计算方法简明教程习题解析

1、第一章 绪论，求ln x的误差。* e* x* x=e x* x*1 .设x 0, x的相对误差为 解：近似值x的相对误差为1而Inx的反差为e ln x* In x* In x e* x*进而有 (ln x*)2 .设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。xf '(x)解：设f(x) xn,则函数的条件数为 Cp |(-)| p f(x)又f '(x) nxn1,n 1x nxcp | nn又r(x*)n) Cpr(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n) 0.02n即误差限不超过最后一位的半个单位，试指0.031 , x3 385.6, x4 56.430,x； 71.

2、0.3 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数, 出它们是几位有效数字： x* 1.1021, x；*解：x1 1.1021是五位有效数字;* x2 0.031是二位有效数字；* . x3 385.6是四位有效数字；* x4 56.430是五位有效数字；* 一 一x5 7 1.0.是二位有效数字。4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:*(1) X* * * . *x4,(2) 3*3,(3) x2 / x4 .r*.其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。解:*(X1)10*(X2 )10*(X3)*(X4)*(X5)2121101010*(1)(X1*(X1)1 10 2*、X

3、2X4)*(X2)10*(X4)1.05 10* * 晨(2) (X1X2X3)X1X2 (X3)* *X2X3*(X1)X1X3 (X2)1.1021 0.03110 10.031 385.6 1 104131.1021 385.6 - 10 30.215* *(X2/X4)X2 (X4) X4 (X2)*X42103130.03110 3 56.430256.430 56.43010 55计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?43解：球体体积为V - R3C则何种函数的条件数为又r(V*)1故度量半径R时允许的相对误差限为6.设Y028,按递推公式Yn工1，

4、试问计算Yoo将有多大误差?1r(R*) - 1 0.3311：783(n=1,2,)100计算到Yoo。若取7783 27.982 （5位有效数字）解：,:工 Yn 11 .783100Y100Y99Y98 Y997831001 一 Y98783100Y97 V783 1001 一Y Y0 .7831001依次代入后，有丫00 X 100 783100即Y。 Y)J783,若取.783 27.982,%。Y0 27.982*13(Y00)(丫0)(27.982) 2 103八”1-3Y100的误差限为一10 3。2V783 27.982 )。24位有效数字7 .求方程x 56x 1 0的两个

5、根，使它至少具有解：x2 56x 1 0,故方程的根应为x1,2 28 x/783故 X1 28783 28 27.982 55.982X1具有5位有效数字x2 28 . 78328 78328 27.98255.9820.017863X2具有5位有效数字N 118 .当N充分大时，怎样求 2dx?N 1 x21 12 dx arctan(N 1) arctanN1 x则tanarctan(N 1),arctan N 。1,tanN.arctan(tan(,tan arctan)tan1 tan -tan,N 1 N arctan1 (N 1)N,1arctanN2 N 19.正方形的边长大约

6、为了2100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm ?解：正方形的面积函数为A(x) x2(A*) 2A*，(x*).当 x* 100时，若（A*）1,1221cm则(x*) - 102故测量中边长误差限不超过时，才能使其面积误差不超过1.210 .设S ggt2,假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误差增加，而相对误差却减少。1 。解：S -gt ,t 0(S*) gt2* (t*)当t *增加日, S*的绝对误差增加(S*),窗2gt2(t*)2 g(t)2 (t*)4 *当t*增力口时，(t*)保持不变，则 S*的相对误差减少。11 .序列 Vn

7、满足递推关系yn 10yn 1 1 (n=1,2,)，若光 22 1.41 (三位有效数字)，计算到00时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解：'/ y02 1.4112(y。*)2 102又“10yn1 1y1 10 y0 1(y。10 (y0*)又 r y2 10 yl 1(y2*)10 (y1*)g102 (y°*)_10(y10*) 1010 (y0*)1010 1 10221 1082-1 a计算到y10时误差为-108,这个计算过程不稳定。_1_(二2一1)612.计算f (J2 1)6 ,取J2,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?(3 2衣3, 1-=- ,

8、 99 70点。(3 2、2)3解：设 y (x 1)6,4:*1_右 x x/2 , x 1.4,则 x 102,1，“一若通过一计算y值，则(-2 1)61)7*(x6*7 y(x 1),若通过(3 2衣3计算y值，则_2(3 2x ) x63 2x*y若通过(32 .2)3计算y值，则1z z *4(3 2x)41*t y x (3 2x)7，*y x通过(3 2、2)了计算后得到的结果最好。 313.f (x) ln(x Jx2 1)，求f (30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx2 1) ln(x . x2 1)计算，求对数时误差有多大

9、？解f(x) ln(x,x2 1), f (30) ln(30, 899)设 u 、. 899, yf(30)*y uu1* u 0.01673若改用等价公式ln(x x21) ln(x .X1)则 f (30)ln(30 . 899)此时，*y uu1 * u 59.98337第一章误差1.试举例，说明什么是模型误差，什么是方法误差.解：例如，把地球近似看为一个标准球体，利用公式A 4 r 2计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差.在计算过程中，要用到，我们利用无穷乘积公式计算的值：9 2 22 .q q2其中qm、2,n 2,3,.我们取前9项的乘积作为的近似值，得3

10、.141587725.这个去掉的无穷乘积公式中第 9项后的部分产生的误差就是方法误差，也成为截断误差.2 .按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23解：816.966.000 017.3231.235 793.1820.015 236，它们各有几位有效数字3 .下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0解：五位三位六位四位4 .若1/4用0.25表示，问有多少位有效数字？ 解：两位5.若a 1.1062,

11、b 0.947，是经过舍入后得到的近似值，问：ab, ab各有几位有效数字？解：已知da104,db21030.20532 10,dabda dbdadb102 1030.5510310 2,所以a b有三位有效数字；因为 a b 0.10475714 10,dab b da a db 0.9471041.10621030.6004531210 3 10 22所以a b有三位有效数字.6.设y10.9863, V 0.0062，是经过舍入后作为 x1，飞11 ,的计算值与真值的相对误y1 y2差限及y y与真值的相对误差限.解:已知drXidr x10.50X1Vi4104,dx210drdr

12、 x2dx2dx2X2X2y21 10420.00620.81drXi X2dr x1drx20.50 10 40.817.正方形的边长约为解：设正方形面积2a 2001-4104,210 2;2210 2 0.82 102.100cm,应该怎样测量，才能使其面积的误差不超过1cm2.2为s,边长为a,则s=a2.所以要使：ds da 2ada 1 ,则要求12_ _2一 0.5 10 2 .所以边长的误差不能超过 0.5 10 2cm.8 .用观测恒星的方法求得某地维度为45 0 2 （读到秒）,试问：计算sin 将有多大误差？解：d sin.八八1cos d cos 45 0 2 一 21

13、 , 29 .真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式 s 5 gt确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的，而对t的测量有 0.1s的误差证明t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.12证明：因为：ds d - gtds gtdt gtdt;-gtdt1 .22 gtdt ds2 . ds与t成正比，一与t成反比，所以当dt固定的时候，t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小10 .设x 0,x的相对误差为，求ln x的绝对误差.解:dx已知x，所以ln x的绝对误差d ln xdx11.设x的相对误差为%，求xn的相对误差.解:n _ n 1dx nx dxndxn %. x1

14、2.计算球的体积，为了使相对误差限为 1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何解:IdRI a，则要使得drdlnV3dln R33 dln R 3dln R 3dr R 3a 1%，则 a计算方法试卷（A卷）则（x）44 (x 1)3且在区间0,2上0（x）:号学:名姓:级班业专总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占 学生总评成绩比例闭卷70 %3分，共27分)所以（x）4Gl单调递增且在区间0,2上0 144 (x 1)(0)15分(x) 4x 1(2)v 3 2, .7 分符合简单收敛的全局收敛条件，所以收敛的简单迭代格式可构造为：xk 1 3 x15分数27得分、填空题（每空1、x

15、k 1xkf (xk)f (xk)3、对 f (x)4、数值ba f(x)dx3.15是的的近似值，则误差限是0.05,有 2 位有效数字。xkx 10在区间1,2根的牛顿迭代格式为3xk - xk- 23xk_ 32xk1。一 2,3xk 1c 32234 r2x 5x 2,差商 f3,3 ,3 ,3 22345，f 3,3 ,3 ,3 ,3 0分中的af(a)5、求解微分方程初值问题分数15得分的欧拉公式计算得到梯形公式为a b4、f(b)。y1bba.f (x)dx f (a) f (b) ， Simpsona2y xy x用欧拉公式计算得到 y（0） 1 h 0.51.125二、已知方

16、程x x4 1在区间0,2内有根公式为（2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。kak,bkxkf(xk)»bk ak 20+0, 2-1+11+1,2-3分。列表如下:解：（1）由题意，令7分.2分f(x) x x4 1, f(0) 1 0, f(2)13 0,所以取xx1 1.5，满足误差不超过 0.5。（2）原方程等价变形为x VF7,迭代函数（x） VT7,分数18得分、利用误差分析;解：（1）由题意知，x00,f （x） sin x在点0-的函数值：（1）建立其拉格朗日插值多项式，并进行 6 2（2）构造差商表，建立牛顿插值多项式。1yo 0; Xi -

17、,y1 - ;x62所以过这三个点的拉格朗日插值函数为:L2(x) y0l0(x) y/Kx)(x 7)(x 力062(0 7)(o 力 6218(x2 -x)2不，y21 -2误差分析:由题知:|R2(x)|y2"x)1 (x 0)(x -)2叫2)(x 0)(x -)1 6-0 E)(20)f(x)sin x,(21)()(2 1)!(x26(x2 - x)2R2(x)f(23lx1)()(2 1)!(xI f (3)( )1 l-cos0)(x -)(x -)10)(x b)(x 0 6|x(x 3)(x Cxf(x)一阶二阶001362133万22（2）建立差商表:牛顿插值多

18、项式为10分N2(x) f (x0) fx0,x1(x x0)f x0,x1,x2(x x0)(x x1).6分333270 (x 0) -2 (x 0)(x )-2 x x62分数12得分1f (x)dx四、确定以下求积公式中的系数，使其代数精度尽可能高，并确定代数精度。1Af( 1) Bf(0) Cf 解：令f(x)2 一.1,x,x，代入上面式子并令其等号两端相等得到:11dx 211xdx 0112 .x dx18x3X23x1X15xi2x1X2 X344X2 3X312;x2 x3 1157用雅克比迭代格式及其对应的赛德尔迭代格式求解16是否收敛？并说明理由；写出两种迭代格式，取(0) x(0,0,0),计算x解方程组可得:所以此求积公式为:13,143，c解:高斯消去过程为:1 4 .1f(X)dX3f(1) 3f 3f(1),101211将f (X) X3,代入上式可验证等式成立，但是将f(x)X4代入上式等式不成立,回代可得解为：x33所以此求积公式的代数精度为3.12r2-5r1r3 2r11, x23r26,X119(2)由题此方程组的系数矩阵不是严格对角占优的，下用迭代矩阵的范数判断收敛性。 可知雅各比迭代矩阵为：分数10得分五、求解矛盾方程组解，由题知,此矛盾方程组的系数矩阵Xix2的最小二乘解。,右端向量Bj