物理光学与应用光学——第3章-ppt课件

1、衍射和傅里叶光学基础衍射和傅里叶光学基础2现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。傅里叶光学：傅里叶光学：3一门新的理论总是要完成下列几项任务：逻辑上自洽，也就是

2、讲，自身要完整能够解释原有理论的可以解释的那些内容，并且得出相同的结论能够解释原有理论难以解释甚至无法解释的内容能够增添新的内容，得到新的结论，开拓新的领域，提出新的观点傅里叶光学与光学理论傅里叶光学与光学理论4傅里叶光学自身理论是完整的它可以解释几何光学的成像原理它可以合理完整的解释光的波动学说：干涉和衍射现象它可以得到传递函数、相衬理论、全息光学等新的现象和新的领域傅里叶光学与光学理论傅里叶光学与光学理论51. 1. 傅里叶变换的基本概念及运算傅里叶变换的基本概念及运算让我们先看看为什么会有傅立叶变换？让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是傅立

3、叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)。Fourier对热对热传递很感兴趣，于传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日其中有两位是历

4、史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果。直到屈

5、服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果。直到拉格朗日死后拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。年这个论文才被发表出来。 Joseph Fourier（1768-1830）FourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedtheFourierseriesandtransformtomodelheat-flowproblems.谁是对的呢？看从什么角度：谁是对的呢？看从什么角度：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。拉格朗日是对的。拉格朗日是对的。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表但是，我们可以用正弦

6、曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。别，基于此，傅立叶是对的。 78为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？ 如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一

7、个正余弦曲线具有的性质：正弦曲线保真度。一个正余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。正因如此我们才不用方波或三角波来表示。9101傅立叶级数的定义傅立叶级数的定义设设f(x)f(x)是周期为是周期为T0T0的周期函数，满足狄里赫利条件，的周期函数，满足狄里赫利条件， 即：即：(1)(1)、在区间、在区间(-T0/2, T0/2)(-T0/

8、2, T0/2)分段连续；分段连续； (2) (2)、只存在有限个极值点；、只存在有限个极值点； (3) (3)、只存在有限个第一类间断点；、只存在有限个第一类间断点； (4) (4)、绝对可积，即：、绝对可积，即： 2/2/00| )(|TTdxxf则则f(x)f(x)可以展开为傅立叶级数：可以展开为傅立叶级数： nnnnTnxbTnxaaxf)2sin()2cos(2)(000(1)称为傅立叶系数称为傅立叶系数2/2/0000)(1TTdxxfTa(2)2/2/0000)2cos()(1TTndxTnxxfTa(3)2/2/0000)2sin()(1TTndxTnxxfTb(4)连续可积连

9、续可积11令： 200ac 2nnnibac2nnnibac则有： 2/2/0000)(21TTdxxfTc(5)2/2/0000)2exp()(21TTndxTnxixfTc(6)2/2/0000)2exp()(21TTndxTnxixfTc(7)可用cn来统一表示，称cn为复数形式的傅立叶系数。nnnTnxicxf)2exp()(0(8)于是 f(x) 的傅立叶级数可以用复数形式表示为： 亦可简称为傅立叶系数。12傅立叶系数傅立叶系数cncn： 2/2/0000)2exp()(21TTndxTnxixfTc(9)函数函数f(x)f(x)的周期的周期T0T0的倒数，称作的倒数，称作f(x)f

10、(x)的基频，表示为：的基频，表示为：f0=1/T0f0=1/T0；而而fn=n/T0=nf0fn=n/T0=nf0，称作，称作f(x)f(x)的谐频，亦可简称为频率。的谐频，亦可简称为频率。如果如果f(x)f(x)代表时间函数，则代表时间函数，则fnfn代表时间频率；代表时间频率；如果如果f(x)f(x)代表空间函数，则代表空间函数，则fnfn代表空间频率。代表空间频率。阐明：阐明：周期函数周期函数f(x)f(x)可以分解为一系列频率为可以分解为一系列频率为fnfn，复振幅为，复振幅为cncn的谐波；的谐波；反之，若将各个谐波线性叠加，则可以精确的综合出反之，若将各个谐波线性叠加，则可以精确

11、的综合出原函数原函数f(x)f(x)。nnnTnxicxf)2exp()(0(8)132频谱的概念频谱的概念一个周期变化的一个周期变化的 物理量物理量在在x域域(时间域或空间域时间域或空间域)内用内用f(x)来表示：来表示：2/2/0000)2exp()(21TTndxTnxixfTc(9)nnnTnxicxf)2exp()(0(8)而在而在fn域域(时间频率域或空间频率域时间频率域或空间频率域)内用内用cn来表示：来表示：由于由于cn表示频率为表示频率为fn的谐波成分的复振幅，所以的谐波成分的复振幅，所以cn按按fn的分布图形称为的分布图形称为f(x)的频谱。的频谱。因为一般因为一般cn是复

12、数，所以是复数，所以cn的模值的模值|cn|随随fn的分布图叫的分布图叫做做f(x)的振幅频谱，而的振幅频谱，而cn的幅角随的幅角随fn的分布图叫做的分布图叫做f(x)的位相频谱。的位相频谱。可见这两种表示是等效的。可见这两种表示是等效的。14150l-ll2lxf(x)锯齿波锯齿波将一个系统的输入函数将一个系统的输入函数f(x)f(x)展开为傅立叶级数，在频率域展开为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为频谱分析方法。种处理方法称为频谱分析方法。为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频为

13、了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。谱分析的方法。fnf5f4f3f2f1Ocn锯齿波的振幅频谱锯齿波的振幅频谱2. 2. 一维傅立叶变换的定义及其运算举例一维傅立叶变换的定义及其运算举例1617傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号表示：傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号表示： F()=Ff(x) (12) F()=Ff(x) (12) f(x)= F -1F() (13) f(x)= F -1F() (13) 设设f(x)f(x)是定义在实数域是定义在实数域x x上的一维函数，若上的一维函数，若f(x)f(x)满足狄里赫利满足狄里赫利条件，即条件，即f(x)f

14、(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间和有限个第一类间断点，并且在区间(-(-，)上绝对可积，则下上绝对可积，则下述积分变换成立：述积分变换成立： dxxjxfF)2exp()()(10) dxxjFxf)2exp()()(11) 称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为的谐波成分。的谐波成分。 阐明：一个物理量既可以在域阐明：一个物理量既可以在域x x中用函数中用函数f(x)f(x)来表示，也可以通过来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域傅立叶变换，在频率域内用函数内用函数

15、F()F()来描述。来描述。 1一维傅立叶变换的定义：一维傅立叶变换的定义：称作函数称作函数f(x)的傅立叶变换的傅立叶变换称作傅立叶逆变换称作傅立叶逆变换exp()jx182一维傅立叶变换的举例一维傅立叶变换的举例 例例1)、求矩形函数、求矩形函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。的傅立叶变换。 dxxjaxrectF)2exp()()()(sin1)/()/sin(1)2exp(2121acaaaadxxjaa 在物理光学中，习惯在物理光学中，习惯将将F()的主瓣宽度定义的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，为矩形函数的频带宽度，由图由图2可见，可见，rect(ax)的的频带宽度为频带

16、宽度为2a。 解：解：10a21a21)( xrectx图图2 矩形函数及其频谱图矩形函数及其频谱图-3a-2a-aa2aO3a( )F19例2)、sinc函数xxxc)sin()(sin的傅立叶变换dxxixfF)2exp()()(首先： xixixixxxc2)exp()exp()sin()(sin于是根据定义，函数f(x)的傅立叶变换为：exp (12 )exp(12 )( )sin ( )exp(2)2ixixFc xix dxdxi x 解：cos(1 2 )sin(1 2 )cos(1 2 )sin(1 2 )2xixxixdxi x cos(12 )cos(12 )sin(12

17、)sin(12 )2xxixxdxi x cos(1 2 )cos(1 2 )sin(1 2 )sin(1 2 )22xxxxdxdxi xx 有：因为cos(x)/x是奇函数， sin(x)/x是偶函数，所以有： 20000aaa2/02/)sin(0dxxax( )sin ( )exp(2)sin(1 2 )sin(12 )2sin(1 2 )sin(12 )22Fc xix dxxxdxxxxdxdxxx 0210210212/02/220210210212/02/2202/112/1|2/12/1|1/20-1/21/2sin(1 2 )21/21/201/21/21/2xdxx si

18、n(12 )21/21/201/21/21/2xdxx 11/20-1/21/2( )rect21例3)、负指数函数的傅立叶变换负指数函数的定义为： 0)exp()(axxf)0(00axx则它的傅立叶变换为： 0( )exp()exp(2)12Faxjx dxaj易见，F()是复函数。它的振幅为： 22)2(1| )(|aFaF2)(argOx|F()|f(x)argF()相位为：22例4)、高斯函数的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换 dxxixF)2exp()exp()(222exp()exp() xidxPossion积分： axa2)exp(022可见，高斯函数具有自傅立叶变换的性

19、质。解：2exp()xf(x)( )F233. 3. 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 及有关定理及有关定理1 1线性线性2 2对称性对称性3 3迭次傅立叶变换迭次傅立叶变换4 4缩放性缩放性5 5平移性平移性6 6相移性相移性7 7面积对应公式面积对应公式8 8复共轭函数的傅立叶变换复共轭函数的傅立叶变换 3.1 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 241线性线性设设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为任意常数，为任意常数，那么：那么：F af(x)+ bg(x)= aF()+ bG()即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换

20、的线性组合，这表明傅立叶变换是线性变换。的线性组合，这表明傅立叶变换是线性变换。线性是什么意思？数学上是指一次方的函数关系。物理上指线性是什么意思？数学上是指一次方的函数关系。物理上指不变形。不变形。 2.4.1 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 252对称性对称性 若若F f(x)=F()，则，则F F (x)= f (-)3迭次傅立叶变换迭次傅立叶变换若若F f(x)=F()，则，则F F()= f(-x)264缩放性相似性定理和尺度变换定理）缩放性相似性定理和尺度变换定理）)(|1aFaF f(ax)=F f(ax)=若若F f(x)=F()，a为不等于零的常数，则有：为不等于零的常数，

21、则有： 即原函数在空域坐标即原函数在空域坐标x, yx, y的的“伸展伸展”（a a，b b1 1时），将导致其频谱函数在频域坐标时），将导致其频谱函数在频域坐标fx, fx, fyfy中的中的“收缩收缩”，以及整个频谱幅度的一个总，以及整个频谱幅度的一个总体变化。且其收缩和展宽的因子相同。体变化。且其收缩和展宽的因子相同。275平移性平移性若若F f(x)=F()，x0为任意实常数，则有：为任意实常数，则有：F f(xx0)=exp(j2x0)F()即函数即函数f(x)在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，而不改变其振幅频谱。而不改变其振

22、幅频谱。6相移性相移性若若F f(x)=F()，0为任意实常数，则有：为任意实常数，则有：F exp(j20 x)f(x)=F(0)即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。287面积对应公式面积对应公式dxxfF)()0(dFf)()0(8复共轭函数的傅立叶变换复共轭函数的傅立叶变换 若若F f(x)=F()，则有：，则有： F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*()若若F f(x)=F()，则有：，则有：F(0)等于等于f(x)曲线下的面积；曲线下的面积；f(0)则等于则等于F()的曲线下的面积。的曲线下的面积。两个

23、面积相等。两个面积相等。对于二维傅立叶变换，对于二维傅立叶变换，面积面积当换成当换成体积体积。294. 4. 光波的傅里叶分析光波的傅里叶分析 4.1 平面波基元函数分析方法平面波基元函数分析方法 按照傅里叶分析的观点按照傅里叶分析的观点: :平面平面(x,y)(x,y)上一个任意的光场上一个任意的光场复振幅分布复振幅分布A(x,y)A(x,y)，可以表示为一系列空间频率为，可以表示为一系列空间频率为 (fx,fy),(fx,fy),振幅密度为振幅密度为a(fx,fy)a(fx,fy)的简谐平面波的线性叠的简谐平面波的线性叠加，上述振幅密度函数加，上述振幅密度函数a(fx,fy)a(fx,fy

24、)可通过可通过A(x,y)A(x,y)的二维的二维傅里叶变换求出：傅里叶变换求出： 前往前往dxdyyfxfjyxAffayxyx)(2exp),(),(yxyxyxdfdfyfxfjffayxA)(2exp),(),( 处理线性系统常用方法处理线性系统常用方法：线性系统的分析与综合：傅立叶分析一个复杂一个复杂输入输入分解分解多个简单多个简单“基元输入基元输入计算每个计算每个“基元基元输入的响应输入的响应总响应总响应叠加叠加傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！基元函数基元函数权重因子权重因子dxdyyfxfjyxAffayxyx)(2exp),(),

25、(基元函数的意义：基元函数的意义：代表了传播方向为：代表了传播方向为： cosfx，cosfy的单位振的单位振幅的平面波。幅的平面波。逆傅立叶变换的物理意义：物函数逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振可看作是无数振幅不同幅不同 (|F(fx,fy) |dfxdfy)方向不同（方向不同（ cosfx，cosfy ）的平面波线性叠加的结果）的平面波线性叠加的结果(傅立叶分解傅立叶分解)。基元函数基元函数权重因子权重因子逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。yxyxyxyxdfdfyfxfjffaffAyxA)(2exp),(),(),(1

26、线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。v系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。v基元函数基元函数: 指不能再分解的基本函数单元指不能再分解的基本函数单元,且它们的响应是比较易于确且它们的响应是比较易于确定的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：定的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：函数、复指数函数、函数、复指数函数、余弦函数余弦函数v线性系统对某种线性系统对某种“基

27、元激励的响应。基元激励的响应。34光波的傅立叶分析 1 1、实际光源发出的光波是复杂的，其时间参量里包含各种时间、实际光源发出的光波是复杂的，其时间参量里包含各种时间频率，其空间分布上很复杂，其等相面具有复杂的形状。频率，其空间分布上很复杂，其等相面具有复杂的形状。 2 2、研究复杂光波的有效方法是将它分解为一系列简谐平面波的、研究复杂光波的有效方法是将它分解为一系列简谐平面波的线性组合，分析各个简谐平面波成分传播规律，最后综合出复线性组合，分析各个简谐平面波成分传播规律，最后综合出复杂光波的传播规律。杂光波的传播规律。 3 3、凡是符合傅立叶变换存在条件的一切复杂波，都可以用傅立、凡是符合傅

28、立叶变换存在条件的一切复杂波，都可以用傅立叶变换作为分解的手段。叶变换作为分解的手段。 4 4、对复杂波分解的方法步骤是：、对复杂波分解的方法步骤是： 首先，将空间各考察点处的振动分解为各种时间频的简谐首先，将空间各考察点处的振动分解为各种时间频的简谐振动的线性组合，即时间域分解；振动的线性组合，即时间域分解； 然后，将每个简谐波分解为一系列不同空间频率的平面波然后，将每个简谐波分解为一系列不同空间频率的平面波的线性组合，即空间域分解。的线性组合，即空间域分解。 最后，将复杂波表示为一系列简谐平面波的线性组合。最后，将复杂波表示为一系列简谐平面波的线性组合。 35(一一)、时间域分解、时间域分

29、解 ),(zyxA设设A(x, y, z, t)表示一个复杂波在考察点表示一个复杂波在考察点(x, y, z)处的振动函数，通过处的振动函数，通过时间域的傅立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱。时间域的傅立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱。dttitzyxAzyxA)2exp(),(),(9)于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：dtizyxAtzyxA)2exp(),(),(10),(zyxA阐明，复杂波阐明，复杂波A(x, y, z, t)可以分解为一系列频率为可以分解为一系列频率为，振幅密，振幅密度为度为 的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。即

30、：即：36dtizyxAtzyxA)2exp(),(),(10)但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。( , , , )exp(2)A x y zit对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。设简谐波复振幅设简谐波复振幅 的空间频谱为的空间频谱为),(zyxA),(zyxfffA(, )( , , , )exp 2 ()xyzxyzA fffA x y zif xf yf z dxdydz(11) ( , , , )(, )exp2 ()xyzx