复变函数和积分变换41复数项级数和幂级数ppt课件

1、第四章 级数1 复数项级数与幂级数1. 复数列的收敛与发散 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作nnlim此时也称复数列an收敛于a.定理一定理一 复数列复数列an(n=1,2,.)收敛于收敛于a的充要的充要条件是条件是bbaannnnlim,lim证 . | |,max|bbaaaaaannnnn小结论：小结论：. 0|lim0limnnnn推论：若实数列an与bn中有一个发散，则复数列n一定发散。例1. 下列数列是

2、否收？如果收敛，求出其极限.)21 ()3(;cos) 1()2(;1sin)11 () 1 (nnnnnniinininn2 复数项级数 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式nnn21111,lim.,.nnnnnnnsss 则 级 数称 为 收 敛并 且 极 限称为 级 数 的 和如 果 数 列不 收 敛则 级 数称 为 发 散称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛, 小结论：若复数项级数1+ 2+n+收敛，则其通项n极限为零。例2. 当|1,判断级数1+ 2+n+是否收敛？定理二定理二 级数级数 收敛收敛

3、级数级数 和和 都收敛都收敛.证证 sn=a1+a2+.+an =(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn) =sn+itn由定理一由定理一, sn有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是sn和和tn的极限存在的极限存在, 即级数即级数 和和 都收都收敛敛. 1nn1nna1nnb 1nna 1nnb定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数收敛问题.0lim,0lim,0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbaba收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果定义：n

4、nnn定理三定理三.,|11也收敛则收敛如果nnnn. | |,|22nnnnnbaba由证定理四定理四.|111收敛和收敛如果nnnnnnaa. | |,|22nnnnnnnbababa证例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.11)1;2)cosinnneninn1111co ssin111co s,1sin.lim1,lim011lim1 .innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben 数 列收 敛 , 且 有 解 1) 2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散. 例3 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?1011(8

5、)( 1)11)1; 2);3)!2nnnnnniiinnnn解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.111nnnan2111nnnbn2) 因 , 由正项级数的比值收敛法知 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛.(8 )8!nninn18!nnn3) 因 收敛; 也收敛,故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数不是绝对收敛.1( 1)nnn112nn1( 1)nnn三、 幂级数 设fn(z)(n=1,2,.)为区域D上的(复变)函数序列,表达式)2 . 1 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为(复变)函数项级数. 最前面n项的和Sn(z)=f1(z)+f2(z

6、)+.+fn(z)称为这级数的部分和.存在, 则称复变函数项级数(4.1.2)在z0收敛, 而f(z0)称为它的和. 如果函数项级数(4.1.2)在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数f(z):f(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于D内的某一点z0, 极限)()(lim00zfzSnn1( )nnfz称为级数 的和函数.这种级数称为幂级数.如果令z-a=z , 那么(4.1.3)成为 , 这是(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论当fn(z)=cn(z-a)n时, )4 . 1 . 4(0)3 . 1 . 4()()()(22100100nn

7、nnnnnnnnzczczcczcaazcazccazc，若0nnnc定理五(阿贝尔Abel定理).,|,|,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnnz0 xyO证.,|.,1.|, 1|,|.|, 0lim,000000000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于而则如果有的使对所有则存在则收敛因nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc发散。因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出根据则用反证法收敛级数有且如果发散如果级

8、数0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc.0, 001Rzc|c |limcclim0nnnnnnn1nn当，当，当，收敛半径为，则或若推论：幂级数的收敛性只有三种情况：(1) 当0R+时，幂级数在|z|R内发散；但在|z|=R上，幂级数可能收敛也可能发散。(2) 当R=+时，幂级数在复平面上每一点绝对收敛。(3) 当R=0时，幂级数在复平面上出去原点外处处发散。例2 求下列幂级数的收敛半径解 1) 因为31limlim12nnnncncn, 或 3311lim|limlim1nnnnnnncnn 所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1内收敛, 在圆周外

9、发散. 在圆周|z|=1 上, 级数33111nnnznn是收敛的, 因为这是一个 p级数, p=31, 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 2) 1limlim11nnnncncn, 即 R=1. 在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为11( 1)nnn, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为11nn, 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周上即有级数的收敛点,也有级数的发散点. 四. 幂级数的性质 2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn设在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以像多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. ),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn定理四 设幂级数0)(nnnazc的收敛半径为 R, 则 1) 它 的 和