第四节隐函数502ppt课件

1、第四节第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 相关变化率 31xy 一、隐函数的导数一、隐函数的导数由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为显函数称为显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数,sin xxy ),1ln(2xy 若由方程若由方程0),( yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数为隐函数函数为隐函数 .则称此则称此例如例如,称为隐函数的显化称为隐函数的显化 .03275 xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的

2、函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .隐函数求导方法隐函数求导方法: 0),( yxF0),(dd yxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y)(xyy 时刻注意时刻注意.的的函函数数是是 x问题问题: : 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .例例1. 求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0dd xxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导 )32(dd75xxyy

3、x得得xydydydd5xydyyddd)2( 1621x025211dd46 yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数(把把 y 看成看成 x 的函数的函数)xyydd54xydd21621x0例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323 xyyx169 2323 xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 解解 142)1(311

4、1)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求导导得得上上式式两两边边对对 x142)1(3111 xxxyy例例3.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例4. 求求)0(sin xxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln 两边对两边对 x 求导求导yy 1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx xxxexylnsinsin 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数

5、方法求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: : 1) 对幂指函数对幂指函数)()(xgxfy 可用取对数求导法可用取对数求导法 :)(ln)(lnxfxgy yy1)(ln)( xfxg )( )(1)(xfxfxg )0)( xf2) 有些显函数多个函数相乘用对数求导法求导很方 便 .例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导 yy.,1cos2yxxxy 求求 21ln y)ln(coslnln2121xxx 21221cossin121xxxxx.tancos2211121xxxxxxxy又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21ln

6、y对对 x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t 参参数数方方程程)()(1txx )()(2tyy ,)()(存存在在的的

7、反反函函数数假假设设xtttxx 则复合函数则复合函数 . )()()(xyyxtytyy 函数函数就是参数方程所确定的就是参数方程所确定的那那么么且且存存在在设设定定理理,0)(,)(, )(.1 txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd 或或还还有有存存在在进进一一步步假假设设,)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd .证证,)(0 tx,)()(存存在在的的反反函函数数xtttxx ,)(1txxdtd 且且:根根据据复复合合求求导导法法得得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdy

8、d )()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,进一步进一步例例5. 已知摆线已知摆线)sin(ttax 解解: xydd)cos1(tay dtdxdtdy/)cos1(sintata .2cot2sin22cos2sin22tttt22ddxydxdydxddxtd)2(cotdtdxdttd)2(cot )cos1(22/csc2tat .的一阶和二阶导数的一阶和二阶导数关于关于求求xy )()(dd22ttxy ,)()(tt xydd?例例6. 设设)(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(

9、tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知知解解:)()(tftfty 练习练习: P111 题题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 : 三、相关变化率)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为相关变化率称为相关变化率相关变化率问题解法相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率tytyt 0lim)(.导数就是变化率导数就是变化率例例7

10、. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,那么那么 tan500h两边对两边对 t 求导求导 2sectdd thdd5001 知知,minm140dd th h = 500m 时时,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 )minrad/(思考题思考题: 当气球升至当气球升至500

11、 m 时停住时停住 , 有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对对 t 求导求导 2sectdd txxdd5002 知知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求试求当容器内水试求当容器内水Rhxhr例例8. 有一底半径为有一底半径为 R cm , 高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器 ,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解

12、: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,水的水的VhR231 )(231xhr xrh)(33322xhhhR两边对两边对 t 求导求导tVdd22hR2)(xh,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2时时当当hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 体积为体积为 V , 那那么么R内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法4. 相

13、关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式1. 设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , )0(y解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0yxyyey再求导再求导, 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y , 求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy2. 设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导,