不定积分例题及答案

1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不不设f(x),xI,若存在函数F(x),使得对任意xI均有F(x)f(x)积分积分或dF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。的概f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为念注：(1)若f(x)连续，则必可积；(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)G(x)C。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：dxf(x)dx£)或f(x)dxf(x)dx；性质2：F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C;性质3：f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx,为非零常数。计算第一换元积分法设f(u)的原函

2、数为F(u),u(x)可导，则有换元公式：方(凑微分法)法第二类换元积设x(t)单调、可导且导数不为零，f(t)(t)有原函数F(t),分法则f(x)dxf(t)(t)dtF(t)CF(1(x)C分部积分法有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知一求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会

3、不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)dxx x . (6) 2dxx思路：被积函数1x2 Jx由积分表中的公式（2）可解。d dx解：x . x5x 2dx(2)(3 x-1-)dx,x思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3/x J=)dxx(x3 x 2)dx11341x3dxx 2dx -x3 2x2 C4(3)(2x x2) dx思路

4、：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。2x解：(2x x 2)dx2xdxx2dx In 21x3 C 3、x(x 3)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。3解：4(x 3)dxx2dx 31x2dx_ 4_ 23x 3x 1.(5) 、dxx2 13x4 3x思路：观察到2x3x2-后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。13x2dx1 2 dxx3 arctan x C1 x2x思路：注意到2x1x22x解：2dx1 xdx 2 dx1 xarctan x C.1_一一八八一八J,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

5、x注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(-21+3-4)dx x思路：分项积分。解：（x24、,4)dxxxdxdx x3 x 3dx 4 x 4dx3(8) (rv一2 )dx,1 x2思路：分项积分。.1 3解：（2 )dx(9)dx x1, cc .cdx 3arctan x 2arcsin x C.x2思路:,x . x x ?看到 JxJxVX1 1x2 47x8,直接积分。解：x7xVxdx7x8dx葭815C.1(10)、7dxx(1x)思路：裂项分项积分。解：1x

6、2(1x2)dx1、，Kdx2dxxLdxx1-aarctanxC.x(11)2xexe*x解：2xexe(ex1)(ex1)dx(ex1)dxxC.(12)3xexdx思路：初中数学中有同底数嘉的乘法：指数不变，底数相乘。显然3xex(3e)xo(3e)x解：3xexdx(3e)xdxHLc.ln(3e)2.(13)cotxdx思路：应用三角恒等式“cot2xcsc2x1"。22解： cot xdx (csc x1)dx cotx x C(14)组5 2x-dx3x思路：被积函数2 3x 5 2x3一，2、x.5( 一 ),积分没困难。3Tx 3x(25(2)，dx 2x 5. C

7、.3ln2 ln3(15) cos2 x dx2思路：若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降嘉，再积分。解：(16)2 x .1 cosx .cos d dx221.)dx1 cos2x1sinx C. 2思路：应用弦函数的升降嘉公式，先升寨再积分。解：jx1 cos2xcos2x (17) dxcosx sinx工dx2cos x21sec xdx - tanx C.22思路：不难，关键知道cos2x cos x.2 sinx (cosx sin x)(cos x sin x)”。解：(18)cos2x dx (cosx sin x)dx cosx sin xcos2x .22dxcos

8、x sin xsinx cosx C.解：cos2x2-dxcos x sin x22 cos x sin x 22dxcos x sin x112dx 2xsin x cos x思路：注意到被积函数解：2arcsinx C.1x1x1x1x2A-，应用公式(5)即可。1x1x,1-x21-x2一x2 (20)21cosx,dx1cos2x思路：注意到被积函数121-sec2 x ,则积分易得。2221cosx21cosx-722cosx解：1cos2x121dxsecxdxdx1cos2x22tanxxC.22、设xf(x)dxarccosxC,求f(x)知识点：考查不定积分(原函数)与被积

9、函数的关系思路分析：直接利用不定积分的性质1：-dxLf(x)dxf(x)即可解：等式两边对x求导数得：3、设f(x)的导函数为sinx,求f(x)的原函数全体知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，f(x)sinxdxcosxC1所以f(x)的原函数全体为：(cosxC1)dxsinxC1xC21ex4、证明函数一e,eshx和echx都是的原函数2chx-shx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析：只需验证即可ere2x内d12xdxdx2x解：Qe,而一(-e)一eshxechxechxshxdx2dxdx5

10、、一曲线通过点(e2,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。dr1解：设曲线方程为yf(x),由题意可知：丁f(x)f(x)ln|x|C；dxx22、又点(e,3)在曲线上，适合方程，有3ln(e)C,C1,所以曲线的方程为f(x)ln|x|1.26、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问：(D在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360米需要多少时间？

11、知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：yf(t),则由速度和位移的关系可得:3f3t2f(t)t3C,又因为物体是由静止开始运动的,3f(0)0,C0,f(t)t知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习思路分析整体变量,:审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍! (1)e3

12、tdt思路：凑微分。解：e3t dt33(2) (3 5x) dx3t ed(3t)3t思路：凑微分。3解：(3 5x) dx(335x) d(35x)14八(3 5x) C20c1 (3)dx32x思路：凑微分。1,解：dx3 2xd(3 2x) 2x|32x| C.,1 (4)dx353x思路：凑微分。1解：.-3 5 3x13 5 3xd(5 3x)(513x)%(53x)12-(5 3x)3 C.2(5) (sin axxeb)dx思路：凑微分。解： (sin axxeb)dx1一 sin axd (ax) b ax ed(b)1一 cosax axbeb一小、cost,(6)dt思路

13、：如果你能看到d(J1)drdt,凑出dl/F)易解。2、t解：cosytdt2costd(JT)2sinJTC,t102,(7)tanxsecxdx思路：凑微分。102101.11解：tanxsecxdxtanxd(tanx)tan11C.(8)dxxlnxlnInx思路：连续三次应用公式凑微分即可。解：dxxlnxlnInxd(ln|x|)InxlnInxd(ln|lnx|)InInxln|lnlnx|C(9)tan.1x2xdx思路：本题关键是能够看到一,1xdx可是什么，是什么呢？就是xdji！这有一定难度!2xdx解：tanv1x,;1x2tan.1x2d1x2In|cos1x2|C

14、（10）dxsinxcosx思路：凑微分。解：方法一:倍角公式sin2x2sinxcosx。方法二:将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。三角公式sin2xcosx1,然后凑微分。（11）dxxe思路：凑微分:dxxeexdx2xedex1e2xdex1(ex)2丘dx解：-xeeexdxdexe2x11(ex)2arctanex2、.(12) xcos(x )dxC思路：凑微分。/2、,解：xcos(x)dx12,2cosxdx21sinx2C2(13)=*”=,23x2思路：由T鼠23x21 dx22 .23x22、ld(2_3x_)凑微分易解。23x2叼xdx解：j-23x22d

15、(23x2)23x26(213x2)5d(23x2)3"(14)coS2(t)sin(t)dt思路：凑微分。一2,解：cos(t)sin(12t)dtcos(t)sin(t)dt12,一cos(t)dcos(t)(15)思路：凑微分。3解：4(16)cosx思路：凑微分。ssinx解：3dxcosx9x(17)dx,2x20313cos思路：经过两步凑微分即可。9x.解：,dx,2x20-dcosxx10.2x20d(1xx4)3ln4|1x4|C,11二2-2cosx.10dx10C.101(X2)210x,2101.一arcsin101x(18)dx94x2思路：分项后分别凑微分

16、即可。1 x解：, dx,9 4x2.9 4x2dxx .dx 4x2(19)目思路：裂项分项后分别凑微分即可。解：dxdx2x2 1( ；2x 1)(、2x 1)1)dx.2x 1xdx (20)2(45x)2思路：分项后分别凑微分即可。. xdx解：2(4 5x)1,4 5x 4一,72"5 (4 5x)dx25(4 5x4 (45x)万)d(4 5x) (21)改(x1)100思路：分项后分别凑微分即可。xxx2dx(x 1 1)2dx解：7E1f(x 1) (x 1)(x1)2100(x 1)1)1)1001-100)dx(x 1) (22)普8x1思路：裂项分项后分别凑微分

17、即可。xdx1)(x4 1)1 -2 x4 1-)xdx 11(，(44 x 1六)dx2x 1(23)cos3xdx思路：凑微分。cosxdx-3.解： cos xdxcos2 x cosxdx22cosxdsinx(1sinx)dsinx2(24)coJ(t)dt思路：降嘉后分项凑微分。行21cos2(t),x1.x解：cos(t)dt-dt-dt22cos2(t)d2(t)(25)sin2xcos3xdx思路：积化和差后分项凑微分。1,解：sin2xcos3xdx-(sin5xsinx)dx101.sin5xd5xsinxdx2(26)sin5xsin7xdx思路：积化和差后分项凑微分。

18、解：sin5xsin7xdx1-(cos2xcos12x)dxcos2xd2x1cos12xd(12x)3.(27)tanxsecxdx思路：凑微分tanxsecxdxd secx。/2(secx 1)d secx10arccosx解： jdx,1x2arccosx10 d arccosx10arccosxln10C.(29)dx(arcsinx)2 . 1ELA八1，/怎路:凑微分 ；2 dx, 1 xd(arcsin x)。解：dx(arcsinx)2 . 1 x2d arcsinx(arcsinx)2arcsinx322解：tanxsecxdxtanxtanxsecxdxtanxdsec

19、xarccosx(28)dx1x思路:凑微分 / dx d( arccos x)。, 1 x(30)arctanxdxx(1x),、arctan，x ,思路：凑微分 -dxx(1 x). arctan. x , 解：+_ dx.x(1 x)2arctan产d52arctanTxd(arctan/x)°1(x)22arctanyd尿2arctanVxd(arctan/x)1(x)2dx一、Intanx(31)cosxsinx思路：被积函数中间变量为2tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，.lntanx,解：dxcosxsinxlntanx,2dxcosxtanx

20、Intanx.dtanxIntanxd(lntanx)tanxdx(32)-一ln-x(xlnx)思路：d(xlnx)(1lnx)dx1lnx解：2-dx(xlnx)1(xlnx)2d(xlnx)Cxlnxdx(33)1ex解：方法思路：将被积函数的分子分母同时除以ex,则凑微分易得。方法二:思路：分项后凑微分思路：将被积函数的分子分母同时乘以ex,裂项后凑微分。dx(34)x(x64)解：方法思路:分项后凑积分。方法二:思路：利用第二类换元法的倒代换。1.1.一，贝1dx-dt0ttdx(35)一x(1x)解：方法思路：分项后凑积分。方法二:思路：利用第二类换元法的倒代换。则dx(t6t4t

21、21)出1t7 71t553t1 (丁 1ln | 2)dt(t6 t4u7 x72t2 1)dt3x31(r11)出、nr| C21 x3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。下列二恒等式起到了重要思路分析：题目特征是-一被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中,的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。dx. 1 x2思路：令xsint, t一,先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降嘉公式。2解：令xsint, t一，贝

22、I dx costdt o 2t tan- C2arcsin x1;1 x2C.(或 arcsin x 1 " x C )（万能公式tan±2sintcost1 cost2，又 sint x时，cost V1 x) sintx29(2)dxx思路：令x 3sect,t三角换元。解：令x3sect,t(0,3)，则dx3secttantdt3.、x9,.x9(x3secx时，cosx-,sinx,tanx)xx3(3)dx(x21)3思路：令xtant,t万，三角换元。解：令xtant, t (4)dx.xT思路：令xatant, t一,三角换元。2r,2.一，贝dx2 x2

23、 , x4 1Jdxsectdt02解：令xatant, t2,贝Idxasectdt。2(5)-x2=1dxx.x41思路：先令ux2,进行第一次换元；然后令utant,t2，进行第二次换元。dx2,令 u x2 得:1,1x21当Lxx、x412UvU2tant,t2,一贝Udusectdt,(与课本后答案不同)(6).54xx2dx思路：三角换元，关键配方要正确。22解：Q54xx9(x2),令x23sint,t，、“,1-4、求一个函数f(x)，满足f(x),且f(0)1x1思路：求出,的不定积分,由条件1xf(0)1确定出常数C一,贝Idx3costdt。2的值即可。1-d(x-1x

24、1)2.1xC.令f(x)2«C,又f(0)1,可知C1,一一1 5、设intanxdx,求证：IntanxIn-2,并求tanxdx。n1思路：由目标式子可以看出应将被积函数tannx分开成tann2xtan2x，进而写成：tann2x(sec2x1)tann2xsec2xtann2x,分项积分即可。证明：Intannxdx(tann2xsec:xtann2x)dxtann2xsec2xdxtann2xdx习题4-31、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、嘉、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 (1)

25、arcsinxdx优先纳入到微分号下，凑微x2)思路：被积函数的形式看作x0arcsinx,按照“反、对、嘉、三、指"顺序，募函数x0解： arcsin xdx x arcsin x一1x arcsin x 一2分后仍为dx。1d(1,1x2 (2)ln(1x2)dx思路：同上题。2、解：ln(1 x )dx x ln(1x2)x2、x x ln(1 x )%dx 1 x2 (3)arctanxdx思路：同上题。解： arctan xdx x arctan xdxx2 x arctan x1 x1 d(1x2)1 x2 (4)e2xsin-dx2思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺

26、序凑微分即可。解：Qe2xsinxdxsin-d(1e2x)2221 八 2x c n x 1e sin 2x 1 x .e - cos- dx222.xarctanxdx(11) cosln xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：2*3134xarctanxdxarctanxd()-xarctanx33Ldxx(6)x,xcosdx2思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：x.xcosdx22xdsinx2xx.2xsin-2sin-dx2xsin-2x.x4sind-222. (7)xtanxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。一

27、2.解： xtan xdx/22x(sec x 1)dx (xsecx)dxxsec xdxxdx (8)ln2解： ln xdx xln xxdx思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。In xdx xln2xc . c 1 , 2xln x 2 x - dxx12x2lnx-dxxlnxx (9)xln(x1)dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。1)2dx :1x212,解：xln(x1)dxln(x1)d-xln(x22 (1。)号dxx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。ln2x2-112解：一2"-dxlnxd(一)-lnxx

28、xx1-2lnxx1dxx1ln2xxclnx22"dxx思路：将积分表达式解：ln ln xdxxln In xd(ln x) In xln In xlnx A ln x1-dx ln xln ln x x-dx x思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：Qcoslnxdxxcoslnxxsinlnxdxxcoslnxsinlnxdxx (12)?dxx思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。 (13)xnlnxdx(n1)思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可n.x1n1.1n11.解：xInxdxInxdxInxx-dxn1n1n1x (14)x2

29、x .(18) x cos dxexdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。2_x2_x_x2_xxx解：xedxxee2xdxxe2xe2edx (15)x2 x 1 cosx思路先将cos2 降募得 一cos-,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即(lnx)2dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：x3(lnx)2dx(lnx)2d(1x22)n ln xdx写成ln In xd(ln x),将ln x看作一个整体变量积分即可 xx4(lnx)21x42lnx1dx444x,、lnlnx, (16)dxx (17)xsinxc

30、osxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。一.11,11c1解：xsinxcosxdx-xsin2xdx-xd(-cos2x)-xcos2x-cos2xdx22244-22X12121212解：xcosdx(-xxcosx)dxxdxxcosxdx222222_ (19)(x1)sin2xdx211x d( -cos2x) -cos2x22思路：分项后对第一个积分分部积分。22解：(x1)sin2xdxxsin2xdxsin2xdx (20)e3xdx思路：首先换元，后分部积分。解：令t阪，则xt3,dx3t2dt, (21)(arcsinx)2dx思路：严格按照“反、对、

31、嘉、三、指”顺序凑微分即可,.、2 ,/.2解： (arcsin x) dx x(arcsin x)2arcsin x.1 x2dxx(arcsinx)2x(arcsinx)221 x2 arcsin x21 x2 arcsin x2 dx x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsinx 2x C.(22)exsin2xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：方法一：方法二：/.ln(1x)(23)dx,x思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：1n(1x)dxln(1x)d(2>/x)=2Vxln(1x)xdx,x1x所以原积分"(1x

32、)dx2/xln(1x)4vx4arctanxx、x (24)ln(1ex)dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解："1xe)dxln(1ex)d(ex)exln(1ex)exexdxe1e注：该题中1一dx的其他计算方法可参照习题4-2,2(33)。1ex一1x一(25)xlndx1x思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：xlndx1 x1nm(2x2)12, 1x121x1 x 1x ,-x In - x z- dx21x21x (1 x)2,1 x .注：该题也可以化为xlndx1 xx1n(1 x) 1n(1 x)dx再利用分部积分法计算。

33、 (26)dxsin2xcosx思路：将被积表达式dxsin 2xcosx写成dx2sin xcos2 x2.sec xdx2sin xd tan x2sin x然后分部积分即可d tan x2sin xdxdxsecxdx解：2-sin2xcosx2sinxcosx2sinx2、用列表法求下列不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。3x (1)xedx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可解：_ 3x Ixe dx13 x xd(3e )13x 13x 13xxe

34、 e dx xe3331 _3x11 _3xe d3x (x )e933C. (2)(x1)exdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：(x1)exdx(x1)dex(x1)exexdxxexC。2 (3)xcosxdx思路：严格按照“反、对、黑、三、指”顺序凑微分即可。2,222解：xcosxdxxdsinxxsinx2xsinxdxxsinx2xdcosx (x21)exdx思路：分项后分部积分即可。解：(x21)e ，、e4、已知 f(x)= ，求 xf (x)dx。xdxx2exdxexdxx2d(ex)exdx xln(x1)dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指

35、”顺序凑微分即可。丘12121x2解：xln(x1)dxln(x1)d(x)xln(x1)-dx222x1x(6)ecosxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。xxxx解：Qecosxdxcosxd(e)ecosxesinxdxsinx3、已知sn二是f(x)的原函数，求xf(x)dx。x知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。sinx思路分析：积分xf(x)dx中出现了f(x),应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你网二是f(x)的xsinx原函数，应该知道f(x)dxsnAC.x解：Qxf(x)dxxd(f(x)=xf(x)f(x)dxsinxxcosxsinxx

36、cosxsinx又Qf(x)dxC,f(x)2,xf(x);xxx知识点：仍然是分部积分法的练习思路分析：积分xf (x)dx中出现了f (x),应马上知道积分应使用分部积分解：Q xf (x)dx xd(f (x) xf (x) f (x)dx xf (x) f (x) C.x_ e又Q f(x)=, xx x xx 一xe e e (x 1)e (x 1)f (x)=2 H， xf (x)=-；xxx5、设 In,(n 2)；证明：I nsin x1 cosx n 2n-1 -I n 2n 1 sin x n 1知识点：仍然是分部积分法的练习cosx1思路分析：要证明的目标表达式中出现了I

37、n,-和In2提示我们如何在被积函数的表达式一L中变出nnnAnsinxsinxcosx1n-和ni呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里1可变为sinxsinx22sinxcosxo22证明：Q1=sinxcosxdx一一nsin x2cos x, dxsin x一 一 22sin x cos x一一 nsin xdx2 cos x_nsin xdx2sin xsindxcos x_nsin xdx1n sin-dxxIncosx dsinx In _ _ sin xcosx .sin xsin xcosx n-1 - In 2sin xsinnnn 12sin

38、 x sin x nsin xcos xx 口dxsin xIncosxn 1sin x2cos x一n-dx I n 2sin xIn 2 nIn nIn 2Incosxn 1sin xcosx_ n 1sin x1 sin2 xIn 2 n n-dxsin xnIn(n 2)In2In 6、2设f(x)为单调连续函数，f-1(x)为其反函数，且f(x)dxF(x)C求：f1(x)dx。知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。1,、思路分析：要明白xf(f(x)这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。解：Qf-1(x)dx=xf-1(x)-xd(f-1(x)又

39、Qxf(f1(x)又Qf(x)dxF(x)C习题4-41、求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。x3(1)dxx3思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分 (2)x3 27 27x 32x 3x 927x 3540x x 8-3dxx x思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分解：54。x x 83x x(x5x3)(x4x2)(x3x)x

40、2x 82x2x 83x x 13x xx x而 x3x x(x 1)(x 1),X2 x 8 A B令TT 1一等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:ABC1A8CB1解此方程组得：B4A8C3(3)-dxx31思路：将被积函数裂项后分项积分3解：Q x 12(x 1)(x x1)，令二一x3 1Bx C等式右边通分后比较两边分子 x的同次项 x2 x 1的系数得:A+B=0B+C-A=0解此方程组得：BA+C=3x1(4)3dx(x1)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：x 1令3(x 1)(x(xC -,等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:1)30, B 2A1,解此方

41、程组得:0, B1, C7dxx(x 1)思路：将被积函数裂项后分项积分。丘 c 3x 23解：Q 33x(x 1) (x 1)x(x 1)3令 x(xC(x 1)2D(x 1)3等式右边通分后比较两边分子X的同次项的系数得:3A 2B C 0口解此方程组得:3A B C D 0思路：将被积函数裂项后分项积分。解：Q(x 2)(x 3)2(x 2)(x 3)2(x 2)( x3)2(x 2)(x 3)21(x 3)2二2 '(x 2)( x 3)2令一(x2)(x3)2(x3)2等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:6A 5B C 0解此方程组得:9A 6B 2C 2(x 2)

42、(x 3)22(x 3)23x-dx 1思路：将被积函数裂项后分项积分解：3x3(x 1) 3x3 13 A Bx Cx3 1 x 1 x2 x 133x* 2 x 1x31等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:解此方程组得：B1C23x2227xx112(2x1)12(2x1)xx x 1x1322xx112(2x1)x2x132(8)1)2dx思路：将被积函数裂项后分项积分。,21 xx1x2解：Q-22-F22-22(x1)x1(x1)(x1)dxx1又由分部积分法可知：222>Jdx(x1)x1x1 (9)xdx(x 1)(x 2)(x 3)思路：将被积函数裂项后分项积分

43、。x解：Q(x 1)(x 2)(x3)(x 1)(x32)(x 3)(x 1)(x2)(x1)(x32)( x 3)(x1)(x2)(x3)等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:5A4B3C0解之得:6A3B2C(x 1)(x 2)(x 3)(x1)(x2)(10)x2 1(x 1)2(x 1)dx思路：将被积函数裂项后分项积分。x2 1(x 1)2(x1)x2 1 2(x 1)2(x 1)2(x 1)2(x 1)2 ABC令二一一-一，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:(x1)2(x1)x1x1(x1)2-A1f1,AB0,2AC0,ABC2；解之得：A-,B-,C1。221.(11)zdxx(x21)思路：将被积函数裂项后分项积分x的同次项的系数得:1ABxC解：令1Bx一C,等式右边通分后比较两边分子x(x21)xx2111 xx(x2 1) x x2 1AB0A1C0解之得：B1A1C0(12)dx(x2x)(x21)思路：将被积函数裂项后分项积分解：Q -22(x2 x)(x2 1)1x(x 1)(x2 1)令122(x2 x)(x2 1)C