第四节空间曲线及其方程8-4ppt课件

1、第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程教学内容教学内容 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影本节考研要求本节考研要求 1 了解空间曲线的概念，了解空间曲线的了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。标平面上的投影，并会求其方程。一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2S

2、L0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. C. 022222xayxyxazyxzao 特点：曲线上的点都满足特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平

3、面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A

4、MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要性质：螺旋线的重要性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 例例1. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1)根据第一方程引入参数根据

5、第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故所求为得所求为得所求为:txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t例例2. 求空间曲线求空间曲线 :)(tx)(ty)(tz)( t绕绕 z 轴旋转轴旋转时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取点点点 M1绕绕 z 轴旋转轴旋转, 转过角度转过角度 后到点后到点 , ),(zyxM那么那么cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面

6、满足的参数方程 . 例如例如, 直线直线1xty tz2绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去消去 t 和和 , 得旋转曲面方程为得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy绕绕 z 轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转曲面曲面 ( 即球面即球面 ) 方程为方程为 :又如又如, xoz 面上的半圆周面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 给定空

7、间曲线给定空间曲线 C ，称以，称以 C 为准线、母线为准线、母线/ z 轴的轴的柱柱面为面为 C 关于关于 xOy 面的投影柱面，此柱面与面的投影柱面，此柱面与 xOy 面的面的交线为交线为 C 在在xOy面上的投影曲线）。面上的投影曲线）。三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF0),( yxH投影曲线投影曲线 的求法：的求法：1、设、设 C ：面面的的方方程程联联立立与与 xOy 00),(zyxH上上。面面的的投投影影曲曲线线在在此此曲曲线线关关于于 xOyC上上。面面的的投投影影柱柱面面在在此此柱柱面面关关于于 xOy得得，消去消去

8、z如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线面上的投影曲线,xozzyxC1o例如例如, ,在在xoy xoy 面上的投影曲线方程为：面上的投影曲线方程为：002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去变量消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的

9、投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3同理在同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2因为曲线在平面因为曲线在平面 上，上，21 z例例5 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx例例6.,)(34,2222面面上上的的投投影影求求它它在在锥锥面面所所围围成成和和由由上上半半球球面面设设一一个个立立体体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上