nn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系0001)(1)(1xdxdxxdxxfanxdxxfbnsin)(102022121xx00sin1sin)(1nxdxxnxdxx0202sincos1sincos1nnxnnxxnnxnnxx,.)3 , 2 , 1(0n高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(3)把傅立叶系数代入10)

15、sincos(2)(nnnkxbkxaaxf)(.5cos513cos31cos42)(22xxxxxf得到 利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当x=0时,f(0)=0.于是由这个展开式得到高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.513118222.5141312112222设)8.(513112221.6141212222.51413121122223243442122126248222211264222213高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系三三 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 本节研究的是:(一).奇函

16、数和偶函数的傅立叶级数,.)2,1 ,0(0nan (一). 奇函数和偶函数的傅立叶级数 (二). 函数展开成正弦级数或余弦级数.1.定理: 设f(x)是周期为2的函数,在一个周期上可积,那么:(1)当f(x)为奇函数时,它的傅立叶系数为,.)2,1(sin)(20nnxdxxfbn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间(2)当f(x)为偶函数时,它的傅立叶系数为,.)2 , 1 , 0(cos)(20nnxdxxfan f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间上积分的两倍,.)2 , 1(0nbn上

17、积分的两倍高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系证明: 现在只证明(1): 设f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x)nxdxxfancos)(100cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf,xx 令对右边第一式下限积分上则,)(),()(dxxdxfxf0 ,0 ,换为由 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系0)()cos()(1xdnxxfan0cos)(1nxdxxf0cos)(1nxdxxf0cos)(10nxdxxf)()sin()(1:0 xdnxxfbn同理0sin)(1nxdxxf,.)3 , 2 ,

18、1(sin)(20nnxdxxf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(二). 正弦级数和余弦级数正弦级数: 若f(x)为奇函数,则f(x)的傅立叶级数只含有正弦项nxbnnsin1称为正弦级数.余弦级数: 若f(x)为偶函数,则f(x)的傅立叶级数只含有余弦项nxaanncos210称为余弦级数高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 设f(x)是周期为2的周期函数,它在-,)上的表02)(2)0()0(ff达式为f(x)=X,把f(x)展开成傅立叶级数.解:f(x)符合狄里克雷条件,其不连续点为:x=(2k+1) (k=0,

19、1,2.)故在不连续点处,f(x)的傅立叶级数收敛于高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系在连续点x(x(2k+1)处,f(x)的傅立叶级数收敛于f(x).xy1-1-2-2因为f(x)为奇函数,故可展开为正弦级数此时an=0 (n=0,1,2,3,)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系00sin2sin)(2nxdxxnxdxxfbn一个函数展开成傅里叶级数,它具有正弦级数的项和余弦,.)3 , 2 , 1() 1(2cos2sincos2102nnnnnnxnnxxn.)sin) 1(.3sin312sin21(sin2)(

20、1nxnxxxxfn,.)3,(xx级数的项.如果该函数是奇函数(或偶函数),则它的傅里叶级数的展开式只有正弦级数的项(或余弦级数的项),计算简单.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系讨论:把定义在区间0,上的函数f(x)展开成正弦级数二二 函数展开成正弦级数和余弦级数函数展开成正弦级数和余弦级数或余弦级数(非周期函数)1.奇(偶)延拓:f(x)在0,上满足狄里克雷条件,在(-,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-,上的函数F(x),使F(x)在(-,)上成为奇函数(偶函数),称此种拓广函数定义域的过程为奇(偶)延拓.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系2.F(x)展开成正弦级数(余弦级数) 把奇(偶)延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x).的正弦级数或余弦级数.3.f(x)的正弦(余弦)级数展开式: