数学分析提纲

1、1数学分析提纲一、 实数集与函数二、 数列极限1.1. 数列极限的概念2.2. 收敛数列的性质(1)(1) ( (唯一性) )若数列an收敛，则它只有一个极限.(2)(2) ( (有界性) )若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数 M M,使得对一切正整数有|anlM.( (保号性) )若Hm aa 0( (或0)(0,a)( (或a(a,0)，存在正数N，使得当n N时有an a( (或an N时有血一am| v名.三、 函数极限1.1. 函数极限的概念2.2. 函数极限的性质在1 1 中我们引入了下述六种类型的函数极限：21)1)limf x ;2)2)lim f x ;3)3)li

2、m f x ;4)4)lim f x ;5)5)limf x ;6)6)lim f x .xX0K0 x JK0-3下面以第 4 4）种类型的极限为代表叙述并证明这些性质（1 1）（唯一性）若极限lim f x存在，则此极限是唯一的. .（2 2）（局部有界性）若lim f x存在,则f在x0的某空心领域U0X。内有界X /o（3 3）（局部保号性）若lim f x=A 0（或：:：0）, ,则对任何正数r：A（或r：-A） , ,存Xo在U0 x0,使得对一切xUx0有fx r 0（或f x：；”一r：0）. .定理 3.53.5（保不等式性）设lim f x与lim g（x）都存在，且在某

3、邻域U0（x0；）内有f x岂g x, ,则lim f x lim g x0 x_0 7 r卢定理 3.63.6（迫敛性） 设lim f x = lim g x = A,且在某U0 x0；、内有f x h x （2 2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应 的定理现以X X这种类型为例叙述如下：设f为定义在U（X）上的单调有界函数,x必0 x0又若limx必g x -0, ,则fg当X-；x时极限存在，且有f xlim f(X)xx03)3)lim“ g x lim g(x)Xf4则右极限lim f （x）存在.（3 3）柯西准则：设函数f在u （x0）内

4、有定义. .lim f （x）存在的充要条件是：任给； 0, ,存在正数：）, ,使得对任何x,x U （x；、）有I f（x） - f（x） I：； 54.4. 两个重要极限5.5.无穷小量和无穷大量(1(1)无穷小量(2 2)无穷小量阶的比较(3 3)等价无穷小代换定理(4 4)无穷大量 四、函数的连续性1.1. 连续性的概念(1 1)函数在一点的连续性(2 2 )间断点及其分类(3)区间上的连续函数2.2. 连续函数的性质(1) 连续函数的局部性质(a a)(局部连续性)若函数f(x)在X。点连续，则f(x)在X。点的某邻域内有界。(b)(b)(局部保号性)若函数f (x)在x0点连续，

5、且f(x。)芒 0，则对任意0 : : 存在xo某邻域U(Xo) ,x U (xo)时，f(x)皿、0(c)(c) (四则运算性质)若函数则f(x),g(x)在区间 I I 上有定义，且都在xI连续，则f(x)_g(x), f (x)g(x) , f (x)/g(x)(g(X0)=0)在x点连续。(d)(d)(复合函数的连续性)若函数f(x)在X。点连续，g(u)在U0点连续，u= f(x0)， 则复合函数g( f(x)在x0点连续。(2)闭区间上连续函数的基本性质(a)(a)( (最大最小值定理) )若函数f(x)在闭区间a,b上连续，贝U f (x)在闭区间a,b上 有最大值与最小值。推论

6、：(有界性)若函数f (x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭区间a,b上有界。(b)(b) ( (介值性定理) )若函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f(a)= f(b)，若为sin x.啊一x1 (2).lim (1】)x= e.j：x6f (a)与f (b)介于之间的任何实数(f (a) ”丄”f (b)或f (b) ”丄”f(a), ,则在开区间(a , b)内至少存在一点X0，使得f (x) =J. .推论(根的存在定理)若函数f (x)在闭区间a ,b上连续，且f(a), f(b)异号，则至少存在一点X。（a,b）使得f（Xo）=O. .即f（x）在（a ,b）内至少有一个实

7、根. .（3 3） 反函数的连续性（反函数的连续性）若函数f （x）在闭区间a,b严格递增（递减）且连续，则其反函数f（y）在相应的定义域f（a）, f（b）（ f（b）, f （a）上递增（递减）且连续。（4 4） 一致连续性定义（一致连续性）设函数f （x）在区间 I I 上有定义，若-；.0,，、：（；）.0只要X!, X2I，| X!- X2H;，都有I f （Xi） - f（X2） H;，则称f （X）在区间 I I 上一致连续。（b b）（一致连续定理） 若函数f（X）在闭区间a,b上连续，则f（X）在a ,b上一致连续。3.3.初等函数的连续性五、 导数和微分1.1. 导数的概念

8、（1 1）导数的定义（2 2）导函数（3 3 ）导数的几何意义2.2. 求导法则（1 1）导数的四则运（2 2）反函数的导数（3 3 ）复合函数的导数3.3. 参变量函数的导数4.4. 高阶导数5.5. 微分（1 1）微分的概念（2 2 ）微分的运算法则（3 3 ）高阶微分7（4 4）微分在近似运算中的作用六、 微分中值定理及应用1.1.拉格朗日中值定理和函数的单调性（1 1）罗尔定理与拉格朗日定理(2(2 )单调函数2.2. 柯西中值定理和不定式极限(1) 柯西中值定理(2) 不定式极限3.3. 泰勒公式4.4. 极值和最值(1 1 )极值判别(2 2 )最大值与最小值5.5. 凸性和拐点七

9、、 实数的完备性八、 不定积分1.1. 不定积分的概念2.2. 积分法九、 定积分1.1. 定积分的概念2.2. 牛顿一莱布尼茨公式3.3. 可积条件(1 1 )可积的必要条件定理 9.29.2 若函数 f f 在a,ba,b上可积，则 f f 在a,ba,b上必定有界(2 2 )可积的充要条件定理 9.39.3 (可积准则)函数f(x)在a , b可积lim S(T)s(T) = 0l(TT(3) 可积函数类定理 9.49.4 若 f f 为a,ba,b上的连续函数，则 f f 在a,ba,b上可积. .定理 9.59.5 若 f f 是区间a,ba,b上只有有限个间断点的有界函数，贝 U

10、Uf f 在a,ba,b上可积。8定理 9.69.6 若 f f 是a,ba,b上的单调函数，则 f f 在a,ba,b上可积。4.4. 定积分的性质(1) 定积分的基本性质(2) 积分中值定理定理(积分第一中值定理)若函数f (x)在闭区间a,b连续，则至少存在一点：=a,b,b使得f (x)dx二f ( )(b-a). .弋a定理 2(2(广义积分第一中值定理)若函数f(x)与g(x)在闭区间a,b连续，且g(x)在a,b.bb不改变符号，则至少存在一点三a,b，使得f(x)g(x)dx二f ( ) g(x)dx. .- a- a定理 9 9. iiii ( (积分第二中值定理) )设函数

11、f在a,b 1上可积. .( (i) )若函数g在la,b】上减, ,且g x - 0, ,则存在1a, b1,使b-af xg xdx二gaafXdx( (H) )若函数g在a,b 1上增，且g x _ 0, ,贝U存在 a, bl, ,使bbIf(xg(xdx = g(b)Rf(x)dx推论 设函数f在a,b上可积,若函数g为单调函数,则存在:-a,bl, ,使bb(f (x g(x dx = g(a)a f (x )+ g(b ) f (x dx5.5.微积分学基本定理十、定积分的应用1.1.平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线y=fy=f 上(x)(x)与 y=fy=f 下(x)(x

12、)及左右两条直线 x=ax=a 与 x=bx=b 所围成则面积元素为f f 上(x)-(x)- f f 下(x)(x)dxdx 于是平面图形的面积为bS=f上(X)f下(x)dx,类似地由左右两条曲线 x=x=左(y)(y)与 x=x=右(y)(y)及上下两条直线 y=dy=d 与 y=cy=c 所围成设平面 图形的面积为dS=严右(y)甲左(y)dy.2.2.立体的体积(1(1 )设立体在 x x 轴的投影区间为a a b b 过点 x x 且垂直于 x x 轴的平面与立体相截截面9面积为 A(x)A(x) 则体积元素为 A(x)dxA(x)dx立体的体积为(2(2)由曲线10分变量，则Xa

13、,b，对于区间a,b上的任一区间x,x dx，它所对应的窄曲边梯形绕f (x)为底半径，dx为高的圆柱体体积。即：体积元素为dV = : f(x) F dx所求的旋转体的体积为bV - - If (x) Fdxa3.3. 平面曲线的弧长设函数f (x)在区间a,b上具有一阶连续的导数，计算曲线y = f (x)的长度xa,b, ,在a,b上任取一小区间x, x dx，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度As可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为ds =-Af (x)2dx，弧长为bs二.1 f (x) Pdxa4.4.旋转曲面的面积取x为积分变量，则成的曲边梯形，绕11设平面光滑曲线 C

14、 C 的方程为y二f (x), X a.b(不妨设 f(x)f(x) 0 0),这段曲线绕周得到旋转曲面，得旋转曲面的面积公式b-2S=S=2二f x V f x dx.a5.5. 物理中的应用十一、反常积分1 1 无穷积分和瑕积分的概念2 2 无穷积分的性质和收敛判别3 3 瑕积分的性质和收敛判别十二、数项级数1.1. 级数的收敛性(1)收敛性判别 (a a)定义(b b)级数收敛的柯西准则(2 2 )收敛级数的性质2.2. 正项级数(1 1 )部分和数列有界(2 2 )比较原则 (3 3)比式判别法(4 4)根式判别法别法3.3. 一般项级数(1 1 )交错级数(2)一般项级数收敛判别(a

15、 a)阿贝尔判别法 (b b)狄利克雷判别法十三、函数列与函数项级数1.1. 一致收敛性(1 1 )函数列及其一致收敛性(2 2)函数项级数及其一致收敛性(3 3 )函数项级数一致收敛性判别法2.2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质(1 1)连续性(2)(2)可微性可积性十四、幕级数1.1.幕级数12(1)(1)幕级数的收敛区间(2)(2)幕级数的一致收敛(3)(3)幕级数在收敛区间上的性质2.2. 函数的幕级数展开十五、傅里叶级数1.1. 傅里叶级数(1 1 )三角级数(2 2)以2二为周期的函数的傅里叶级数(3 3 )收敛定理2.2. 以21为周期的函数的展开式(1) 以21为周期的函数

16、的傅里叶级数(2 2 )偶函数与奇函数的傅里叶级数3.3. 收敛定理的证明十六、多元函数的极限和连续1.1. 平面点集与多元函数(1 1 )平面点集(2)R2上的完备性定理(3 3 )二元函数2.2. 二元函数的极限(1 1 )二元函数的极限(重极限)(2 2 )累次极限3 3二元函数的连续性(1) 二元函数连续性概念(2) 有界闭域上连续函数的性质十七、多元函数微分学1.1. 可微性(1 1 )可微性与全微分(2) 偏导数(3) 可微性条件x x 轴旋转(5(5)积分判13(4 4 )可微性几何意义2.2. 复合函数微分法(1) 复合函数求导法则(2) 复合函数的全微分3.3. 方向导数与梯

17、度4.4. 泰勒公式与极值问题(1) 高阶偏导数(2) 中值定理和泰勒公式十八、隐函数1 1 隐函数2 2 隐函数组3.3. 几何应用4.4. 条件极值十九、含参量积分1.1. 含参量正常积分2.2. 含参量反常积分3.3. 欧拉积分二十、曲线积分1 1 第一型曲线积分2 2.第二型曲线积分二一、重积分1 1 二重积分2.2. 直角坐标系下二重积分的计算3.3. 格林公式定理 1 1 若函数p(x, yQ(x, y在闭区域D上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有辿王dbTPdx + Qdy( 1 1)DBX斜)L这里L是区域D的边界曲线，并取正方向公式(1 1)称为格林公式.4.4. 二重积分的

18、变量变换145.5. 三重积分二十二、曲面积分1.1. 第一型曲面积分152.2. 第二型曲面积分3.3. 高斯公式与斯托克斯公式定理 1 1 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成. .若函数P,Q,R在V上连续，且有连续的一阶偏导数，则P -rQ -R111( )dxdydz - i Pdydz Qdzdx Rdxdy,v:x :y:zS其中S取外侧. .称上述公式为高斯公式. .定理 2 2 丨为分段光滑的空间有向闭曲线，匕是以丨为边界的分片光滑的有向曲面，:的正向与 3 3 的侧符合右手规则，函数 P(x,P(x, y,y, z),z), Q(x,Q(x, y,y, z),z), R(x,R(x, y,y, z)z)在包含曲面二在内的一个空间区域内具