几种常见的平面变换

1、26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、 矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A'二' 4 、2A3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换，认识到矩阵可表示如 下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。【典型例题】(1 0)例1:( 1 )平面上任意一点在矩阵° 1的作用下()i 5>1A.横坐标不变,纵坐标伸长5倍C.横坐标,纵坐标均伸长5倍B.横坐标不变，纵坐标缩短到丄倍51D. 横坐标，纵坐标均缩短到 -倍5答案：Bo(2)表示x轴的反射变换的矩阵是(卩0"p-1 0

2、A.bB.<0 1C.答案：Do)01)(10D.(-1 0 丿<0 一1 丿(3)已知二次曲线2x2 xy，y2x-y-2=0，若将其图形绕原点逆时针旋转0()角后(0 '-)，所得图形的新方程式中不含xy项，则0 =2A、 30°B、 45°C、 60°D、 75co出-sin日"I答案：C。解析：由已知得旋转变换矩阵M =|si n costx x xcosys innxsi nT+ycosJix = x cosr y si nr，从而有.y = x"si n + y"cos0代入原二次曲线方程，得到关于x,

3、 y的新方程式，要使其中不含 x , y项，必须满足2sinrcosh3(cos2 v -sin2) =0，即 tan2： - - 3 二(0, ?),二二o刁k(4) 设厶OAB的三个点坐标为 0(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2)，在矩阵 M = 对应的变换：0 1 一下作用后形成 OAB，则 OAB与厶OAB，的面积之比为 o答案：1 : 1o解析：由题意知 Tm为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。_1 0 1(5) 函数y=3cosx在矩阵M= 1变换作用下的结果是。3答案：y = cosx。解析：本变换是伸压变换。2例2 :试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指

4、出该变换是什么变换。(1)(10方程为y = 2x 2 ；1(2)(3)-12点 A(2， 5)；?A(-2, 5)?A( 2，5)0曲线方程为x21y2 = 4答案：设 A (x,y ) .1 0x= x I1yy J所给方程表示的是条直线。(1)为直线上的任意一点，经过变换后的点为:A ( X 1,y 1) x = xzy轴的反射变换2为半径的圆，设 A (x,y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1 (x1, y1),则2 2x=X1,y = y将之代入到x2 y2 =4可得方程2 2乞里=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆,41该变换是伸压变换。变换后的方程仍为：y = 2x

5、 + 2该变换是恒等变换。(图略)(2) 经过变化后变为(-2 , 5),它们关于y轴对称，故该变换为关于(3) 所给方程是以原点为圆心，2-2J返返1一 22 一，任意选取双曲例3：将双曲线C： X2 -y2 =1上点绕原点逆时针旋转 45°，得到新图形C，试求C 的方程。答案：由题意，得旋转变换矩阵,cos4 -si n45M =sin45 cos45线x2 - y2 =1上的一点P(x0, y0),它在变换Tm作用下变为P(x0, y0),则有=,故M =x0 =2(X0ydy° 二(x° y) I 2x 0=£(x帀 y")02，又因为

6、点P在曲线2(y 1)0x2y2 =1 上，所以 x/ -y02 =1，即有 2x0y0 =1。所求的C方程为xy =丄。22对应的变换作用下变成什么图形，并说例4：研究直线3x2y+1=0在矩阵I1 SJ -1 一明其几何意义。对应的变换作用下答案：任取直线3x -2y 1-0的一点P(xo,y0),它在矩阵变为5，则有:监h;，故卜“0,即1冷-y° = y0占=x0乂二 X。- y。又因为点P在直线3x-2y 0上，所以3冷-2y0 - 1-0即有 3xo-2(xo-y。)仁0风 2yo 1=0作用下变成直线x 2y T = 0。从而直线3x-2y=0在矩阵1 01 -1其几何

7、意义是：把直线 3x -2y T = 0上的每一点沿垂直于直线投影到该直线上。【课内练习】1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是1 01-1 00.0_001答案：A。解析：由定义知。2坐标平面上将一个三角形分别作投影、 到的新图形一定与原三角形全等的个数为伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得A、1答案：B。解析:只有旋转、3.将圆 x2 y2=1在矩阵C、3反射变换满足。a 0A=对应的伸压变换下变成一个椭圆0 b22 . y x4B、3c、D、5答案：B。解析:由已知得4.在矩阵变换下，点A(2,1)将会转换成。答案:(2,5)。解析：。2哑55.若直线x-y-4=0在矩阵M = 9 口的值分别

8、为。答案：0, 2。解析：由题意知 Tm :-1 bbx0 - y0"ax + y° 一=x -，故J“al一y0 一_-x + by。| yX。十 ay。对应的变换作用下， 把自己变为自己，则a,b_ 1 ab而横坐标变为原?画图并指出该变易求得a = 0,b =2 。6.曲线C在伸压变换下T: (x, y) (x：y)=(2x, y )作用得到y = 2sinx的图象,则曲线C的方程为。答案：y =2sin 2x。解析：由已知，曲线 C上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的2倍，即将y =2sin x的图象上每一点的纵坐标保持不变,来的一半，故曲线 C的方程

9、为y =2sin 2x。7.直线x-y =1在矩阵A对应的变换作用下变成直线x=d，则A。答案：-110 1 一(1)点A： (2, 1)(2)_1 0121J点 A: ( 2, 1)答案：(1)、解：T即点A： (2，1)A，(1，2 )该变换是把向量 原点逆时针旋转90。得到向量该变换为旋转变换。变换图形如图1。经过变化后变为OA绕着OAZ(2)、解囲!2闌即点A: (2,1 )经过变化后变为&试讨论下列矩阵将所给图形(或方程表示的图形)变成了什么图形 换是什么变换？A ( 2, 5)。该变换为沿 Y轴正向的切换。变换图形如图2。9. 研究双曲线x2 -y2 =1在矩阵1-1作用下

10、变换得到的图形， 并说明变换的几何意-1 1义。答案：设所求图形上任一点为(x, y)，与之对应的原图形上的点为(x0, y0),则-1 -;»其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到xfx yy - % y°= 0(x = 0)，图形略。x亠y =0上。10. 已知矩阵和23 4 一，向量“=_1,3=2(1) 试验证下列等式成立：a +3 )= Ma +M3 ；对任意实数 入，1,有M(入a + 1 3 )=入(M% )+ 1( M3 );(2) 对于本题条件加以推广，定出推广后的命题，不要求证明。答案：(1)证明M a+ 3 )=iM)I1 平"13

11、4山3,Ma = 3 , M3 = 2 ,76M a +M 3 严I13 一,故 M (a + 3 )= M a +M 3 ；(2) M(入 a + i3 )=障; 山0丿卜門J1 2厂2牛件计一3 一3&入(M a )=九 |= |故 M(入 a + 1 3 )=入(M a )+ 1 (M 3 )一 7人+6匚3+24 1,入(M a )+ 1 (M 3 )=、7九+64(2)推广的命题：已知二阶非零矩阵M，向量一，-f丿2 一，那么对任意实数入，1 ,有M(【作业本】入 a + 卩 3 )=入(M a )+(M 3 )。讥 t人q丿l-qA.关于y轴反射变换C.关于原点反射变换1.

12、变换的几何意义为B.D.关于x轴反射变换 以上都不对答案：B。2. 下列矩阵表示伸压变换的是C、0 01.答案：C。解析：根据伸压变换的定义知。1 -113. 直线x-y=1在矩阵 片变换下变成的图形是()A、直线B、线段C、点D、射线"1 -1答案：C。解析：任取直线x - y =1上一点P(x0,y0)，它在矩阵变换下变成P (x0,y0),I1 -11 -1%"x0=x0 y0 = 11 -11则有|故* “00，因此，直线x y=1在矩阵|作用下1 -1 一y° 一|y°_iy°=x°y° = 11 -1变成点(1，

13、1)。r 414. 图形F=(x, y)| °兰x兰2,0兰y兰2，经过切变变换后的图形F '的周长为L 1答案：4.10 4。解析：图形F为正方形，经切变变换后变为平行四边形，且各顶点依次为(°,°),(2,°),(8,2),(6,2)，故其周长为 4 一 1° 4。5. 已知平面四边形 ABCD在旋转变换作用下变成四边形A BCD，那么下面基本量:四边形的面积；四边形的形状；四边形的周长；四边形的顶点坐标。其中不改变的有。(写出所有正确的序号)答案：。解析：由旋转变换的性质知。6.写出对直线X y =0的反射矩阵M。答案：设平面上任

14、一点P(x°,y°)，它在矩阵M对应的变换作用下变为P(x,y ),Fy y°=1x -X0xx0y2-0佇-y0，又FU=M河, M = ? -1ly =-x。y。1-10 一O7.如图所示, 求点B的坐标。答案：由已知已知正三角形ABC，其中 A (2, 2),A (2, 2)绕原点逆时针旋转 60 °后移到B(x°,y°)，因此,得旋转变换矩阵杠吧EVsi n60, cos60M点B的坐标为1 - 3,1&研究圆x2 y2 =4在矩阵作用下变换得到的图形。2 2 j解：设所求图形上任一点P(x, y)，与之对应的原图形上

15、的点为p)(x0, y0)11 1x0 y0r222,ii =11y。y0 X°22一2 一1 i则x0 y0x =2 2 2，又(X0,y°)在已知圆x+y=4上yo - xo x y =0,( - . 2 _ x _、2),在矩阵对应的变换作用下，圆x2+y2-cI.2 2变换成线段ab，其中a(-W), b(、2，如图所示。1.F列叙述中错误的是101对应的变换是一伸压变换i12"(表示y方向的切变变换_0 12、3-2答案：B。C、表示以原点为中心的旋转变换D、在反射变换下，任何图形不变2 一解析：选项B中矩阵表示x方向的切变变换。2.将y =sinx以伸

16、缩(x, y)； (ax, by)使其变为y = 4sin 2x的图形，贝U ()C、D、a J,b 丿24答案：C。解析：由已知伸缩变换矩阵M = a0012_ool3在平面上任意四边形 ABCD，经过下列变换后，使所得图形与原四边形ABCD全等的变换矩阵是()2 0 110 -2 一-1 101 一C、4 _3-|53'54 答案：C。解析：选项C是旋转变换，其中旋转角为 arccos。54.曲线y = JX在矩阵I1 0 "作用下变换得到的曲线为。 0 -1 一答案：y仮。解析：T：? 0lx1。S!。威!-y_l5.坐标平面上 A(2,1), AOB为一等腰直角三角形

17、，且/AOB=90。，点B在第二象限则点B的坐标为。"cos9 -sin90"0 -1答案：(-1,2)。解析由已知得旋转变换矩阵'i=,.sin 90 cos90'l 1 0 一 0 -12，即 B(1,2)。_1 0 J_26. 在坐标平面上，将点 P(3,4)作下列变换，试分别求变换之后的点P'坐标。(1) 以原点为中心，顺时针旋转60 ° ;(2) 沿x轴方向平移3| y |个单位。答案：(1)cos(-60：) -sin(-60)3 _ sin(-60)cos(-60)412 也 2云 |3=21 l44_3巧2 .2一4 -3 32(2)1 3 31 I I 0 1415,Q(15,4)。7.在伸缩变换中,当于矩阵a 0阵1 a的合成结果？并说明理由。b 1b的作用。"a 0 1_1 0 沿x轴方向伸缩a倍，然后沿y轴方向伸缩b倍 ，相|'0 1|0 b那么对于沿x,y轴两方向的切变矩阵1 a , 1 °|0 1|tb 1是否也有类似像矩后变为P (x ay, y)，再经答案对于平面上的任意一点P(x,y)，则经过切变矩阵叮过切变矩阵f 0 "后变为P "(x+ay,bx+aby+y);而P(x, y)经过切变矩阵¥日后变为p 1b 1(x ay,