变量与函数(一)教案

1、精品文档变量与函数(1)知识技能目标1 .掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；2 .了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.过程性目标1 .通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；2 .引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.问题1如图是某地一天内的气温变化图.精品文档看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.(2)这一天中，最高气温是多少？最

2、低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为一1C、2C、5C;(2)这一天中，最高气温是5C.最低气温是4C;(3)这一天中，3时14时的气温在逐渐升高.0时3时和14时24时的气温在逐渐I从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(C)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳卜表是2002年7月中国工商银行问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,为“整存整取”的存款方式规定的年利率：存期工三月六月一年二年三年五年年利率尸密)1.71001.890019S00

3、2.25002.52002.7900观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的.解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长.问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是些对应的数值：波长/(m)30050060010001500频率那:Hz)1000600500300200观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系？(2)波长l越大，频率f就.解(1)l与f的乘积是一个定值，即lf=300000,或者说(2)波长l越大，频率f就 越小300000f =l问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则

4、S与r之间满足下列关系：S=.利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：半径r(cm)11522.63.2*圆面积-I*由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就解S=兀I.半径r(cm)11.522.63.2圆面积Mem2)3147.06512.5621.226432.1536圆的半径越大，它的面积就越大.在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取

5、不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种：(1)解析法，如问题3中的f=300000,问题4中的S=兀r2,这些表达式称为函数的关l系式.(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表.(3)图象法，如问

6、题1中的气温曲线.问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant),如问题3中的300000,问题4中的兀等.三、实践应用例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高年龄蛆(岁)7910111213_14151617男生平均身同i(cm)11541183122.2126.51296135514),414(51154B162.91682(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？(3)上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？解(1)平均身高是146.1cm；(2

7、)约从14岁开始身高增加特别迅速；(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.解(1)C=2兀r,2兀是常量，r、C是变量；(2)s=60t,60是常量，t、s是变量；(3)S=(n2)X180,2、180是常量，n、S是变量.四、交流反思1 .函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系.2 .在某个变化过程中，可以

8、取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y,对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.3 .函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法.五、检测反馈1 .举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2 .分别指出下列各关系式中的变量与常量：25.(1)二角形的一边长5cm,匕的面积S(cm)与这边上的图h(cm)的关系式是S=h；2(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为a,则另一个锐角3(度)与“间的关系式是3=90a；(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是：y=ax

9、.3 .写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.4 .填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.变量与函数（2）知识技能目标1 .掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2 .掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程性目标1 .使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；2 .联系

10、求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.教学过程一、创设情境问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.b解如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式：y=10-x.问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.解y与x的函数关系式：y=1802x.问题3如图，等腰直角ABC勺直角边长与正方形MNPQJ边长均为10cm,AC与MNE同一直线上，开始时A点与M点重合，让ABCO右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycmf与M维度xcm之间的函数关系

11、式.1 C解y与x的函数关系式：y=x2.2二、探究归纳思考(1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.问题2,因为三角形内角和是180。，所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°.问题3,开始时A点与M点重合，MA长度为0cm,随着ABb断向右运动过程中，仙张度逐渐增长，最后A点与N点重合时，M岖度达到10cm.解(1)问题1,自变量x的取值范围是：1wxw9;问题2

12、,自变量x的取值范围是：0vxv90;问题3,自变量x的取值范围是：0<x<10.(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7;当纵向的加数为6时，横向的加数是4.上面例子中的函数，都是利用解析法表示的，又例如：s=60t,S=兀R.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义.例如，函数解析式s=兀R2中自变量R勺取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积SW圆半径R勺关系，那么自变量R的取值范围就应该是R>0.对于函数y=x(30x),当自变量x=5时，对应的函数y的值是y=5X(3

13、05)=5X25=125.125叫做这个函数当x=5时的函数值.三、实践应用例1求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=3x1;(2)y=2x2+7;1y=；(4)y=4x2.x2分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1),(2)中，x取任意实数，3x1与2x2+7都有意义；而在(3)中，x=2时，没有意义；x2在(4)中，x<2时，mx-2没有意义.解(1)x取值范围是任意实数；(2) x取值范围是任意实数；(3) x的取值范围是xw2;(4) x的取值范围是x>2.归纳四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；

14、(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式.解(1)y=0.50x,x可取任意正数；(2) y=40,x可取任意正数；x(3) S=100兀一兀：r的取值范围是0vrv1

15、0.例3在上面的问题中,MA= 1 cm时，重叠部分的面积是多少 ？解设重叠部分面积为ycmf,MA长为xcm,y与x之间的函数关系式为12y=-x2一121当x=1时，y=X1=一22所以当MA=1cm时，重叠部分的面积是-cmf.2例4求下列函数当(1) y = 2 x-5 ;丫 =匕；x -1分析函数值就是x=2时的函数值：(2)y=-3x2;y的值，因此求函数值就是求代数式的值.(4)y=V2x.解(1)当x=2时，y=2X25=1;2(2)当x=2时，y=3X2=12;(3)当x=2时，y=-2-=2;2-1(4)当x=2时，y=22-2=0.四、交流反思1 .求函数自变量取值范围的

16、两个依据：(1)要使函数的解析式有意义.函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母w0;函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数0.(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.五、检测反馈1 .分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1) 一个正方形的边长为3cmi,它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式；(3