三棱锥中个有用的结论

1、三棱锥中一个有用的结论陕西宝鸡渭滨中学彭宏伟一、一个有用的结论三棱锥A-EFG的三侧棱AE、AF、AG两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角分别记为：，则有cos2 ：cos2 ：cos2二 1证明：如图1，O是A在底面EFG上的射影，连E0、FO、GO并延长分别交三边与'AE、AF、AG两两垂直二 AE _ 面AFG，二 AE _FG由三垂线定理得EP _ FG, AP _ FGI APE是二面角 A-FG-E的 平面角，记为，同理另两 侧面与底面所成二面角分别是 三侧面AFG、AGE、P、Q、R，连 AP、AQ、AR ,AQF , ARG，记为：,AEF及底面EFG的面积分别记为Si

2、,S2?AE 面 AFG ,s =Scos，同理 S2 =Scos1 , S -ScosAO _ 面 EFG二 S1cos + S2cos： + S3cos = S把代入得，COS2 ：£亠COS2COS2 二1二、应用（一）这样一道文科高考题：在平面几何里，有勾股定理： “设ABC的两边AB、AC互相垂直，则 AB2 AC BC2 ”拓 展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面 积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC AC D 豳两互相垂直， 则”刚拿到这道题，真不知道从什么地方下手.这道题是要考 查学生的类比推理能力在平面几

3、何里，三角形是以最少的边 围成的封闭图形，直角三角形中三边满足勾股定理拓展到空 间，三棱锥是以最少的面围成的封闭几何体，题目要我们写 出三侧面两两互相垂直的特殊三棱锥，它的三侧面面积与底 面面积间的关系.勾股定理中，两直角边的平方和等于其斜边 的平方，三边满足的是平方关系.这里也可能是平方和关系 吗？即S ABC S ACD S ABD = S BCD 这只是猜想.可取三 侧面两两互相垂直的特殊三棱锥，使侧棱长取不同的几组值验证，发现都是正确的.这个结论的证明方法较多，但用 cos2 ： cos2 1 cos2=1很容易得证给这个式子两边同 乘以底面面积的平方，再逆用式即得（二）已知一个棱长为

4、1的正方体，求它在某一个平面上 的射影的面积的最大值.如果从射影图形的形状考虑，很 难回答这个问题因为射影图形的形 状不确定，可以是正方形、矩形、 正六边形等.但是直观的猜想，射影 可能是如图3的正六边形时，其面 积最大.B'这是因为，对正方体而言，无论 从外部那个角度看，最多只能看到三 个面，所以可只考虑共顶点的三个面 在某一个平面上的射影的面积的最值 就足够了 .正方体共顶点的三个面在某一个平面上的射影的面积可记为S'，这三个面与给定的某一平面所成二面角分别记为；,则S'= cos工cos cos问题转化为在条件下求式的最大值，利用均值不等式， 由平方得，2 2S = ( COS 工 * COS ： cos )二 cos2 亠 cos2 “ ' cos22cos cos: +2cos： cos + 2cos cos：乞(cos2 二"cos2 1 cos2 ) = 3当且仅当时，等号成立， 此匕时 cos= cos ：二 cos 33正方体在某一个平面上的射影是如图3的正六边形，其面积最大为3.(三) 已知正方体的12条棱与某一平面都成等角，则这个 角的正弦值为.考虑正方体的12条棱可分为3组，每组4条都平行，所 以只考虑共顶点的3