从梯子的倾斜程度谈起(二)

1、第二课时课题§ 1.1.2从梯子的倾斜程度谈起（二）教学目标（一）教学知识点1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2. 能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4. 理解锐角三角函数的意义.（二）能力训练要求1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点2. 体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲2. 形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1. 理解锐角三角函数正弦、

2、余弦的意义，并能举例说明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比3. 能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索交流法.教具准备多媒体演示教学过程I .创设情境，提出问题，引入新课并且师我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度， 得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关,与直角三角形的大小无关 .并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：问题1当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗问题2梯子的倾斜程度与这些比有关吗

3、？如果有，是怎样的关系？n.讲授新课1. 正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容： 想一想：如图（1）直角三角形ABC和直角三角形ABC2有 什么关系？ AC1和AC2有什么BABA,关系？B®和BCi呢？BA1BA如果改变A2在梯子AiB上的位置呢？你由此可得出什么结论 ？ 如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论 ？ 请同学们讨论后回答生T AiG 丄 BG, AO丄 BC, AiG/A 2G. Rt BAGs Rt BAC2.A1G1 和 A2C2baT "BaTRC BCBC1 和-（相似三角形对应边成比例）.BABA2由于A是梯子AiB上

4、的任意一点，所以，如果改变A在梯子AB上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定 .也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大 小无关.生如果改变梯子 AiB的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比 值，邻边与斜边的比值随之改变.师我们会发现这是一个变化的过程 .对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾 斜角的改变而改变， 同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边 的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢？生函数关系.师很好！上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们

5、类比正切还可以有如下定义：（用多媒体演示）在Rt ABC中，如果锐角 A确定，那么/ A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确 定.如图，/ A的对边与邻边的比叫做/A的正弦（sine），记作sinA ,即sinA-A的对边斜边/ A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦（cosine），记作cosA，即 A的邻边cosA=斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是/A的三角函数(trigonometricfunction). 师你能用自己的语言解释一下你是如何理解"sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢？生我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时./ A的对边与斜边的比值，/A

6、的邻边与斜边的比值，/A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“/ A的三角函数”概念中，/ A是自变量，其取值范围是0° <A<90°三个比值是因变量.当/ A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2. 梯子的倾斜程度与 sinA和cosA的关系师我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由sinA、cosA有关系呢？如果有关系，是怎样的关系19此我们想到梯子的倾斜程度是否也和 生如图所示，AB= AB,BC在 Rt ABC中, sinA= ，在ABRt ABQ 中，sinA1=-BC .A1B1BC v B1CAB A1

7、B1A A.C即sinA<sinA 1，而梯子 A1B1比梯子 AB陡，所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度. 生同样道理 cosA=-AC cosA 1 = AQABA B1AB=AB1AC > "AC 即 cosA>cosA1,ABA1B1所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.师同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉！从理论上讲正弦和余弦都可以3.例题讲解刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切多媒体演示.例1如图，在Rt ABC 中，/ B=90°, AC= 2

8、00.sinA = 0.6，求 BC 的长.分析：si nA不是“ sin ”与“ A”的乘积，si nA表示/ A所在直角三角形它的对边与斜BC边的比值，已知 si nA = 0.6 ,= 0.6.AC解：在 Rt ABC中，/ B= 90°, AC= 200.BCsi nA = 0.6，即=0.6 , BC= ACX 0.6 = 200 X 0.6=120.AC思考：(1)cosA = ?(2) si nC=? cosC = ?(3) 由上面计算，你能猜想出什么结论 解：根据勾股定理，得AB = , AC2 -BC2 二 2002 -1202 =160.在 Rt ABC中，CB=

9、 90°cosA sinC= cosCABACABAC1602001602004 = 0.8=4=0.8 ,5BC 120 _ 3AC 一 200 一 5=0.6 ,由上面的计算可知sinA = cosC= 0.6,cosA = si nC = 0.8.因为/ A+Z C= 90°,所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.例2做一做：如图，在Rt ABC中，Z1213C=90°, cosA =, AC= 10, AB 等于多少？sinB 呢?cosB、si nA呢？你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达-A) = co

10、sA, cos分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90(90 ° -A)=sinA.12 AC解：在 Rt ABC中，Z C= 90°, AC=1Q cosA =, cosA=-13 AB-AB=JAJ刊0 I3.65cosA 1212613sinB = = cos A = 12AB13根据勾股定理，得25262BC= AE2-AC2 = (65)2-102= 6 _60636 BC= 25 ./. cosB= BC625 5 ,AB 一色一 65 一 136sinA =BC 5AB 13可以得出同例1一样的结论./ A+Z B=90°,

11、si nA : cosB=cos(90-A)，即 si nA = cos(90 ° -A); cosA = sinB = sin(90 ° -A)，即 cosA = sin(90 ° -A). 川.随堂练习多媒体演示1. 在等腰三角形 ABC中，AB=AC= 5，BC=6 求 sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB , cosB, tanB，先要构造Z B所在的直角三角形.根据等腰三角形“线合一”的性质，可过 AB=电旦=25.sin A 4解：过A作ADL BC, D为垂足.1 AB=AC - BD=DC= BC=3.2在 Rt ABD中, AB= 5

12、, BD=3> AD= 4.AD4rBD3si nBcosB =AB5AB5AD4tanB=BD342. 在厶ABC中，Z C= 90°, si nA = , BC=2Q求厶ABC的周长和面积5BC4解: sinA=, / sinA= , BC= 20 ,AB5在 Rt BC 中，AC= .252 -202 =15, ABC 的周长=AB+AC+B= 25+15+20= 60 ,11 ABC的面积：ACX BC= X 15X 20= 150.223. (2003年陕西)(补充练习)1在厶 ABC中./ C=90°,若 tanA= ,2则 sinA=.解：如图,tanA

13、=BC =1AC 2设BC=x AC=2x根据勾股定理，得AB=Jx2 +(2x)2 =V5x. sin A壬 XABV5XIV.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，/ A是自变量，其取值范围是 0。</ A<90°三个比值是因变量 当/A确定时，三个比值分别唯一确定；当/A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的 关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题V 课后作业习题1、2第1、2、3、4题W.活动与探究已知：如图，CD是Rt ABC的斜边AB上的高，求证：BCf= AB - BD.（用正弦、余弦函数 的定义证明）过程根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt ABC中，CDL AB.所以图中含有三个直角三角形.例如/ B既在Rt BDC中，又在 Rt ABC中，涉及线段 BG BD AB由正弦、余弦的定义得cosB=BCABcosB=BDBC结果在 Rt