届高三数学解三角形ppt课件

1、第七节解三角形第七节解三角形12022-1-29考考纲纲点点击击掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题的三角形度量问题. .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题决一些与测量和几何计算有关的实际问题. .热热点点提提示示1.1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题而进行恒等变换解决问题. .2.2.与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查

2、三角恒等变换，定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点这是高考的热点. .3.3.本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视的热点，应高度重视. .4.4.三种题型均有可能出现，属中低档题目三种题型均有可能出现，属中低档题目. .22022-1-29定定理理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内内容容a a2 2b b2 2c c2 22bccosA2bccosA，b b2 2c c2 2a a2 22accosB2accosB，c c2 2a a2 2b b2 22abcosC.2abcosC.变变形形形形式式32022-1-29

3、2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A A为锐角为锐角A A为钝角或直为钝角或直角角图形图形关系关系式式absinabsinA Aa absinAbsinABsin Bsin AabAababa ab b解的解的个数个数无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解解决的问解决的问题题已知两角和任一边，已知两角和任一边，求另一角和其他两条求另一角和其他两条边边已知两边和其中一已知两边和其中一边的对角，求另一边边的对角，求另一边和其他两角和其他两角. .已知三边，求各角；已知三边，求各角；已知两边和它们的已知两边和它们的夹角，求第三边和其夹角，求第三边和其他两个角他两个角. .42022

4、-1-293.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为(如图)52022-1-29(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似62022-1-29(4)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 ，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比)72022-1-2982022-1-291ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b

5、、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于()【答案答案】B B92022-1-292在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()102022-1-29【答案答案】A A【解析解析】112022-1-29【解析解析】由余弦定理得a2b2c22bccosA，即31c2c，c2c20，解得c2或c1(舍去)【答案答案】B B122022-1-294.如图，在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积S_.132022-1-29142022-1-295甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船

6、速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里【解析解析】如图，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用了时间t，152022-1-29【答案答案】北偏东30162022-1-29在ABC中，(1)若b，c1，B45，求a及C的值；(2)若A60，a7，b5，求边c.172022-1-29【思路点拨思路点拨】(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解182022-1-29192022-

7、1-29202022-1-29【方法点评方法点评】1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断2应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理 ，应注意用哪一个定理更方便、简捷212022-1-293三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；222022-1-29232022-1-29在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的

8、对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状242022-1-29【自主解答自主解答】方法一：由已知得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，sin2Asin2B，由0AB，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形 252022-1-29方法二：同方法一可得2a2cosAsinB2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得 a2(b2c2a2)b2(a

9、2c2b2)， 即(a2b2)(c2a2b2)0， ab或c2a2b2， 故ABC为等腰三角形或直角三角形262022-1-29【方法点评方法点评】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论272022-1-292已知方程x2(bcosA)xacos B0的两根之积等于两根之和，a，b为ABC的两边，A，B为两内角，

10、试判断这个三角形的形状【解析解析】方法一：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理知：x1x2bcos A，x1x2acos B.依题意，得bcos Aacos B.所以b2c2a2a2c2b2，即2b22a2，即ab，所以ABC是等腰三角形282022-1-29方法二：设方程的两根x1，x2，由韦达定理及题意，得bcos Aa cos B，由正弦定理 ，得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，sin (AB)0.A，B为ABC的内角，0A，0B，AB.AB0，即AB，故ABC是等腰三角形292022-1-29在海岸A处，发现北偏东45方向

11、，距A处( )n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以n mile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？302022-1-29【思路点拨思路点拨】本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.312022-1-29【自主探究自主探究】设缉私船用t h在D处追上走私船，322022-1-29即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船332022-1-

12、29【方法点评方法点评】1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求、再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点342022-1-293.如图，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角为45 ，与之相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9海里的速度行驶，我海上救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间352022-1-29【解析解析】设所需时间为t小时，在点

13、B处相遇在ABC中，ACB=120，AC=10，AB=21t，BC=9t，由余弦定理得：(21t)2=102+(9t)2-2109tcos120，362022-1-29整理得：36t2-9t-10=0，解得：t1= ，t2= (舍去)由正弦定理得：所以CAB2147.所以该海上救生艇的航向为方位角6647，与呼救船相遇所需时间为小时372022-1-29【答案答案】D D382022-1-292(2009年全国高考)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sin Acos C3cos A sin C，求b.【解析解析】由余弦定理得a2c2b22bccos A.又

14、a2c22b，b0，所以b2ccos A2.又sin Acos C3cos Asin C，392022-1-29sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，sin B4sin Ccos A.由正弦定理得sin B ，故b4ccos A由、解得b4.402022-1-29(1)求sin C的值(2)求ABC的面积412022-1-29422022-1-29(1)求sin C的值(2)求ABC的面积432022-1-29442022-1-294.(2009年宁夏、海南高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A、

15、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤452022-1-29【解析解析】方法一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1，1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)462022-1-29方法二：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)第一步：计算BM.由正弦定理BM472022-1-291解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角恒等变换，解题时角度的选取是关键2对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，构造出三角形把实际问题转化为解三角形问题3利用正、余弦定理可以进行边角互化，实现边角统一，有利于判断三角形的形状4解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点：(1)用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解 482022-1-29(2)要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列