不定积分与定积分期末复习

1、不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：原函数一加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去(3)去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论),一dx，一一一例：/2、|x1dx(连续点x=1处，原函数须相等)Xx1详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求1例：1sinxdx=上下同时乘以.22,4、巧妙运用sinxcosx1一1，一例：-dx=带入分子后,sinxcosx'225、巧妙运用secx1tanx4.sec2xtan4x,例1-tanxdx2dx

2、sec2x1sinx拆分即可2secxdxd(tanx)tan4x11,、2d(tanx)1tanx还有1tanx,dx21tanx和tanxtanx1tanxdxsec2x(上下同时乘以)注1:方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2:其他的题目可以尽量往secx和tanx方面去化简dx2例：旌高改=上下同时乘以secx五、解题技巧1、换元法2n1x.71dxx1解:淡定，然后令tnX，带入即可In2x,dxxIn4x解:1 .xdx d(1nx),再让In2x Inx In2,-即可In4x Inx In4314x.64-dx=令t614x(使分子，分母均为有理数)2、分部积分法3

3、解：(1)secxsecxd(tanx)secxtanxtanxd(secx)233(2)tanxd(secx)(1cos)secxdxsecxdxsecxdx(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可In(1x)(2)7一1一分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分1x3、万能公式-dx和-1一dxsinx1cosx解答:可以用万能公式,也可以将分母变为一项(从而便于列项由来)1 sin x , sinx(1 cosx)dxdx5 3cosx4、欧拉变换(1)由现如JMx，1x x2之类的dx例：/2=>4txxx审入即可.xx依然可以配方后，用三角代换详情请参见P1985、典

4、型例题.1CC2解：1-(1x2)(1x2),再上下同时处以x,分母进行配方,将分子的原函数”看由来”即可1汪意：下dx=可以分母直接因式分解，再列项即可x思路1:配凑拆分一降次思路2:三角换元一t=tanx解1:分子1-(1x2)(1x2),再同时上下处以x2即可解2:带入可得cos2tdt当n为奇数时，提由一个-sinx令-sinxdx=d(cosx),再根据22sinx1cosx即可.21当n为偶数时，令sinx2(1c0s2x),带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见P188(1)思路：配7降次一分开来算已知(2x2)dxd(x22x2)和

5、Fx2d(x21)(x22x2)2(x1)21)6、其他难题见P201最上面的两道题定积分一、定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f的不定积分是一个函数族F(x)+C,而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得由结果2、三、基本公式1、平面图形的面积aa(1)一般方程：Abf(x)dxbydxaa(2)参数方程:A|by'(t)d(x(t)|by(t)x'(t)dt|“1a2,(3)极坐标方程：A2br()d注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数A(x)是a,b上的一个连续函数，则立体体积a2.Vbf(x)dx详情见P248(2)旋转体的体积可知：A(x)f(x)2所以体积公式为Vf(x)2dx222例：由圆x(yR)r(0rR)绕x轴旋转一周所得环状立体的体积。解：详情见P250的例43、平面曲线的弧长与曲率(曲率略)(1)C为一条光滑曲线，即连续可微(2)参数方程:(3)一般方程:c：x'(t)2y'(t)2dtb(4)极坐标方程:r2( ) r'( )2d bcb1f'(x)2dx4、旋转曲面的面积(1)设平面光滑的曲线