数列求通项公式常见题型与解题技巧(已打)

1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每 年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知 识综合起来，试题也 常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳 法综合在一起探索性 问题是高考的热点，常在数列解答题中出现.本章中 还蕴含着丰富的数学思想，在主 观题中着重考 查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.数列这一章的主要章 节结构为：数列一f甬数an=f（n）的图像值域（有界，无算单调性递增数列，丈昭减数列，数列

2、的函数性摆动数列，常数列）*定义：按一定欢序萍列的一列数最值（最人值，最小值）I周期性（周期数列 零差数列:定义r通项公式、中项公式、”前n项公或、性尿等比数列:定义、通项处式、屮项公式、前11项和毎公式、性质*数列的应用、递排公式近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三 个方面：（1）数列本身的有 关知识，其中有等差 数列与等比数列的 概念、性质、通项公式及求和公式.（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.（3） 数列的应用问题，其中主要是以增 长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列

3、与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大. 我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼题型1已知数列前几项求通项公式0 n为奇数.2 n为偶数在我们的教材中，有这样的题目：1 数列0八2,0,、2|H的通项an11 11 12 数列打"的通项a （-%1）dQCYQ n 3 数列J，1*1 6282川的通项汗1+ (一1严(2n；此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活 动，且在此基 础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本 质，从而培养学生数学思维能力相对于填空题或是选择题只需利用不完全 归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需 要我们进一步加以证

4、明.例如（2003年全国高考）已知数列满足a =1,an =3心 an（n-2）.(i)求：a2,a3 ；（n）证明：an-1分析：问题（1）主要渗透一般化 一；特殊化，利用已知的 递推公式求具体.问题（2）与问题（1）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证 相结合，求一般.当然还可用后面介 绍的方法即注意到 进 行an -an=3nA（n _2），由特殊化 归为等比数列等加以证明本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的 综合.课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能. 例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各 数：2 2 2 2 2“八2-13-14-

5、15-1（n 1）-1-丄，丄，-丄，丄Q =（-1）n11 2 2 33 4 4 5n（n 1）例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： -1,7,-13,19,|佝=(-1)n(6n-5)7 n(2) 7,77,777,7777,77 777jl|;a (10 -1)9n(3) 5,0, -5,0,5,0, -5,0，川 a =5sin 练习1 :写出下面数列的一个通项公式：21,3,丄 3,川;an3 45 61(-1)n 2n(2) 3,丄,22上,川 .a5211 7 17n 23n 2观察表中数据的特点，用适当练习2 .在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年

6、龄的统计数据如下表.(1) ( 2)OO。 。(3)O。 。OOO °°。O O的数填入表中空白（）内.年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135(140 )145舒张压（水银柱毫米）707375788083(85)88练习3 .根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有_n2-n+1 _个点.相关的咼考试题有:n = 1,n _2.11(2004 年全国卷)已知数列an,满足 a1=1 , an=a 1+2a 2+3a 3+(n 1)a n- 1(n >2),则a n的通项 an = j分析：由

7、已知， a2 = a1 =1 .由 an = a1 2a2 3a (n- 1)an4 生成 an4 =a1 2a2 3a(n - 2)ana两式相减得：a*an4 =（n-1）an4，即 n 二 n an -1为商型的，用累乘法可得 an.an 4 .卅色=a =n (n -1)n4 3,里用同样的乒an4 an -2a2 a2（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,山堆最底层(第一层)分别按图4所示 方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然 垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓

8、球，以f(n)表示第n堆的1乒乓球总数，则 f(3) =_10_; f(n)= _丄门5 +1)(n+2) 6(答案用n表示).题型2 由an与Sn的关系求通项公式 在我们的教材中，有这样的题目：1 21.已知数列an的前n项和Sn(n2 n),则a_n2-已知数列an的前n项和时心，则"皐:；一这类题目主要注意sn与an之间关系的转化.即:anS1(n=1)& - &(n-2)nan = a1 二(ak _ ak J ).k =2一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式.1例如：(04年浙江)设数列an的前项的和Sn=(an-1 ) (n三N ”)

9、.3(I)求a1; a2；(n )求证数列a n为等比数列.11 11 11解：(1)iS1(a1-1),得 a1(a-i-1) a1又 S2(a2-1),即 a1a2(a2-1),得 a2.3323341 1(当 n>1 时，an 二 Sn - Sn4(an 1) (an4 1)，33a 1 r 、11得1,所以a '是首项-,公比为-一的等比数列.an222课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能.例3.数列an的前n项和Sn=3 2n-3,求数列的通项公式.an =3 2n，2 7 n = 1,练习1 :设数列a n的前n项和为Sn=2n +3n+2 ,求通

10、项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.an =l4n + 1 n2,练习2 :已知数列a n的前n项和为Sn, a1= 2，且nan+1=S n+n(n+1)，求an.相关的高考试题有：an =2n(2004全国卷)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1) n,n >1 .(I)写出求数列a n的前3项a1 ,a2,a3;(n)求 数列an的通项公式；(出)证明:1 11对任意的整数m>4，有一a4 a5am.解：当 n=1 时,有：S1=a1=2a 1+(-1)= a 1=1 ;2当 n=2 时，有：S2=a1+a2=2a 2+(-1) = a2=0 ;当

11、n=3 时，有：S3=a1+a2+a3=2a 3+(-1)= a3=2 ;综上可知 a i=1,a 2=0,a 3=2 ;由已知得：an 二Sn -Snj =2an (_1)n 2anj -(-1)心化简得：an =2an2(-1)nl2 2上式可化为：an - 3(-1)n =2an(-1)23 32 2故数列 an十一(1)n是以a1 + (1)1为首项，公比为2的等比数列3 3故 an -2(-1)n 2nJ anL22-2(-1)n =22n/_(_1)n3 3333数列 an的通项公式为：an = 2n'-(-1)n.3由已知得:-丄川a4a51+am=3_1丄J_222 -

12、1 23 12m，(1)m-1-p m2 3 9 15 33 632m -(-1)m11111=丄1 1丄丄丄235112111111：丄1 1丄丄23510201 (1-1 )1_22心2 3U42 35131513 _ “ 15 一1201041051207<-(m>4).a4a5am8(2006年湖北卷)已知二次函数y = f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2 ,数列an的前n项和为Sn, 点(n,Sn)(N )均在函数y二f (x)的图像上.(I)求数列an的通项公式；*1m(n)设bn, Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn < o c

13、对所有n，N ”都成立的最小正整 数m .anan 十20点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基 础知识和基本的运算技能，考 查分析问题的能力和推 理能力.解：(I)设这 二次函 数 f(x) = ax2+bx (a 工0),则 F(x)=2ax+b,由于 f (x)=6x 2,得a=3 , b= 2,所以 f(x) = 3x2 2x.又因为点(n，S0( nN”)均在函数y二f(x)的图像上，所以& = 3n2-2n. 当 n >2 时，an = Sn- Sn 1=( 3n2 2n) (n - 1)2 - 2(n - 1)= 6n 5.当 n = 1 时，ai

14、 = Si = 3X12 2 = 6X 1 5，所以，an = 6n 5( n eN*)（2006年安徽卷）数列订鳥的前n项和为Sn,已知a1,Sn2(I)写出Sn与Sn的递推关系式n2 ,并求Sn关于n的表达式；S丄/(n)设 fn (x )=xn ,bn = fn ( p X p R )，求数列(bj 的前 n项和Tn n解：由Sn二 n2an-n n -1 n _ 2 得：Sn =n2(Sn-Sn)-n n-1 ,即(n2- 1)Sn-n2Sn工n n-1 ,所以Sn - Sn 二=1 ,对 n _ 2 成立.n n -1亠 n -1nnn-3小2小一一n1"小1由SnSn=

15、1 ,Sn jSn _2 = 1，S23=1 相加得：Sn- 2S= n-1，又 S= an n -1n -1 n -221n22所以S,当n =1时，也成立.n +1(n)由 fn x ；=主 xn 1 = xn 1，得 0 = f( p ；= npn.nn +1而Tn = p 2p2 3p3 IH (n -1)p2 npn ,pTn = p2 +2p3+3p4 +川 + (n 1)pn + npn* ,23n1 nn 1 PdP)n 1(1 -P)Tn = p p pp p- npnp.p题型3 已知数列递推公式求通项公式在我们的教材中，还有这样的类型题：1 已知数列an的首项 a =1，

16、且 an 二an4 3(n 一2),则 an =_3n-2 .2.已知数列an的首项印=1，且 an = 2anj 3(n _2),则 an =_4 3n -3.1 a3.已知数列an的 a =1, a2 =2且 an(an4 ' an)(n _3),则 lim 1 2 十4.已知数列an的 a1 -1, a2 = 2 且 an “2 = 2an 1 - an,则 an = n.这类问题 是通过题目中给定的初始 值和递推公式，在熟 练掌握等差数列、等比数列的通项公式的推 导方法的基 础上， 产生的一系列变式.我们应清楚的意识到：1.证明数列Qn，是等差或等比 数列常用定义，即通过证明a

17、n 1 - an =an -a （n -2）或也 亚（n - 2）而得. anan2 .在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而 一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.3.等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、累加、累乘、构造等方法.我们具体进行如下分析：一、由等差，等比演化而 来的“差型;“商型”递推关系 题组一：an丄2丄12 2数列an中，a（ =1,an .1. =an 2，求an的通项公式.an =2n1变式2:数列an中，印=1,an I = an 3n 1，求an的通项公式变式1:数列an中，a1,anan n，

18、求an的通项公式变式3 :111已知数列an满足a1=1,-1，求an. an -an 书 ann变式4 :2a2数列an中，a1 "耳彳-，求an的通项公式.a* ：an +2n+1an分析：等差数列：an1 _an =d生成：a?-&1 d , 83 - d，an1 -an2 d ,a*- an=d累加：an (a* - a*二)'(an 1 an_2(a2 - aj ' a1 =(n- 1)d ' a1由此推广成差型 递推关系：an -anf(n)(n 2)n累加：an =(an -anJ (an-an工)(a2 -a1) a1 f(n) 印 ，

19、于是只要f(n)可以求和就行.2题组二、 n _1已知数列an的首项a1 =1，且an =3an(n _ 2),则a_3变式1:n 11已知数列an的首项a1 -1，且ana.（n 一 2）,则ann变式2 :数列an中，a1 =2,an 1 =3an 2，求的通项公式.a 3n -1变式3 :数列an是首项为1的正项数列，1 且(n 1)a； 1 -na； a. 1 q =0,(n =1,2,3,11)，求 g的通项公式.a.=n分析：等比数列：an " an = q生成：a2= a<|= q ,a3a2= q，an 4"an= q,anan= qan an -1a

20、2n .1累乘：an- a1 = qa1an -1 an -2a1由此推广成商型 递推关系： 旦 =g（n）an 4_n累乘：an 亠.二印 g（n） 0an 4 an-2a12为了提高，我们还可以引用下列例 题：例1、 若数列'an '满足：a1=2, an= （）an,（ n 丄 2）.n求证：an二C；n;an是偶数.证明：由已知可得:an2(2n -1)an=n又an而C2nanan 1a22n 3 5(2n 1) »a 一1 'an 1 an _2a1n(2n)!2 4 6(2n -2)2n 丨 1 3 5(2n 1)1_ 2n 3 5 ：(2n 1

21、)所以ann! n!n! n!=C；n，而 an = C；n = 2C；n / 为偶数.n!例2、已知数列an中a1 (i)求 a3,a5 ；(ll)求 a n的通项公式.解(I)(略)a3 3,a5 k(ll)a2k 1 - a2k ' 3所以 a?k 1 -a°k 1 =3k 故 a2k 1 = (3k 3'3k 11=丄(一 1)k -1 .2 2=1，且 a2k =a2kJ (-)，=13a2ka2k 3k其中 k=1,2,3,“2(-1)k3k2k 1 _a2k 1 - 3 G1 ，为差型-(a2k 1 _a2kJ)(a2k 1a2k J3)(a3 _ a1

22、)a123)(1)k(1)k(一1)丨 1k .a2k=a2k 丄，(一1)(一1).(-1) 12 2所以a n的通项公式为：n七3=(J)n32 弓右(-1)2当n为奇数时，an当n为偶数时，a丄一12积型：即 an an 1 f(n),和an an g(n)二.由差型，商型类比出来的和型，例如：数列：an冲相邻两项an,an 1是方程x23nxbn=0的两根，已知a- -17，求b§1的值.分析： 由题意：an+an1 =-3n生成：a* 1 +a* 2 - -3(n 1)一：an 2 an = -3.所以该数列的所有的奇 数项成等差，所有的偶 数项也成等差.其基本思路是，生成

23、，相 减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应.到这里本题的解决就不在话下了. 特别的，若an + an 1 c，则an 2 = a即该数列的所有的奇 数项均相等，所有的偶 数项也相等.右an则ama厂2nan , = 2n 1邑=2 .an所以该数列的所有的奇 其基本思路是，生成，相除； 特别地，若an an 1十:数项成等比，所有的偶 数项也成等比.与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应.=C，则 an 2 = an .即该数列的所有的奇 数项均相等，所有的偶 数项也相等.三.可以一次 变形后转化为差型，商型的1. an = pan 4 f (n)例如：设 a。是常数，且 an 一 -2

24、an4 ' 3n"*,( n N*). 证明：an十2仁0卫日5 .5分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳 法，现在我们考虑用推导的方法来处理an2an-3nJ的三种方法： 方法（1）：构造公比为一2的等比数列£n +人3n ，用待定系数法可知九=1 .5方法（2）:构造差型数列-，即两边同时除以（_2）n得:a-(-2)na13寺丁二）-，从而可以用累加的方法处理.方法（3）:直接用迭代的方法 处理：a-2anl - 3nJ-2（-2an 3n）3n=（2）2an/ （一2）3-，3心=（一2）2（一2&心 3心）（一2）23心-3nJ=

25、 （2）3a-s （一2）23心 （2）32 3心二nn _10n _21n _322n _3n_2n(-2)ao (-2)3(-2)3(-2)3(-2) 3(-2)33= (-2)na° 3n - 1)nJ 2n说明：当f（n）二c或f（n） = a n，b时，上述三种方法都可以用；当f（n） = n2时，若用方法1，构造的等比数列应该是;an - pn2 qn J而用其他两种方法做则都比较难.用迭代法关键是找出规律，除含a1外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题.2. an 二 p（am）q型1 2例如：已知an（an），首项为a1，求an . （2003年江苏卷22题改编）

26、a方法1:两端取常用对数，得|g an = 2lg an.-Ig a ,令bn =lgan,则bn =2bnN-Iga ,转化如上面 类型的.特别的，a=1 ,则转化为一个等比数列. 方法2 :直接用迭代法：121.12.2/ 1、H222anan J '（ an_2）'（一） aaa aa/ 1 1 2 i| -2n - 2nl . a2n -=()a1 二 a(-)aa四.f(Sn,an)=O 型的利用 anSn -Sn JL, (n 一 2)转化为 g® ,an/) = 0 型，或 h(Sn , Sn)=0 型即混合型的转化为纯粹型的.例如：已知数列fan 的前

27、n项和Sn满足Sn =2an (-1)n,n_1.(I)写出数列an ?的前3项a1,a2,a3；(n)求数列：an 1的通项公式.分析：Sn =2an (-1)n,n -1.-由 a1 = S1 = 2a1 -1,得 a1 =1.-由 n =2得，a1a2 = 2a2 1，得 a2 = 0 -由 n =3得，a1 a2 a3 =2a31,得 a3 =2 - 用 n -1 代 n得 Sn =2an4 (-1)心-：an 二 Sn -Sn2an -2an2(-1)n 即 an =2an -2(-1)n-an =2an： -2(- 1)n =22az -2(-1)n4L2(_1)n = 22a.,

28、 - 22(-1)n4 -2(-1)nn -1n -1n -22n 2 n -2n -1二 =2 a1 -2 (-1)-2(-1) - 2(T)2(T)-3n + 2 又如：数列an的前n项和记为Sn，已知a1,an 1Sn(n =1,2,3).n证明：数列 是等比数列.n方法 1 T an 1 =Sn 1 -Sn, an 1 二口 Sn,(n 2)Sn 二 n(Sn Sn),整理得nSh2(n 1)Sn,所以 鱼！ 2%.故Sn是以2为公比的等比数列.n +1 nn方法2 :事实上，我们也可以转化为邑二空,为一个商型的递推关系,SnjL n1SnSn /Sn A竺和2心丄口 口3n-1n-2

29、n-3当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒 数等还是要求掌握的.生成与迭代是递推关系的最重要特征.递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式, 自然数n可以取1 , 2, 3n , n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式. 这就是所谓的生成性.对于生成出来的等式，我 们往往选一些有用的 进行处理比如相加，相 减，相乘，相除等，但用的最多的 还是由后往前一次又一次的代入，直到已知 项.这种方法就叫迭代上面的很多例 题都可以体现这一点.这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效 的.2),则an的通项an =1,2这类的咼考试题也比

30、比皆是，如：(2004 年全 国卷)已知数列a n,满足 a1=1 , an=a 什2a 2+3a 3+ +(n 1)a n- 1(n >=印 2a2 3a3(n - 1)anJ 生成分析：由已知，耳=a2 =1;由an an二印 2a2 3a3(n -2)an两式相减得an -an=(n -1)anJL，即-a = nan _1an 1a3111=an _2为商型的，用累乘法可得an二 anan 二an二 n (n -1)： 4 3,;即 a.a2a22.已知数列(i)设数列bn<an '中，Sn 是其前门项和，并且 Sn 1 = 4an 2(n = 1,2J H),a

31、1 ,=an1.-2an(n =1,2,)，求证:数列:bn匚是等比数列；(n)设数列cn=即,(n =1,2,)，求证：数列心？是等差数列；(川)求数列 :an ? 的通项公式及前n项和.2n和c n中的项都和a n中的项有关，a n中又有Sn1=4an+2，可由S n ,2 -S n ,作切入点探索解 题的途分析：由于b径.解: (1)由 S n 1 =4a n 2 , Sn 2 =4a n 1+2，两式相减，得 S n 2 -S n 1 =4(a n 1 -a n )，即 a 如何把该式表示成bn 1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等 变形能力的训练)a k -2a *=2(a *-

32、2a )，又 b =a *-2a，所以 b *=2b2n1n1nnn1nn1已知 S 2 =4a 1 +2 , a 1 =1 , a 1 +a ? =4a 丄 +2，解得 a ? =5 , b 丄=a ? -2a 丄=3由和得，数列b n是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3 2n4 .n+1ann+1 5 m = =2叶12n2"时n 2 =4a n 1 -4a n (根据 b.的构造,因为仏二说所以如13 * 211-132n+1= 43112又犷故数列心是首项为右公差是彳的等差数列.Cft 4n_4 '因为g =步，又G =討所以歩 2血.当 n>2 时，Sn

33、=4an 斗+2=2n°(3n-4)+2 ;当 n=1 时，综上可知，所求的求和公式 为S n =2 n 4 (3n-4)+2 .说明：1 .本例主要复习用等差、等比 数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和.解决本题的关S1 =a 1 =1也适合上式.键在于由条件Sn 4an2得出递推公式.2 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一 问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的 过程中适时应用.、5523. (04 年重庆)设 ai=1,a 2=,a n+2= an+1 - an (n=1,2,),令 bn=a n+1 -a n (n=1,2).33-(I )求数

34、列bn的通项公式；5解: ( D 因 bn 1 二 an 2 - an 1 二 3 an -13(n )求数列na n的前n项的和& .2 2( . § an - an 1(an 1 - an )(n =1,2,)故b n是公比为一的等比数列，且d =a2 - 二一，故bn =(一)n3 332(II)由 bn 二 an 1 -an 二(3)n得an 1-a1=(an1- an)(an-an)(a2 _a1 )2n 2n_12 2 22n9(3)“3)3 胡-(3)、 2n 注意到 a1 = 1,可得 an = 3nr(n =1,2/ )3n 1记数列 n n A 的前n项和

35、为Tn,则Tn =12 2312 2 2两式相减得Tn =1* (一) IH 333川 n (一)心 一Tn 二一 23332 22,., 23'3'(3)2 n2 n故Tn =91-() -3n( ) =9-3 3n -12 川 n (3)n.2、n2 n7(3) VQ) -ng),2、n3 (3n)2n3nJ.从而 Sn 二 a2a2川 na. =3(1 2 l(|n)-2Tn 二 3n(n 1)鱼-18.2 34. (04 年全国)已知数列a n中，a1=1 , a2k=a2k-1 +(-1) ,a2k+1 =a2k+3 ,其中 k=1,2,3，.(I) 求 a3,as；

36、(II) 求a n的通项公式.解：(I) a2=a 1 +( 1) =0, a3 =a2+3 =3.a 4=a3+( 1) =4 as=a4+3 =13, 所以，a3=3,a 5=13. (II) a2k+1 =a2k+3* = a 2k 1 +( 1) k+3k, 所以 a2k+1 a2k 1=3 k+( 1)； 同理 a2k 1 a2k 3=3+( 1),a3 a1 =3+( 1).所以(a2k+1 a2k 1)+(a 2k1 a2k3)+ +(a3 a"=(3 k+3k 1+- +3)+( 1)k+( 1)k1+- +( 1),3 1由此得 a2k+1 a1= (3 1)+ (

37、 1) 1,2一曰尹疋 a2k+1 =23k13k1-1 - a2k= a 2k - 1+( 1)k= ( 1)k 1 1+( 1)= ( 1) k=1.2 222a n的通项公式为:当n为奇数时，ann=3J22当n为偶数时，an5. (2004 年全国)已知数列an中 a, =1，且 a2k=a2k-1+( - 1)K,a2k+i=a2k+3k,其中 k=1,2,3.(I) 求 a3, a 5;(II) 求 a n的通项公式.6. (2004年天津理)已知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a, =a, a. =f(an)(n =2, 3, 4,)，a? = a,，f (an) - f (and二k(an -an)(n =2, 3, 4,)，其中a为常数，k为非零常数.(