第九章曲线积分与曲面积分1ppt课件

1、 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral定积分定积分积分区域积分区域区间区间平面区域平面区域空间区域空间区域二重积分二重积分三重积分三重积分曲线曲线曲面曲面曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分数量值函数数量值函数向量值函数向量值函数(第一类第一类)(第二类第二类)第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 (对弧长的曲线积对弧长的曲线积分分)问题的提出问题的提出第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算小结小结 思考题

2、思考题 作业作业xyzoL0M1iMiMnM),(ii),(iih一、问题的提出一、问题的提出1. 柱面的面积柱面的面积设曲面设曲面是以是以xOy面上的面上的曲线曲线L为准线为准线,母线平行于母线平行于Z轴的一部分，轴的一部分， 其高度其高度),)(,(Lyxyxh是一个是一个变量变量, 求此曲面的面积求此曲面的面积.的长度表示记iiiMMs1则小柱面面积的近似值为则小柱面面积的近似值为iiish),(第一类曲线积分第一类曲线积分柱面面积为柱面面积为iiinishS),(1当当n个小弧段弧长的最大值个小弧段弧长的最大值趋于零时，趋于零时，和式和式的极限就是柱面面积的精确值，即的极限就是柱面面积

3、的精确值，即第一类曲线积分第一类曲线积分iiinish),(10lim SOxy2. 曲线形构件的质量曲线形构件的质量设曲线形构件占有设曲线形构件占有xOy面上的一面上的一条曲线条曲线L,其线密度为其线密度为ABL),(yx求此曲线形构件的质量求此曲线形构件的质量.sM 匀质之质量匀质之质量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取极限取极限M取近似取近似近似值近似值精确值精确值第一类曲线积分第一类曲线积分 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM二、第一类曲线积分的概念二、第一类

4、曲线积分的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,is 为为又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函数函数作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM第一类曲线积分第一类曲线积分121,nMMM曲线形构件的质量曲线形构件的质量 LsyxMd),

5、( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(这和的极限存在这和的极限存在, 则称此极限为数量值则称此极限为数量值),(yxf函函数数在曲线在曲线 L上的曲线积分上的曲线积分,(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分).或或第一类曲线积分第一类曲线积分 积分和式积分和式被积函数被积函数 弧长元素弧长元素积分曲线积分曲线记作记作 niiiisf1),( niiiisf1),( 0lim 第一类曲线积分第一类曲线积分柱体的面积柱体的面积LdsyxhS),(2. 存在条件存在条件上上在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当Lyxf),(3. 推广推广上上在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf szyxf

6、d),(.d),(存存在在 Lsyxf第一类曲线积分第一类曲线积分连续连续, ,的第一类曲线积分为的第一类曲线积分为iniiiisf 10),(lim第一类曲线积分第一类曲线积分或者或者),(yxf有界有界,并只有有限个间断点时并只有有限个间断点时,注意注意在在函函数数),()2(yxf Lsyxfd),(闭曲线闭曲线L L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关, 即即 Lsyxfd),()(AB Lsyxfd),()(BA(1)4. 性质性质 Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1)

7、LLsyxgsyxfd),(d),(2)( 为常数为常数kk(3)第一类曲线积分第一类曲线积分)(21LLL Lsyxfd),( 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf(对路径具有可加性对路径具有可加性)(4)Lsds)(的弧长为Ls 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数 Lsyxfd),(是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 ,d),(21 LsyxfL1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, ),(

8、yxf设函数设函数那那么么, 0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或x轴轴)(或或x) 第一类曲线积分第一类曲线积分),(yxf运用对称性简化第一类曲线积分计算时运用对称性简化第一类曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 的奇偶性与积的奇偶性与积分曲线分曲线L的对称性的对称性.例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因积分曲线因积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因积分曲线因积分曲线L关于关于3y222Ryx

9、 线性性线性性, ,计算计算得得0 是是L上上y轴对称轴对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴对称轴对称,关于关于y的奇函数的奇函数xyO第一类曲线积分第一类曲线积分三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算定理定理),()()( ttytxL的的参参数数方方程程为为上上在在曲曲线线弧弧设设Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中那那么么 f),(t )(t )( 有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数, Lsyxfd),( 解法解法 化为参变量的定积分计算化为参变量的定积分计算注意注意弧长元素弧长元素0d s定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限

10、 第一类曲线积分第一类曲线积分tttd)()(22特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x ),()()( ttytxL的的参参数数方方程程为为dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d2 yy d)(12 第一类曲线积分第一类曲线积分 Lsyxfd),( f ),(t )(t tttd)()(22)( Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3),()()( ttytxL的的参参数数方方程程为为特殊情形特殊情形)()(

11、),(),(: ttztytx推广推广 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( 第一类曲线积分第一类曲线积分sin)(cos)(yx Lsyxfd),( f ),(t )(t tttd)()(22)( ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此时需把它化为参数方程此时需把它化为参数方程中中某某一一个个选选择择zyx,(再按上述方法计算再按上述方法计算.为参数为参数),第一类曲线积分第一类曲线积分是两个曲面的交线如果积分路径 L例例解解例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI

12、 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原点点到到为为其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 对对x积分积分?)2 , 2( xy22 xyO第一类曲线积分第一类曲线积分即即是是右右半半圆圆周周其其中中计计算算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此题可用解此题可用,轴轴对对称称关关于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函数的偶函数为为yyRy02对称性质对称性质ABCLxyO第一类曲线积分第一类曲线积分xysd1d2 xyRd例例解解:AB22xRy

13、 Lsy d|Rx 0,d22 Lyxse计计算算,:222ayxL 由由圆圆周周轴轴及及直直线线xxy 在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.AB Lyxsed22 BOABOA提示提示解解:OA, 0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,cos ayax 40 seAByxd22 d40aea xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyO第一类曲线积分第一类曲线积分AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO第一类曲线积分第一类曲线积分,1),(时时当当

14、yxf上上的的表表示示立立于于当当Lyxf),( SsL),(yxfz Lsd(1)(2),),(处的高时处的高时柱面在点柱面在点yx四、几何意义四、几何意义 Lsyxfd),(柱面面积柱面面积弧长弧长 L第一类曲线积分第一类曲线积分几何意义几何意义例例 . 0,d22222zyxazyxsxI为圆周为圆周其中其中求求 解解 由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球球面面大大圆圆周周长长 sa有有 szyxd)(22231 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全对称的地位完全对称, 第一类曲线积分第一类曲线积分轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx)2(,d2 LxsyI 曲线弧的重心坐标)3(,dd LLssxx 的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx),()( 1 LsyxMd),( 物理意义物理意义 LysxId2 LLssyydd 第一类曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的计算公式第一类曲线积分的计算公式第一类曲线积分的应用第一类曲线积分的应用五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、重心、转动惯量曲线的