角函数性质与图像[方案

1、第1页 4.5三角函数的图象第2页 高效梳理 课前必读知识备考第3页 三角函数的图象第4页 振幅 周期 频率 相位等相关概念( )()(,(,)21, T2( )().().fT 1yAsinxA00 xA2yAcosxyAtanx当 函 数表示 一 个 振 动 量 时 则叫 做 振 幅叫 做 周 期 ，叫 做 频 率 ，x+叫 做 相 位 ，叫 做 初 相 .函 数的 周 期 为（ 3） 函 数的 周 期 为第5页 对称性( )2(),(, )(Z).( )(),(,0)().2( )(,0)(),2.kkZkkZkkZ1ysinxxk0 k2ycosxxkkZ3ytanx正弦函数的图象的对

2、称轴为对称中心为余弦函数的图象的对称轴为对称中心为正切函数的图象的对称中心为无对称轴第6页 图象变换函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象可由函数y=sinx的图象作如下变换得到:(1)相位变换:y=sinxy=sin(x+ ),把y=sinx的图象上所有的点向左( 0)或向右( 0)平行移动| |个单位长度.(2)周期变换:y=sin(x+ )y=sin(x+ ),把y=sin(x+ )的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）1第7页 (3)振幅变换:y=sin(x+ )y=Asin(x+ ),把y=sin(x+ )的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0,0)的图

3、象的作法( )(),3,0,2,22.x1yAsinxzxz用“五点法”作图用“五点法”作的简图 主要是通过变量代换 设由 取来求出相应的通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像(2)用“变换法”作图由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+ )的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.第9页 方法一:先平移后伸缩第10页 方法二:先伸缩后平移第11页 (3)当进行两个异名三角函数的图象变换时,应先用诱导公式化为同名函数,另外要注意由哪一个函数的图象变换到哪一个图象,不能弄错平移的方向.第12页 考点自测 课前热身基础备考第13页 .()321ysin 2x函数

4、在区间-, 上的简图是图中的 （ ）第14页 3:,.20,.3BDxyC x0y解析 当时可排除 、当时，可排除答案:A第15页 .,y3cos(2x)4.8.8.4.42y3sin2xAxBxCxDx要得到函数的图象 可将函数的图像 （ ）沿 轴向左平移个单位长度沿 轴向右平移个单位长度沿 轴向左平移个单位长度沿 轴向右平移个单位长度答案:B第16页 第17页 .()(,),()A.2sin2.xC.ysin2.yxx3yAsinxA00B y2sinDy2sin2x函数的部分图象如图所示则答案:A2:,4,0,22sin.2yxA2 T4解析 由图知则所以函数的解析式是第18页 .,|3

5、3(,)()224ytanx ytanx ytanxytan x函数在上的大致图像依次是第19页 A.B.C.D.解析:由图可知,该函数是偶函数,且函数值非负,故应为y=|tanx|;图为y=tanx的图象;图为偶函数图象,该函数应为y=tan|x|;图中函数图象与y=tanx的图象关于y轴对称,应为y=tan(-x)的图象.故顺序为.答案:B第20页 5给出下列六种变换：图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ；图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；图象向右平移 个单位长度；图象向左平移 个单位长度；图象向右平移 个单位长度；图象向左平移 个单位长度12332323第21页

6、 请用上述变换中的两种变换，将函数ysinx的图象变换到ysin 的图象，那么这两种变换正确的标号是_(要求按变换的先后顺序填上你认为正确的一组即可)()23x(或) 第22页 解析：将ysinx的图象向左平移 个单位长度得ysin(x )的图象；使图象上所有点的纵坐标不变，再将横坐标伸长到原来的2倍即得ysin( )的图象，故满足或先将ysinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得ysin 的图象，再将ysin 的图象向左平移 个单位长度得ysin (x )，即ysin( )的图象故也满足332x32x2x2312232x3第23页 题型突破 互动探究方法备考第24页 题型一

7、 y=Asin(x+ )+k型的三角函数图象变换第25页 【例1】已知函数f(x)sin(2x )acos(2x )，其中a， 为正常数且0 .若f(x)的图象关于直线x 对称，f(x)的最大值为2.(1)求a和 的值；(2)求f(x)的振幅、周期和初相；(3)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(4)由yf(x)的图象经过怎样的平移得到y2sin(2x )的图象？63第26页 22( ) ( )()()113.( )()3()f xxaxaaaaf xxx1sin 2cos 220sin 2cos 2解析：，则由及 ，求得 于是()()33()3( )6( )6xxxf xxxf

8、 x2 sin 2coscos 2sin2sin 2，又的图象关于直线 对称，则当 时，取得最值，第27页 6322()2365.6kkkk2Z0故 ，则 ，又 ，求得 7( ) ( )( )()627( ).26f xxf xT212sin 22由可知，函数的振幅为 ，周期 ，初相为第28页 (3)列表，并描点画出图象(如图所示).第29页 7( )()6( ),52sin(2)123yx4f x2sin 2xyf xx把的图象上所有点的纵坐标不变 横坐标沿 轴方向向右平移个单位长度即可得到的图像第30页 规律方法:作函数y=Asin(x+ )的图象常用的方法有五点作图法和图象变换法.“五点

9、法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点).在用变换法作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移在题目中也经常出现,所以也必须熟练掌握.无论先进行哪种变换,请切记每一个变换总是对字母x而言的,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.666ysin2x如函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像的函数表达式应为y=sin2(x-)而不是y=sin(2x-).第31页 ,( ).8(1)(2)( )yf x1f xsin 2x0yf xx创新预测 函数图象的一条对称轴是直线求 ；画出函数在区间0, 上的图像.:( )( )x,8( )8sin()1.430,44

10、43sin()1.4424xyf x 1yf x解析图象的一条对称轴是直线当时，取得最大值或最小值.且，第32页 第33页 作图如下： 第34页 题型二 由图象求函数的解析式及对称元素第35页 【例2】已知函数f(x)Asin(x )b(A、0，| | )的图象的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)图象的对称轴方程；(3)求f(x)图象的对称中心2第36页 ( )3( 1)3 12()223622( )()MmAbTf xxT 13121222sin 21解析： 由图象可知，函数的最大值 ，最小值 ，则 ， ，又 ， ， ，()633266( )().6xykkkkf

11、 xx3sin12Z2Z2sin 21将 ， 代入上式，得 ， ，即 ，第37页 12262622sin(2) 161.62xkxkkfxxxkkZZ由得 ， 的图象的对称轴方程为， 32sin(2) 1.62()61222sin(2) 161(1).122f xxkxkxkf xxkkZZ令，得 ， 的图象的对称中心为，第38页 :(),:yAsinxk A0规律方法 根据的图象求其解析式的问题 主要从以下四个方面来考虑;AAkk22 的确定：根据图象的最高点和最低点，得 最高点纵坐标最低点纵坐标； 的确定：根据图象的最高点和最低点，得 最高点纵坐标+最低点纵坐标.)TT2 的确定：结合图象

12、，先求出周期 ，然后由 来确定 ； 的确定：代入已知点的坐标可确定第39页 0000022cos()(,0)(03)2.12(0)23()22yxxyAPQ xyPAyxxR创新预测 如图，函数 的图象与 轴交于点，且在该点处切线的斜率为求 和 的值；已知点，点 是该函数图象上一点，点，是的中点，当 ，时，求 的值第40页 12cos()(03)32cos3cos.0.2262cos()2 sin()662 sin22.6yxyyxyx解析：函数 的图象与 轴交于点， ，又 ， ， 依题意，得 ， 第41页 000000212cos(2)6(23)22cos(2)62cos(4)36535co

13、s(4).42()626623.234yxPxPyxxxxkkxxZ由可知 由题意知， 点 在函数 图象上， ，又，或第42页 题型三题型三正切函数的图象正切函数的图象第43页 22tan( )1tanxf xx3【例 】已知函数，画出其图象并求它的最小正周期 22tantan21tan |242 |24xf xg xxxf xkx xxkkkg xx xkZZ解析：函数可以化为，值得注意的是函数的定义域是，而的定义域却是，第44页 由基本函数的周期可知g(x)tan2x的最小正周期为 ，函数f(x)的定义域不同于g(x)的定义域，显然最小正周期也不同函数f(x)的图象如图所示222tan(

14、).1tan2xf xx据图可知的最小正周期是 ，而不是第45页 规律方法:函数y=Atan(x+ )与y=tanx之间也同样存在类似于y=Asin(x+ )与y=sinx之间的关系.另外,对正切函数要多加训练,熟悉其图象形状.由于正切函数的定义域 对应法则都与正 余弦函数不同,因此一些性质与正弦 余弦函数的性质也有较大差异.特别是正切函数的定义域受到一定的限制,解题时若考虑不到,就有可能出错.第46页 221tan1tan.xx3g x2sin2x创新预测 画出函数的图象，根据图像写出函数的最小正周期 21tan:( )2sin 2 cos 2sin 4 .tan().2xg xxxxxkZ

15、g x2sin2x2解析 化简得1+tan x但注意到定义域使有意义，因此xk+第47页 其部分图象如图所示221tan( )1tan().2xg xxxyx2sin2sin4由图象可知，函数的周期为其周期不是 对应的，这一点需要特别注意第48页 题型四 三角函数图象性质综合问题第49页 242sin ()3cos21.41()(0)6(0)2|34 2f xxxxh xf xtttpxqf xmpqm R【例 】已知函数 ，若函数 的图象关于点 ，对称，且，求 的值；设 ：， ， ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 212sin ()3cos2141cos(2 )3cos212si

16、n23cos22sin(2)3f xxxxxxxx解析： ，第50页 ()2sin(22)3(,0).26(0)6()235(0).36h xf xtxtkh xtkh xktkttZZ ，的图象的对称中心为，又已知点 ，为的图象的一个对称中心，而， 或第51页 2224 23631,2|33331,1432,( 1,4)pxxf xf xmmf xmmpqmmm 若 成立，即， ，则，由 ，是 的充分条件，解得 ，即 的取值范围是 第52页 规律方法:三角函数图象性质综合问题一般涉及三角函数的化简图象变换 各种性质的判断与求解及与其他知识相结合等方面,解决这类综合问题要先化简,一般题设中给出

17、的三角函数表达式比较复杂,其图象 性质等不易直接判断求解,因而应先化简,多数情况下都可以将三角函数化成y=Asin(x+ ),y=Acos(x+ )或y=Atan(x+ )三种标准形式之一,其中A0,0.此外还有可能在上述标准形式后带有一个常项,如y=Asin(x+ )+b形式.第53页 (,).2xR4f xAsinxA00创新预测 已知函数的图象的一部分如下图所示第54页 (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x6， 时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值23 21288442sin()2sin()44412sin()444ATf xxxxf x解析： 由图象可知 ，

18、 ，故 ， ，由图象可知 ， ，故第55页 第56页 对接高考 试题调研方向备考第57页 .()(),()()4 017A.2 008 B. 2C.2 009 .1 2010f xAsinxbf 1f 2f 20094 019D2安徽马鞍山二中月考 函数的图象如图所示 则的值为答案:D第58页 1:( ),21,(),( , )( )21,.2f xAb1 T43f xsinx11f x222x2kkZf xsin12解析 由的图象可以得到所以故再由点在的图象上 可得所以 11,22,f 2 0092 008f 2 0094 0192 008f 1.2 f 11 f 201 f 31 f 40

19、1f 1f 2f 3f 44f 1f 2所以所以所以第59页 .()(),(),( )2 2010f xsin xg x2cos x2广东佛山调研已知函数则下列结论中正确的是A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2B.函数y=f(x)g(x)的最大值为1.( )( ).( )( )Cf xg x2Df xg x2将的图象向左平移个单位长度后得到的图象将的图象向右平移个单位长度后得到的图象答案:D第60页 :(),(),( ),1;2f xsin xcosx g xcos x221sinxyf x g xsin2x2f xcosx解析则最小正周期为最大值为将 ().g xcos x22的图象

20、向右平移个单位长度后得到的图象第61页 .()(), (),_. 3 2010f xAcosx2ff 023浙江湖州中学月考已知函数的图象如图所示则23第62页 :,().(),(), T2T3f x233232Acos 3xfAcos2323解析 由图可知故 .(),(),. 277Asinf0Acos031242sincosf 0AcosAsin3又第63页 .()(),()_.4 2010f x2sinx7f12哈三中期中已知函数的部分图象如图所示则0第64页 :,(, ),()(),5244T23330f2sin 30444解析 由图可知该函数的周期为所以将代入函数解析式 得 ,(),

21、(). 33kkZk0f x44372sin 3xf0412所以令得所以第65页 高效作业 自我测评技能备考第66页 一 选择题 .()(),(),( )().( ).( ).,( ).,( )1 2010f xsin xg x2cos xf x2Ag xBg xyCg x2Dg x2山东滨州一模 已知则的图象与的图象相同与的图象关于 轴对称向左平移个单位 得到的图象向右平移个单位 得到的图象答案:D第67页 :,(), ( ),( ),D.f xcosx g xcos xf x22g x解析向右平移个单位 得到的图象选第68页 2.(2009广东韶关一模)电流I(A)随时间t(s)变化的函数

22、I=Asin(t+ )(A0,0,0 0,0 2)的部分图象如图,则(),.,46.,.,4AB235CD424第74页 答案:C:,.,C.T2312T84T412kkZ42024解析又选第75页 6.(2009浙江)已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )第76页 答案:D解析:当a=0时f(x)=1,C符合.当0|a|2,A符合.当|a|1时T2,B符合.排除A B C,故选D.第77页 二 填空题.()()( , ,),_. 7 2009yAsinxAA00江苏 函数为常数在闭区间上- ,0的图象如图所示 则3:,.22T33T解析 由图可知第78页 8.设函

23、数y=cos x的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1,A2,An,则A50的坐标是_.2解析:由 x= +k得x=2k+1(kZ),即对称中心横坐标为x=2k+1,且kN,当k=49时,x=99,则A50的坐标为(99,0).22(99,0)第79页 9.已知函数y=2cosx(0 x1000)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭的图形的面积是_.2000解析:如图,y=2cosx的图象在0,2上与直线y=2围成封闭的面积为S=4,所以在0,1000上封闭图形的面积为4500=2000.第80页 三 解答题.()(,|).10yAsinxA002函数的一段图象如图所示(1)求函数y=f(x)的解析式; ( )( ),( ),( )( , ).2yf x4yg xy6yf xg x0将函数的图象向右平移个单位长度 得到的图象 求直线与函