任意角和弧度制诱导公式

1、三角函数(1)教学任意角和弧度制、诱导公式内容重点重点：难点(1)理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解任意角以及象限角的概念；(3)掌握所有与g角终边相同的角(包括。角)的表示方法；掌握角度制和弧度制的转换(5)诱导公式难点：(1)所有与a角终边相同的角(包括a角)的表示；(2)角度制和弧度制的转换(3)用弧度制表示弧长公式，扇形面积公式，并会灵活运用 (4)诱导公式的运用教学1 掌握角的概念的推广、正角、负角、零角、象限角、以及终边相同的角的定义目标2掌握弧度制、弧度与角度的转换.3.会用弧度制计算扇形面积及弧长4.灵活运用诱导公式课前检作业完成情况：查与交教流交流与沟通：知识点梳理

2、：学针任意角定义的导入：对1 初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形+过性这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因授此角的范围是0°,360°，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”稈课2生活中很多实例会不在改范围00,360°/| 土体操运动员转体720o,跳水运动员向内、向外转体1080O经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围0°,360°，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？( 运动)一. 角的概念的推广 “旋转”形成角：一条射线

3、由原来的位置 OA绕着它的端点0按逆时 针方向旋转到另一位置 0B 就形成角a .旋转开始时的 射线0A叫做角a的始边，旋转终止的射线 0B叫做角a的终边，射线的端点0叫 做角a的顶点.突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”.“正角”与“负角”“ 0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；把按顺时针方向旋转所形成 的角叫做负角.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并 把这个角叫做零角.二. “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的

4、角（角的终边落在坐 标轴上，则此角不 属于任何一个象限）三. 轴线角：所有终边与坐标轴重合的角叫做轴线角.四. 终边相同的角探 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S 二| u k 360 ,k即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角：与整数个周角的和-例：写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.a|G=n 180°+90：n ZOx引申：写出所有轴上角的集合|y角度制： |： =k360, k Z ： I： =k 360 +180 ,k Z ： |： =k 180 ,k Z弧度制：O x角度制： |：=k360 +90 ,k Z ： |： =k 360 +

5、270 ,k Z ： |： =k180 +90 ,k Z弧度制：yyyxxoor1rad探究a rad弧度的角.它的单位是rad读作 弧度制、弧度制1.长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度；这种用 弧度”做单位来度量角的制度叫做 如下图，依次是1rad， 2rad严格区分：“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”、“第一象限角” 、“0°到90°的角”和“锐角”的不 同意义.O x角度制：: =k 90 , k Z : p =k 90 +45 , k Z ： =k 45 , k Z弧度制：3rad12rad3radrr3r

6、(1)平角、周角的弧度数，（平角=二rad、周角=2 rad）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0角的弧度数的绝对值二°（ l为弧长，r为半径）r（4）角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同 用角度制和弧度制来度量 零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同.2.角度制与弧度制的换算:角度0 °30 °45°60 °90°120 °135°150 °180°弧度0n /6n /4n /3n /22n /33n /

7、45n /6n角度210°225 °240°270 °300°315 °330°360 °弧度7n /65 n /44n /33 n /25n /37n /411 n /62n3 .弧长公式：I = r a由公式：Ml =丄= I = r 权| 比公式I = m r简单 rI I180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积其中1是扇形弧长，R是圆的半径.14 .扇形面积公式S = 1 IR2证：如图：圆心角为 1rad的扇形面积为:1 二 R22 二I比较这与扇形面积公式S要简单弧长为I的扇形圆心角为

8、I radR s =丄 1- JiR$ = IRR 2兀2六、终边相同的角的同一三角函数值相等公式一（其中k Z ）: 角度制表示如下：sin（二360 ） = sin : cos（二 1 k 360 ） = cos: tan（-： 1 k 360 ） = tan :用弧度制可表示如下:sin（= 11 2k二）二 sin : cosp，2k二）二 cos： tan（二，2k二）二 tan:02 n间角的三角函（这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 数值问题.）探公式：sin2 亠 cos2 ： = 1=ta na cos :公式二：角度制表示如下：sin（180：亠：）=-sin

9、_：:=cos（180r 芒）二-cosj = tan（180 ：亠：）=tan :-：=用弧度制可表示如下sin（，亠很）=-sin_：: cos（二 -）=-cos:- tan（二） tan:-公式三： sin( ) = -sin :-cos(- ： ) = cos：公式四：角度制表示如下：用弧度制可表示如下sin(180' - ：-) = sin_：isin(二-> )sin:-cos(180"= -cos-匚cos©-：" = -cos-tan( 180 - ： ) - -tantan(二-)-tan j公式五：角度制表示如下：用弧度制可表示

10、如下sin(90 - - ) = cos ,itsin( -. ) = cos ,2cos(90 -：)= sin：.ncos(、订=sin：.2公式六：角度制表示如下：用弧度制可表示如下sin(90 +：) = cos：,sin( + ) = cos , 2cos(90 + ： ) =-sin：.ncos(一 + ：) =sin：.2考试题型分析：本节内容大多以选择、tan( - ：) - -tan：填空题形式出现.要重视一些特殊的解题方法，如数 形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、 一些基本结论.排除法;另外还需掌握和运用例题分析:例 1"；（0,2），且sio 则（A）

11、：(B)工 > I-'课堂 检测例2.( 1)如果是第一象限的角，那么解:(2)如果:-是第二象限的角，判断(1)t 2k二：2k二，k Z ,22k 二:-2k 二:,k Z ,3336'是第几象限的角?3Sin(C0S ：)的符 cos(sin 二)号. 一，nZ，一是第一象限的角,635 二 当 k =3n 1(n Z)时，2n2n： ：, n Z ,3363:：2n 亠 一,n Z ,332当 k =3n(n Z)时，2n二：-：2n二 32 二4兀当 k =3n 2(n Z)时，2n二 是第一，二，三象限的角.3(2)T是第二象限的角，-1 ：COS>si

12、n(cos ： ) ： 0 , cos(sin ： )0 ,.sin(cos。)ocos(sin ：)例3 .已知锐角终边上的一点 P坐标是(A)2(B) -231(C)2 :0 , 0 : sin ： ： 1 ,'是第二象限的角，3是第三象限的角.3(2sin 2,2cos2)，则' -(jr(D) 2一2角度0 °30 °45°60 °90°120 °135°150 °180°弧度n角度240°270 °300°315 °弧度7n /65 n /

13、44n /37n /411 n /62n.角度和弧度的转换:二.选择题1 .设0兰日v 2兀，如果sin日0且cos2日£ 0 ,则日的取值范围是 )3兀3花兀3兀5兀7兀(A) n <6 <(B)<日 <2兀(C) <日<(D)<6 <2244442 .已知o（的终边经过点(3a9,a+2)，且 sina >0,cosa<0 ,贝U a的取值范围是.3.若 si no > tanotACOto（ 工成。-），则a E（)2 2HJIHJI（A）（一才丁）(B) (丁,0)(C) (0-)(D)(,)24444 2课堂

14、检测答案：1.9D 2.(2,3.B3课后作业角的概念的推广练习、选择题1.把-1485c化成Q 36$ +唧迖a 360U e Z）的形式是（)A .-4x360°+ 45°B.-4x360°-315ftC.-lOxW-450d. - 5x360 + 315°2 .在直角坐标系中，若也与/的终边互相垂直，则a与3的关系为（)A .j9 = a+90"B.j0 = a±9O0C.a3 .若卫是第三象限的角，则3是（）A .第、二、一象限角B .第一、二、四象限角C.第一、三、四象限角D .第二、三、四象限角、填空题4.设集合：出=3砂

15、!锐角, B = b臥T第一象限的匍,c = eff小于90啲正匍,则a、b、c的关系是5.角终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角二的集合是6 角，和的终边关于原点对称，贝9，门满足关系7 .角,和的终边关于 轴对称，则,门满足关系三、解答题8 当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？9 已知 . 角的7倍角的终边和 月角的终边重合，试求这个角 0弧度制的练习1 .A .2 .A .C.3 .(A .选择题如将分针拨慢io分钟，则分针转过的弧度数是(3B.- 1； 竝下列与:的终边相同的角的表达式中，正确的是(9圧 *-3604 + (*eZ) B.(teZ)2 加+45 逖 e

16、Z)设集合)“ 1圧宮M = *xz = 一- + Ke Z卜 NrXx =± fke Z1241 >4B. U C 二D.D .-，则M、N的关系是二、填空题4 .用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为一好刼+兰化Z5 .若匚，则二是第象限角.6 .若.，则“的范围是一个半径为 R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为解答题7.8.9 .1 .2 .3.4.1 .2 .3.4.5.1 .两角差为】，两角和为1 ：_；,求这两角的弧度数已知扇形的圆心角为:广，弧长为.，求此扇形内切圆的面积弧度制习题精选 选择题3sin -x:的值是（_72).72_11A.2B21c. D.2一条弦长等于半径的:,则此弦所对圆心角（)XX1A等于r.弧度B .等于_弧度C .等于弧度D .以上都不对把-；：化为；" ' '的