《数值计算方法》试题集及答案()

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(11.3-131)"Q f(2)2 f(3) /.3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得3f(x)dx；t占"、1 ；旷点式求得f (1厂。答案：2.367, 0.252、 fU)-1，f(2) =2, f(3)"，则过这三点的二次插值多项式中x11、两点式高斯型求积公式0f(x)dx - ( 0*朋"f( 2,3)f(2、3)的系数为，拉格朗日插值多项式为 。1 1答案：-1,L2 (x) s (x - 2)( x - 3) - 2(x - 1)( x - 3)二(x - 1)( x - 2)3、近似值x* =

2、0.231关于真值0.229有(2 )位有效数字;4、设f(x)可微，求方程x = f(x)的牛顿迭代格式是(Xn - f(Xn)Xn 1 =Xn -答案gXn)5、对 f (x) =x3 x 1，差商 f0,1,2,3 =(1), f0,1,2,3,4=(0)；&计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；n次后的误差限为7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分ba( 莎8 已知 f(1)= 2, f(2) = 3, "4) = 5.9,则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15 )；)，代数精12、为了使计算y = 1034 2x

3、_1 (x_1)6(xT)3的乘除法次数尽量地少,应将该表1_，为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为一y=10 (3 (6t)t)t,x-1-2001 - . 1999 改写为 20011999。13、用二分法求方程f(x) =x3 x1 =0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。1 14、计算积分O5、xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 .用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3 。15、设 f(0) =0, f (1) =16, f (2)

4、=46，则 h(x) =_h(x) = -x(x-2)_， f (x)的二次牛顿插值多项式为_ N2(x16x 7x(x-°bn16、求积公式f (x)dx ： ' Akf(Xk)的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n 1)次代数精度。18517、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求1 f(X)dX19、如果用二分法求方程x3 x - 4 = 0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分10)次°r 3X* 132S(x)二20、已知a=(3)，b= (3)，c= (1)|0(x),|1(x)/ ,|n(x)是以整数点Xo

5、,X1，Xn为节点的Lagra nge插值基函数，则(x -1) a(x-1) b(x -1) c 1_x_32)，b= (3是三次样条函数，则21、n-丨 k(X)=心(1n' (x：xi 3)lk(x)二k=0(n' Xklj (Xk)=k=0(Xj)x4x2322、区间a，b】上的三次样条插值函数 数。)°S(x)在a,b】上具有直到2阶的连续导23、改变函数 f(x)X 1x1(x 1 )的形式，使计算结果较精确f x = Jx +1 + J Xo24、若用二分法求方程f x =0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对 分10次。厂 32x ,0

6、Ex 兰132区+ax +bx+c, 1兰x"是3次样条函数，则2 / 16S(x)=设 f (1)=1，f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f (1) ： (2.5 )°a= 3, b= -3, c=126、若用复化梯形公式计算477个求积节点。427、 若 f(x)二 3x 2x 1，贝q差商 f2,4,8,16,32=2exdxoed ,要求误差不超过10-，利用余项公式估计，至少用1 2f( x) dp28、数值积分公式 J2选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B1 f 8)0 fC)的代数精度为C.32、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数B

7、.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D .数学模型准确值与实际值3、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.74、用1+x近似表示e所产生的误差是( c )误差。A.模型B.观测C .截断D.舍入x5、用1 + 3近似表示3 V x所产生的误差是(D )误差。A.舍入B.观测C .模型D.截断6 -324 . 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A .5B .6C .7D .87、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )A.-0 . 5B . 0 . 5C . 2D . -28、三

8、点的高斯型求积公式的代数精度为(C ) °A .3B .4C .5D .29、( D )的3位有效数字是0.236X 102°(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-210、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x)，则f(x)=0的根是(B )°(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(B) y=x与y= ：:(x)交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值

9、多项式的余项是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xnX(X)(x x2)(x xn 1)(x xn),Rn (x)=(B)(x) -Pn(x)=f (n d)(')(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,x(x)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn),f(v(©Rn(X)=f(X)Pn(X)=' 丿®+(X)(D) (n 1)!12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A)，则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f (x) 0(B)f(x°)f (x) .0(C) f

10、(x°)f (x) ：0(D) f (x。)f (x) ： 013、为求方程x3x2仁0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建 立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A2X(A)1 1芦，迭代公式:xk-xk?1x(B)3(C)x3X(D)2Xkex2,迭代公式:1 X： Xk 114、在牛顿-柯特斯求积公式：公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( 使用(1) n -8 ,(2) n 一7 ,(3) n 一10 ,23、有下列数表af(x)dX”(b"厂踣心)中，当系数附是负值时,)时的牛顿-柯特斯求积公式不(n)X00.511.522.5f(x)-

11、2-1.75-1；0.2524.25(4)n-6,o所确定的插值多项式的次数是()(1) 二次；(2)三次；(3)四次； (4)五次15、取3 .732计算3-1)4，下列方法中哪种最好？(16)16丄,迭代公式：Xk 1 = 1 1XXk=1 X2,迭代公式:Xk d = (1 - x)1/3(D) ( 3 1)4。(A)28-16、.3 ；(B) (4-2乜)2 ；(C) (4 2、3)2 ；S(x)二 x 3° ' 乂 乞2l2(x0 +a(x2)+b 2兰X兰4是三次样条函数，则a,b的值为Xi11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(C

12、) 3 ；(A)5；(B)4 ；(D) 2 o26、已知( )(A)6, 6；(B)6，8；(C)8, 6；(D)8，&16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(ba f(x)dx皿3) A2f(X2)A3f(X3)的高斯(Gauss型求积公式的代数精)(B)7 ；17、形如度为(A)9 ；(B)7 ；(C) 5 ；计算3的Newton迭代格式为(Xk3Xk 1 :(B)22 Xk18(D) 3 0xk “今(A)2 Xk ；(C)Xk1 =今 2xk ； (D)Xk -119、用二分法求方程 则对分次数至少为(A)10;(B)12 ；'4x2 -1

13、0 = 0在区间1,2内的实根，要求误差限为 )(C)8；Xk_33Xk o；=102(D)9。9迟 kh(k) =Lagrange插值基函数，贝U k=。(i ；7设h(x)是以xk二k(k二O,1”，9)为节点的(C) 至少具有(D)3 o0< x< 22 - x 4是三次样条函数，则20、设.(A) x ；( B) k ；33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，(A)5；(B)4 ；(C)6；'3x2(x-1)3 a(x- 2) b(B)6 , 8；(C)8, 6；(D)8, &x3 -2 x- 5=0在x二2附近有根，下列迭代格式中在(D) 1 o)次代数精度

14、S(x)二21、已知(A)6, 6；35、已知方程 ( )a, b的值为(x。二2不收敛的是Xk 1(D)2 X； 53 x-2 oX01234f(x)1243-5 Xk = 2 + §(A) Xk + = V2 x 5 ； (B)xk ； (C) xk 寺=xk_xk_ 5 ；22、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4；(B)2 ；(C)1 ；(D)3 o23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11o三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值仕，yi)(i二0,1,2,，m),用最小二乘法求

15、n次拟合多项式Pn(x)时,Pn（x）的次数n可以任意取。2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差3、（X! -Xo）% -X2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。31-255、矩阵A八12135丿具有严格对角占优四、计算题:1、求 A、B使求积公式1 1 1J(XgAf"f(1) "=)£)的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。2答案：f（x） =1,X，X是精确成立，即2A 2B =2求积公式为1 1小肓一1）呵1 19叫)f(2)3当f（X）

16、二X时，公式显然精确成立；当f (x) = X4 时，左=5，右=3。所以代2 1 t-3 111dx数精度为3。" 3"'9 131 39 1/2 31 2 3也:0.6 92 8 61406 / 16Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式R(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(X 一 3)(X - 4)(x - 5) (x - 1)(X - 4)(x - 5)L3(x) = 26答案：(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)(3 -1)(3 - 4)(3 - 5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(

17、x_1)(x_3)(x_4)(4 一 1)(4 - 3)(4 - 5)(5 -1)(5 - 3)(5 - 4)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1°14P3(x)二 N3(x) =22(x-1)-(x-1)(x-3) J(x-1)(x-3)(x-4)4f(2) : Pa(2) =5.55、已知Xi-2-1°12f (Xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(X)，并求f (°)的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi°-244-816-8161-121-11-222°1

18、6;°°°°3131113342548161°2°E°151°°343415a0 +10a2 =1510aj =3正规方程组为ao103117,a,aP2(X)二10311 2x x7 1014P2(x)二311x107J0a0 +34a2 =413f (0) ： P2(0)竝6、已知sinx区间0.4, 0.8的函数表x0.40.50.60.70.8y0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值

19、答案：解：应选三个节点，使误差M 3|R2(x)伍 3严(x)|尽量小，即应使3(X)1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,060.7最好，实际计算结果sin 0.63891 ： 0.596274，且sin 0.63891 -0.5962741兰石(0.63891 0.5)(0.63891 90.6)(0.638910.7)< 0.55032 10亠7、构造求解方程ex10x-2=0的根的迭代格式x1二(xn),n0，1,2,，讨论其收敛 性，并将根求出来，|xn 1 -Xn卜：10。答案：解：令 f(X)=ex+10x2, f(o)=2vo, f(1) = 10

20、 + e：>0.且f (x) =ex *10 0对一 x，(：，r)，故f(x) =0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(X)=0变形为则当x (0,1)时X e10故迭代格式1XXn. 护 - en)收敛。取X。=0.5，计算结果列表如下:n0123Xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008f (x)乞 e解：当 0<x<1 时，(x)二 eX,则且满足 |X7-X6 F°.°°&#

21、176;°°°95<1°_6 所以 X 0.090 525008要求近似值有5位有效数字,只须误差尺(门(f)兰1辺10亠2R叫f)兰(b-a)f W)12n2，只要R(n)(eX)< e12ne12n2Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.43510、已知下列实验数据试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1且0edX有一位整数.即可，解得叫討讥眈0877所以 n =68，因此至少需将0,1 68等份。12、取节点X。=0,xi =0.5,X2 ",求函数f（x）=e在区间0,1上的二次插值多项式P2

22、（x）, 并估计误差。解:P2(xe-0(x -0.5)(x-1) (0-0.5)(0-1)e-0,5(x _0)(x -1)(0.5-0)(0.5-1)e j (x - 0)( x - 0.5)(1 -0)(1 -0.5)0 51= 2(x -0.5)(x 一1) 4e x(x -1) 2e_x(x -0.5)f (x) = e», f "(x) = e»,M 3 = max | f 7x) |=1又x 0,1故截断误差|R2（x）冃 e1®x)£x(x5)(x 1)|x14、给定方程 f(x) =(x-1)e " =01）分析该方

23、程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到 5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的。x解：1）将方程（x-1）e -1"（ 1）改写为作函数f1（x） -1，f2（x）二e"的图形（略）知（2）有唯一根x' （1,2）2）将方程（2）改写为x=d 构造迭代格式凶=5（k= 0,1,2，）计算结果列表如下：k123456789Xk1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785i6 1.278-44 1.27847 1.2783)"x)=1 e*, (x) 一e»当 x 1,2时，：(x) ：(2)(

24、1)1,2，且I ： (x)理 eJ :：: 1所以迭代格式Xk.i(Xk) (k-O,1,2,)对任意X。. 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求' 3的近似值。取xo=1.7,计算三次，保留五位小数。f (x)= 2x，牛顿迭代公式为解：3 是 f (x) = x - 3 = 0 的正根,、xn-3Xn 1 = Xn 2xn ，即Xn丄3Xn 1 _ "2 2xn(n =0,1,2/ )取Xo=1.7,列表如下:n123xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1,

25、 5)的近似值, 取五位小数。L2g 詔 Zg2)3 & *2)_4 & 心)解：(-1-1)(-1-2)(1 1)(1 - 2)(2 1)(2-1)2 34(x-1)(x-2)-：(x1)(x-2)-；(x1)(x-1)3 231f(1.5) : L2(1.5)0.041672417、n=3,用复合梯形公式求0 edX的近似值(取四位小数)，并求误差估计解: >3e0 2(e13'e23) e1.7342f (x)二ex, f (x)二 ex, 0 Ex E1 时，I f (x)匸 eIRFIeT 匸e12 32e108= 0.025 乞 0.05(8分)用最小

26、一乘:2法求形如y二a+bx的经验公式拟合以下数据：X19253038至少有两位有效数字。20、atyi19.032.349.073.32=span1, x _ 1 1 11 1解:=19.0 32.3 49.0 73.31T92252312382A AC 二 AT yT 43391A A =其中1(3391 35296030.9255577C 二解得： O0501025 所以解方程组51736|179980.7a =0.9255577 b = 0.05010251 edx时，试用余 n =8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似b - a1271 1h2f ”兰丄x2

27、心°12 8210.001302768RT【f二解：T(8-f(a) 22k 二11 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655+ 0.41686207)+ 0.36787947二 0.6329434f(xQf(b)22、（ 15分）方程x -x-1=0在x =1.5附近有根，把方程写成二种不同的等价形式（1）1 +xn* =x对应迭代格式X J X * 1对应迭代格式xn3 xn ' 1 ； （2/X =X3 -1对应迭代格式xn1二£ "。判断迭代格式在x0 式计算X =1.5附近

28、的根，精确到小数点后第三位。1 1Xn ； （ 3）=1.5的收敛性，选一种收敛格"（W二。任1，故收敛;（3）选择（1.5）珥x） = （x +1） 3解:（ 1）3、収(W =。.仃"，故收敛；2弋"1，故发散。捲=1.3572 x2 = 1.3309x 1.3259 & = 1.3249? ? ?(x) =3x2(1)： Xo T5,x5 = 1.32476 x6 = 1.3247225、数值积分公式形如21、（ 15分）用n =8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算0 项估计其误差。用 值。i10xf(x)dx_S(x)，并估计误差。解

29、：将f(x) J，x，x2,x3分布代入公式得：A二习，B203020H3(xJ = f(xj构造Hermite插值多项式H/x)满足.H 3(为)=f (xji = 0,1其中x°f G) 22f(x)-H3(x)x (x-1)4!=0必=11°xH3(x)dx =S(x)1 1R(x) = 0xf(x) -S(x)dx = 0 f(4)()则有:1 3 2纠M3(x1)2dx 二f G) 3(1)2d(x -1) dx 4!-(4)f(4)( ) f(4)()4! 6014400xf(x)dx ： S(x) = Af (0) Bf(1) Cf (0) Df (1)试确定

30、参数代 B,C,D 使公式代数精 度尽量高；(2)设f (x) C40,1，推导余项公式R(x)二27、(10分)已知数值积分公式为:h f (x)dx ： h f(0)f(h)，h2f'(0) - f'(h)02，试确定积分公式中的参数'，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f (x)"显然精确成立；f (x)f(x)f(x)h h2 h2o xdx0 h r“h21 -10 2 2 ；h 3hh31-0 h2h20-2h二一 -2 h ：-3 2212 ；h h0 h3 h20_3h24 212；55二x时,2dxh 3x dxf (x)

31、所以，其代数精确度为3。x4dx 二-h0 h4 1h204h3= )52126 ；28、(8分)已知求-a(a 0)的迭代公式为:1 aXk 1 (Xk )x0 0 k = 0,1,22 Xk证明：对一切k二1,2，xk，且序列乂匚是单调递减的,从而迭代过程收敛。1a 1axk 1(xk)2 xk ：-a k= 0,1,2证明:k1 2(k Xk) 2 k Xk,又F2(1话迭代过程收敛。故对一切k二1,2,，兀- a。1r(11)"所以Xq乞忑，即序列 X是单调递减有下界，从而29、(9分)数值求积公式其代数精度是多少？f f(x)dx 止 f (1) + f(2)02是否为插值

32、型求积公式？为什么?解：是。因为f(x)在基点330 p(x)dx f(1)f(2)卄，02。其代数精度为1。1、2处的插值多项式为x _ 2P(x)匸 f(D£ f(2)30、(6分)写出求方程4x=cosx 3-100 2 15 6 29 0.0016368在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收 敛性。1(6 分)Xn " Xn 叩 8“ ,n=0,1,2,11忡(x b = sin (x )兰 <1441 j4 二对任意的初值Xo 0,1,迭代公式都收敛。31、(12 分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估用New

33、ton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f''' xf'''(匕)R = (11510011151211115 144)32、(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为3!0.5 10-S, = 1 f 0 4f61 f 1=0.946145882S212f0 4f1I -S2%|S2 S<| =0.393況10-5或利用余项:f X =sinA=1_X3!-0.94608693I : S2 =0.94608693468XXX+5!7!9!2x7 2!49 4!（4_£5R| =卩 _a 秒