无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计第四节ppt课件

1、3.4 3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换Z Z平面变换法平面变换法 上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进展。 DF低通原型函数 这种变换是由 所在的Z平面到Hz所在的Z平面的一个映射变换。 为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的 Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示： 变换)(zHp)(ZHp11()uG z各种DF的 Hz11()( )( )uG zpHuH Zuz平面平面于是，DF的原型变换可表为： 11()( )( )puG zH zH

2、u且必有 ，其中 是 的相位函数， 即函数在单位圆上的幅度必需恒为1，称为全通函数。函数 的特性：1) 是 的有理函数。2希望变换以后的传送函数坚持稳定性不变，因此要求 u的单位圆内部必需对应于z的单位圆内部。3 必需是全通函数。 为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，假设以 分别表示u平面和Z平面的单位圆，那么1()G z1()G z1z1()G zjjee 和( )jjjjeG eG ee ()jG e1jG e全通函数的根本特性：其中 为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必需在单位圆以内，即 ，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。 的一切零点 都是其极点的

3、共轭倒数 N：全通函数的阶数。 变化时，相位函数 的变化量为 。 不同的N和 对应 各类不同的变换。 1*111()1NiiizG zz i1i1()G z*/1i0i N任何全通函数都可以表示为：下面详细讨论几种原型变换： 低通低通LP LPLP的变换中， 和 都是低通函数，只是截止频率互不一样(或低通滤波器的带宽不同)，因此当 时，相应的 ，如图1(a)，根据全通函数相位 变化量为 的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必需满足以下两条件： G(1) = 1 , G(-1) = -1 满足以上要求的映射函数应为)(jpeHjeH0 N1111)(zzzg10其中 是实数，且 图1(a) L

4、P-LP变换有对称性c00 代入上式，可得到上述变换所反映的频率变换关系： 由此得 上式把 ， 。频率特性: 呈线性关系，其他为非线性。 当 时， ， 带宽变窄， 当 时， ， 带宽变宽， 适中选择 ，可使 变换为 ，如图1(b)所示 。 :低通原型截止频率， : 变换后截止 频率 jjeuez及将）（21jjjeee221sinarctan21cos,0zucc时00cccccccc00 确定 ： 把变换关系 带入2式 ，有： 得 2 式的 频率关系，如图1(b)cccjjjeee12sin2sincccc ccLP-LP频率变换图1(b) LP-LP频率变换特性 cc LP-HP a .根

5、本思想：上述 LP 变换中的Z代以Z , 那么 LP = HP 。0b. 高通变换）（21jjjeee或00LP-HP变换把cc如图2a， 在上述LP-LP 变换中，将 Z代以Z , 得 LP - HP变换关系：）（11111111zzzzu旋转180，所以 原型低通的截止频率 对应于高通的边境频率 ，欲将 变换到 ，由2式， 有： cccccccccccjjjjjjeeeeee1,12cos2coscccc:确定 LP-BP LP-BP变换把带通的中心频率 故 N=2。 由以上分析得变换关系： 或00c2c12111122121()(3.67)1zrzruG zrzrz) 2(1122212

6、jjjjjererreree00000,0时，如图3(a),0,(1)1,G ，全通函数取负号。只是位置的对应关系，从图(3)a看到LP-BP变换图3 (a) LP-BP变换102cc00可以看出边境频率的对应关系把变换关系 代入2式得 ：消去 r1，得：令 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecccc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc21cot()tan22ck确定r1, r2 ：可证明， 其中 r1,r2

7、代入2式，那么可确定频率变换关系，如图3b。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP频率关系 LPBS 如图4(a), LPBS变换把带阻的中心频率 的变化范围为 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号。 由以上分析得变换关系： 1 或 20000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS变换图4 (a) LP-BS变换201cc)(jeH00确定r1, r2 ： 把变换关系 代入2式得 ： 其中 ， r1, r2代入2式，得图4b,此频率变换关系与前面的分析相吻合。21tantan22ck121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S频率变换关系 LP-BS变换的又一种实现方法: 两步来做 由低通到带阻的变换同样可以经过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到带通公式求,最后可求得 ,如书中表格内表达式。)(1)()(1)(111222112111111