复变函数教案第五章

1、百度文库-让每个人平等地提升自我章节名称：第五章留数学时安排：6学时教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法； 理解留数的定 义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积 分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义；4熟练掌握计算留数 的方法；5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程：第五章留数、孤立奇点1.相关定义定义1设点 a 为函数 f (z)的奇点，若 f (z)在点 a

2、的某个去心邻域0 z a R内解析，则称点 a 为函数 f (z)的孤立奇点.定义2设点 a 为函数 f (z)的孤立奇点：若 f (z)在点 a 的罗朗级数的主要部分为零，贝 U 称点 a 为 f (z)的可去奇点；若 f(z)在点 a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为CmC(m 1)mm 1(z a) (z a)则称点 a 为 f (z)的 m 级(阶)极点；若 f (z)在点 a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点 a 为 f (z)的本性 奇点.z例：依定义，点z 0为inz的可去奇点，点z 0为e2的二级极点，点z 1zz为sin的本性奇点.1 z2.函数在孤立奇点的去心邻域

3、内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1若点 a 为 f (z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：1点 a 为 f (z)的可去奇点;2929百度文库-让每个人平等地提升自我2limf(z) c();z a3函数 f (z)在点 a 的某个去心邻域内有界.函数在极点的去心邻域内的性质定理2若点 a 为 f (z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的.1点 a 为 f (z)的 m 级极点；2f在点 a 的某个去心邻域0 z a R内可表示为h(z)m(z a)其中的 h(z)在点 a 的邻域z a R内解析，且 h(a) 0 ；3点a为 f1)的m级零点(可去奇点视作解析点时)定理3点

4、a 为函数 f的极点的充分必要条件是lim f (z)z a函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4点 a 为函数 f (z)的本性奇点的充分必要条件是lim f (z)不存在，即当z az a 时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于 .定理5若点 a 为 f (z)的本性奇点，且 f (z)在点 a 的充分小的邻域内不为零, 则点 a 必为的本性奇点.f(z)例 设 f (z)5(1 ez)1，试求 f (z)在复平面上的奇点，并判定其类别.解 首先，求 f(z)的奇点.f (z)的奇点出自方程1 ez0/的解.解方程得z Ln ( 1)(2k1)ni , k 0,1,2,f(z)百度文库-让每

5、个人平等地提升自我3030百度文库-让每个人平等地提升自我若设 Zk(2k 1)ni(k 0, 1,2,)，则易知 Zk为 f(z)的孤立奇点另外,因(1 ez)0, (1、ez)0zZkz zk所以，由零点的定义知 Zk为 1 ez的一级零点.从而知 Zk(k 0, 1,2,)均为f(z)的一级极点.2、留数1,定义3设 a ()为函数 f (z)的孤立奇点，c 为圆周：z a，若 f (z)在0 z a上解析，则称为 f (z)在点 a 的留数(或残数)，记作 Res( f , a)或 Res(a)，即2，留数计算规则：规则1如果 Z0为 f (z)的一级极点，那么Res( f , z0)

6、 lim (z z0) f (z).zZ)规则2如果 z0为 f (z)的 m 级极点，那么规则3设f韵 P及Q(z)在z解析，如果 0 0,Q(z)0，Q(Zo)0，那么Z0为 f (z)的一级极点，而5z 2例1设 f (z)- ，求 Res( f , 0).z(z 1)解法1由定义12nif(z)dzcRes( f , a)12nif(z)dzRes( f, z)1(m 1)!m 1zm rr(zz z0zZ0)mf(z).Res( f , Z0)P(z)Q (zo)百度文库-让每个人平等地提升自我3131百度文库-让每个人平等地提升自我为函数 f (z)的孤立奇点，c 为圆周：z，若

7、f (z)在内解析(R )，则称1 5z 2 ,Res(f ,0)dz2n i1z(z 1)412nizl5z 2 (-z注意：这里的积分路径的半径并非只能取义的条件.解法2由此得 c1解法35z 2z只须使半径小于1即可满足定11因点z 0为 f (z)的孤立奇点，所以，在N*(0,):0 z-内有33f(z) 3z(1)1 z(2z5)2，依()式得 Res(f ,0)2 .因点z0为 f(z)的一级极点，则按规则1Res(f,0)呼朋解法4因点z5z 20为f(z)R 的一级极点，则按规则33，定义4百度文库-让每个人平等地提升自我3232百度文库-让每个人平等地提升自我1f(z)dz

8、2nic为函数 f (z)在点 z的留数(或残数)，记作 Res( f ,)或 Res()，即1 1Reqf(-)飞，0z z丄Tdz2nicez4,定理6设区域G是由围线 c 的内部构成(如图)，若函数 f (z)在G内除含有限个奇点 a1, a2, an外解析，且在 G Gc 上除点 a1, a2, an外连续，则5,定理7如果函数 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么f(z)在所有各奇点(包括 点)的留数的总和必等于零。1；Hbvz,a解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点.由 z22az 1 求出被积规则4Re$f(z),设 f(z) (1z2) ez，求 Res( f

9、 ,).取圆周c: z2,由()式得Res(f,)丄z2冗icez例3计算积1 Res( f,) f (z)dz2nic解n)百度文库-让每个人平等地提升自我3333百度文库-让每个人平等地提升自我函数的奇点有Z1a .a21与Z2a21因a 1，所以,Z2积函数的一个奇点 Z11，又因ZiZ2其次，经检验，得dz2az 13、留数在定积分计算上的应用n1.形如0 R(cos , sin )d的积分通过一定的转化,可得例计算 Incos21 - 2pcos2.形如R(x)d x的积分通过一定的转化，可得例4计算积分1，故Zi2ni Res(2nR(cos02d (0PR(x)d x2x ,2d

10、x-x x 11，即在积分路径内部只有被2ni lim (ZZ Z12na21,sin )dp1)PdxQ(Z)解 经验证，此积分可用公式一计算.首先，求出 E0Q(Z)34342iZ1)(Z Z1)(Z Z2)IZ2ni1f(z)dz1Res(Q , Zj)j 1Q(Z)-在上半平面的全部奇点令12Z4Z1 0(Z42Z42Z Z2Z21) Z2(Z21)2Z2百度文库-让每个人平等地提升自我(z2z1)(z2z 1)于是，器在上半平面的全部奇点只有两个:1与22且知道,的一级极点.其次, 算留数，有Res(器lim(zz最后,Reslim(zz将所得留数代入公式得2x4 Xx21dx(zi

11、)(z)(z)(z)2z(z)(z)(z)(z)3z214.3i4 3i2n叫鵲，）唤磐）3.形如 R(x)eai xdx(a 0, R(x)器）的积分Q(x)ik x .dx2ni鼻瓷*z)j iQ(z)例5计算积分i x e2 2x a解经验证，该积分可用公式二计算.首先，求出辅助函数 f（z）ei z-2在上半平面的全部奇点.z a3535百度文库-让每个人平等地提升自我由 z2a2 0解得 z ai 与 z a i 为 f (z)的奇点，而a 0，所以，f (z)在其次，计算留数有cosx-2x练习：,13(6)教学小结：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤立 奇点(无穷远点除外)展成罗朗级数的方法；2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质；3.理解留数(也叫残数)的定义；4.熟练掌握计算留数的方法；5.理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：第五章习题()1(3)；8(1,3