第六节柯西中值定理与洛必达法则ppt课件

1、定理定理3.10 (柯西中值定理柯西中值定理) ,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得, 0)( xF)()()()()()( FfaFbFafbf 3.6 柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理与洛必达法则(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导, 且且3.6.1 柯西中值定理柯西中值定理若函数若函数 f (x)及及 F (x)满足满足:例例1 1 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf证证,)(),()(xxFxxfxg 设设)()()()( ffabaafbbf ),(ba

2、 使得使得即即).()()()( ffabaafbbf ),()()(xfxxfxg 则则,)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在因因baxFxg,)()()()( Fgabaafbbf ,),( 内至少存在一点内至少存在一点在在ba使得使得)()()(lim)3( 或或Axgxfx ; 0)(,)(),()2( xgxgxf并并且且可可导导0)(lim, 0)(lim)1( xgxfxx )()(limxgxfx ).()()(lim 或或Axgxfx 3.6.2 洛必达法则洛必达法则定理定理3.11 ( 型的洛必达法则型的洛必达法则)00那那么么设设 在在 的某空心

3、邻域内满足下列条件的某空心邻域内满足下列条件: )(),(xgxf )(),(,00)()(xgxfxgxf 且且型型仍仍属属 )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfxxx 定理的条件定理的条件, , 可继续使用洛必达法则可继续使用洛必达法则. . 假如假如满足满足即即)()()(lim)3( 或或Axgxfx ; 0)(,)(),()2( xgxgxf并并且且可可导导 )(lim,)(lim)1(xgxfxx )()(limxgxfx ).()()(lim 或或Axgxfx 定理定理3.12 ( 型的洛必达法则型的洛必达法则) 那那么么设设 在在 的某空心邻域内满

4、足下列条件：的某空心邻域内满足下列条件： )(),(xgxf 例例2 2 求求解解.2coslim2 xxx)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx )00(. 12sin 例例3 3 求求解解.123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(例例4 4 求求解解.tantanlim20 xxxxx 30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 31 )00(200lims1tamcn3elixxxxx 注意注意: : 洛必达法则是

5、求未定式的一种有效方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法, ,与其它求极限方法结合使用与其它求极限方法结合使用, , 效果更好效果更好. .例例5 5 求求解解0()0.)1(132lim220 xxxxxeexee28lim20 xxxee xeexxx234lim20 2200132lim1limxxeeexxxxx 原式原式27 例例6 6 求求解解注意洛必达法则的使用条件注意洛必达法则的使用条件!0()0极限不存在极限不存在此时不能使用洛必达法则此时不能使用洛必达法则. .sin1sinlim20 xxxx0 xxxxxcos1cos1sin2lim0 原式原式xxxxxxxx1sin

6、limsin1sinlim2020 xxx1sinlim0 例例7 7 求求解解)( 例例8 8 求求解解)( ).0,(lim Nnexxnx).0(lnlim nxxnx11lim nxnxx原式原式nxnx1lim . 0 xnxenx 1lim 原式原式xnxexnn 22)1(lim xnxen !lim 0 例例9 9 求求解解.3tantanlim2xxx xxxxx3sincos3cossinlim2 原原式式xxxsin3sin3lim2 3 )( )00( xxxcos3coslim2 其它五类未定型可化为其它五类未定型可化为 ,00 0. 1方法方法:,)(1)()()(

7、xfxgxgxf 例例10 10 求求解解)0( .limxxxe.)(1)()()(xgxfxgxf 或或. 0 xxex lim原式原式xxe 1lim型型例例11 11 求求解解)( .00 . 2.111lim0 xexx)1(1lim0 xxxexex原式原式201limxexxx xexx21lim0 21 )()(1)(1)(1)()(xgxfxfxgxgxf 方法方法:型型00,1 ,0. 3 00)(10,)(xgxf.0 例例12 12 求求解解.lim0 xxx )0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 10 exxxe1lnlim0 )(ln)(xfxg取取对对数数方法方法:型型例例13 13 求求解解.lim111xxx )1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例14 14 求求解解.)(cotli