六级杯赛复赛训练题

1、构造与论证一1. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要 调换多少次？平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜 一场，并且所有各队的积分都不相同，问：(1) n=4是否可能？(2) n=5是否可能？9这9个数字2. 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆 中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子 数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始 时，第一堆有1989块石子，第二堆有 989块石子, 第三堆有89块石子问能否做到：(1) 某2堆石子全部取光？(2) 3堆中的所有石子都被取走 ？3. 在

2、1997X 1997的正方形棋盘上的每格都装有一 盏灯和一个按钮.按钮每按一次，与它同一行和同 一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不 亮，或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的， 请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮？6.如图 35-1，将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.7 (1)将 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 排列在圆周上，使得任意相邻两数的 差(大减小)不小于3且不大于5.(2) 对于1至11这11个数字

3、，(3) 对于1至12这12个数字，(4) 对于I至14这14个数字，满足上述要求的排列方法是否存在？4. 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛米用单循环方式进 行，就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业 选手一场加2分，每胜业余选手一场加 1分；专业 选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他 的得分比某位专业选手高 ？8. 1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使 得剩下的运动员

4、中没有一个人的号码等于另外两 人的号码的乘积那么，选为仪仗队的运动员最少 有多少人？9. 组互不相同的自然数，其中最小的数是I，最大的数是25,除1之外，这组数中的任一个数或者等 于这组数中某一个数的 2倍，或者等于这组数中某 两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少 ？当取 到最小值时，这组数是怎样构成的？5. n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每 对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得 2分,10. 在10X 19方格表的每个方格内，写上0或1,然后算出每行及每列的各数之和问最多能得到多 少个不同的和数？11. 在8X8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚 棋子，使得棋盘上每行、每列及每

5、条斜线上都有偶 数枚棋子？构造与论证二1 .某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书 馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都 至少被一个同学都读过.问：能否找到两个学 生甲、乙和三本书 4、B、C,使得甲读过 A、B, 没读过C,乙读过B、C,没读过A?说明判断过 程.12 .在1000X 1000的方格表中任意选取 n个方格 染为红色，都存在 3个红色方格，它们的中心构成 一个直角三角形的顶点.求n的最小值.2. 甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行 象棋比赛.各班同学都按I ,2,3,4，依次编号.当 两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对 垒在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女

6、生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒.试 说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会 超过24.并指出在什么情况下，正好是24 ?13.若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过 353 千克.那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？3. 将5X9的长方形分成10个边长为整数的长方 形.证明：无论怎样分法.分得的长方形中必 有两个是完全相同的.14 .在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4X4 的方阵.用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点？4. 将15X 1

7、5的正方形方格表的每个格涂.上红色、蓝色或绿色.证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.-15.在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4， 5，6，7，8,然后再把每条棱两端所标的两个数之 和写在这条棱的中点.问：(1) 各条棱中点处所写的数是否可能恰有5种不同的数值？(2) 各条棱中点处所写的数是否可能恰有4种不同的数值？5有9位数学家，每人至多能讲 3种语言，每3 个人中至少有 2个人有共通的语言.求证：在这些 数学家中至少有3人能用同一种语言交谈.6. 4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人.试证明：至少有 2对人，每对人是 互赠过礼品的.的正方形所染的颜

8、色不同.那么染成红色的正方形 的个数最多是多少个？7. 在平面上有7个点，其中任意 3个点都不在同 一条直线上.如果在这 7个点之字连结18条线段, 那么这些线段最多能构成多少个三角形 ？12. 证明：在6X 6X6的正方体盒子中最多可放入 52个1X I X4的小长方体，这里每个小长方体的面 都要与盒子的侧面平行.&若干台计算机联网，要求： 任意两台之间最多用一条电缆连接； 任意三台之间最多用两条电缆连接； 两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须 有另一台计算机和它们都连接有电缆.若按此要求 最少要用79条电缆.问：(1)这些计算机的数量是多少台 ？(2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少

9、条电缆？13. 在8X8的方格表选择 8个不相交的2X2小正 方形染色.证明：至少存在1个2X2小正方形与所有染色的小正方形都不相交(这里的相交指包含 公共方格).14. 用若干个I X6和1X7的小长方形既不重叠， 也不留孔隙地拼成一个11 X 12的大长方形，最少要用小长方形多少个？9.在9X9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号 它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有 一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲 虫，而另一些格则空着问空格数最少是多少15. 欲将一张方格表中的每个小方格染为红色或蓝 色，使得每个与红色小方格有公共边的小方格中恰 有一个蓝色小方格，而每个与蓝色小方格有公

10、共边 的小方格中恰有一个红色小方格.问上述要求能否 在(1)3 X 3, (2)4 X4方格表中实现？计数综合1. 10只无差别的橘子放到 3个不同的盘子里，允许 有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法？10. 在一个6X6的方格棋盘中，将若干个 1X1的 小方格染成红色.如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多 少个方格？11.如图36-1，把正方体的6个 表面剖分成 9个相等的正方 形.现用红、黄、蓝3种颜色去 染这些小正方形，要求有公共边图 36-12. 小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃 一块.那么他一共有多少种不同的吃法？3. 若一个自然数

11、中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的” 问一共有多少个“上升的”自然数 ？ 旁边分别写有东、南、西、北这 4个字.现在要用8 个1X2的长方形将它盖住，共有多少种不同的覆盖 方法？4在8X8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“ L” 形,一共有多少种不同的方法 ？图 33_15.从10到4999这4990个自然数中,其数字和能 被4整除的数有多少个？6.有一批规格相同的均匀圆棒 ，每根划分成相同 的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂 问可以得到多少种着色方式不同的圆棒 ？7.用剪刀沿图 33-2中小方格的 边界把4X 4正方形格纸

12、.剪开成 形状、大小都相同的两部分，共有 多少种不同的剪法 ?（凡经过旋转 和翻转能重合的剪法视为相同的 剪法.）图 33-28.如图33-3,八面体有 12 条棱,6个顶点.一只蚂蚁从 顶点A出发,沿棱爬行，要求 恰好经过每个顶点一次.问 共有多少种不同的走法 ？09 33-39.纸上画有一个 4X4的方格表，在它的四条边的10.某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木 ， 每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种 ，每 色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动以后 ， 能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块.试说明：最多能涂成多少种不同 的积木块？11. 10人围成一圈，从

13、中选出三个人，其中恰有两人 相邻,共有多少种不同的选法 ？12.有8个队参加比赛，采用如图33-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？图交一413. 4个数如果具有下面两个特点：它们都是非零 的一位数，两两之差恰好是1,2 ,3,4,5,6,那么就 称这4个数组成了一个好数组.好数组中的数不计 顺序.问共有多少个不同的好数组？14.游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有 10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的 钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有 准备零钱.问有多少种排队方法，使售票员总能找 得开零钱？评注：游乐园的门票1元1张,每人限

14、购1张. 现在有10个小朋友排队购票，其中n个小朋友只有 1元的钞票，另外n个小朋友只有2元的钞票，售票f2n Y 汉 n!员没有准备零钱则有种排队方法，使售（n+1 ）!票员总能找得开零钱.15.有一只表没有秒针，时针和分针无法辨别在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的 时间，但有时也会出现两种可能 ，使你判断不出正 确时间请问从中午12时到夜里12时这段时间会 遇到多少次无法判断的情况 （不包括中午12点和夜 里12点）?4 .1994年我国粮食总产量达到 4500亿千克，年 人均375千克.据估测，我国现有耕地1.39亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵.平原地区平均产 量已超过每公顷

15、 4000千克，若按现有的潜力，到 2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵 地区产量增加二成是很有把握的同时在20世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每 十年自然增长率不超过10% 请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均 400千克吗？试简要说明理由.应用题综合1.某店原来将一批苹果按100%的利润（即利润是成本的100 %）定价出售.由于定价过高，无人购 买.后来不得不按38%的利润重新定价， 这样出售 了其中的40% 此时，因害怕剩余水果腐烂变质， 不得不再次降价，售出了剩余的全部水果结果， 实际获得的总利润是原定利润的

16、30.2 %.那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？5 .要生产基种产品100吨，需用 A种原料200吨，B种原料200.5吨，或 C种原料195.5吨，或 D种原料192吨，或E种原料180吨.现知用 A种 原料及另外一种（指B, C, D, E中的一种）原料共 19吨生产此种产品10吨.试分析所用另外一种原 料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？2 .某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客 最多买三件.如果买一件按原定价，买两件降价 10%，买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好 按原定价的 85%出售.那么买三件的顾客有多少 人？6 .有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两 合称体重，共称了 5次，称得的千克数分别是99,113, 125, 130, 144.其中有两人没有一起称过， 那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克？3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米