宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)拓扑空间、不动点定理

1、附录:宏观经济学分析方法：不动点定理（09、10、11硕已讲，2009年01月21日，精细订正）我们开始讨论不动点定理，那么什么是不动点定理？所谓不动点，就是使方程f（X）= X有解的点X，这里f可以是单变量函数，也可以是度量空间到自身上的映射。因为点X是在f的映射下固定不变的点，我们称为不动点。所谓不动点定理就是描述方程f（X）= X的解的存在条件的定理。不动点的存在性问题就称为 不动点问题，不动点定理由此得名。有许多不同的不动点定理 。其中一些是构造性的，但大多数不是构造性的，例如，最著名的布劳威尔不动点定理就不是构造性的，布劳威尔不动点理只告诉我们不动点是存在 的，但没有说明寻找不动点的

2、方法。在数学中，有许多类似描述解的存在性 定理，其中最著名的就是 代数基本定理 和微积分中的各种 中值定理，正如我们已经看到的一样，这样的存在性定理在理论上和实际应用 中都是非常重要的。设想使用计算机去寻找近似解，如果我们知道解是存在的，我们就不 会无的放矢。(不讲，跳过)事实上，不动点问题是普遍存在的，我们知道的许多问题都可以转化为不动点问题。例如：设g:R“一 Rn是一个映射，我们欲解方程g(x) =0,其中x- Rn。这个问题就等价于不动点方程x g(x) = x 或 x 70g(x) = x ；更一般地，等价于xY(g(x) =x，式中G : Rn > Rn满足，门(y)=0当且

3、仅当y=0。我们将介绍三个重要的不动点定理：巴拿赫(Banach)不动点定理，布劳威尔(Brouwer)不动点定理和角谷(Kakutani )不动点定理。一、压缩映射与巴拿赫不动点定理我们首先介绍巴拿赫不动点定理，这个定理也称为压缩映射原理。这是一构造性定理， 定理的证明提供一个构造不动点的方法，这个方法称为逐次逼近 法(即迭代法)。在介绍巴拿赫不动点定理之前，先引进 压缩映射的概念。定义16.26 设(X, )是度量空间，f:XX是一个映射，如果对任意x，y X，有:?(f(x), f(y)乞 k'(x, y)( 16-14)其中0乞k ”：1，我们说f满足李普希茨(Lipschit

4、z )条件，并称为f为压缩映射，称k为 压缩常数。虽然，压缩映射是连续的，对于压缩映射我们有：定理16.23 (巴拿赫不动点定理)设(X, 是完备度量空间，f：XX是一个压缩映射，则f在X上存在唯一的不动点 X，任取X。 X，并令Xn二f(xnJ) (n二1,2-)， 有kn(1) '(Xn,X)(Xi，Xo)，1 -k(2) lim Xn =X，其中，k是压缩常数。证明：先证明唯一性：设x, x X是f的两个不动点，即f (x) =x, f (%)=为，f是压缩映射。(x必)、(f(x), f (xj)乞 k(x,xj(相同)(相同)由于 0 一 k : 1，故：、(x, xj =0

5、，从而 X 二乂.再证明存在性：任取x0x，取 禺=珂人(n = 1,2,)(这就是 递推式！)，根据李普希茨条件，有：(Xn 1,Xn) = '(f (Xn), f g)乞 k '(Xn,Xn4)= k(fg), f(Xn4)乞 k<?(Xn,Xn) 二 k2 (f (XnR, f (XnJ)二 s 二 knT(X1,x°) (n =1,2, )因此，对于任何 正整数m 时，由三角不等式 及李普希茨条件，得mJT(Xm,Xn)l、(Xm,XmJ TXm 丄,XmJ * ：、(Xn.1,Xn) = 7 珥冷1必) m)_(kml kmS川'kn) r(x

6、1,X0)= 'k1"(X1,X0)i兰1-k1-k其中：；(X1, X0)_0，当且仅当X1=X0时取0，所以，(X1, X0)为非零定数，且0 一 k :： 1，n)时k r 0，故Xn是柯西序列，满足柯西收敛准则，由于X是完备空间，存在x X，使得lim Xn = X，由连续性得lim f (Xn) = f (X)，于是n：(X, f (X) 一 ：(X,Xn J珥Xn i, f (X)"X,Xn.i)，(f(Xn), f(X)0 (n > ：)故f (X)二X。这就证明了不动点的存在性。k在不等式中，(Xm,Xn)乞(Xi，Xo)，令m ，即证得(1

7、)中的估计式。1 - k例16-25 设f : a,b > a,b, f'(x)存在，且| f'(x)恬k : 1，则根据微分中值定理，我们得f是区间a,b上的压缩映射，所以f在区间a,b上有不动点。例16-26 考虑非线性积分方程1 tx(t)二 oe cos( x(s)ds (0 一 t 一 1),( 16-15)其中0：' ：1，应用压缩映射原理，证明积分方程(16-15 )存在唯一的实值连续函数解x(t).证明 在连续函数空间 C0,1上，取距离为T(x(t),y(t) =0；Xi|x(t) -y(t)|,则C0,1是一个完备度量空间，定义映射f：C0,1

8、)C0,1,1Stf(x)=y(t) = 0e cos仇x(s)ds(0 兰t 兰 1).由于 0 ： 1，有| cos a- cos b I- - | a _ b |.设 = f (xj，于是1 |y(t) %(t)国 oe | cos x(s) - cos x1 (s) | ds1t-: (x(t),X1(t) 0e ds-r(X(t),X1(t).于是，左边取最大值，得 T(f(x), f(xj) r(X(t),X1(t)，故f是压缩映射。由压缩映射 原理，存在唯一的不动点x(t)，使得f(x) =x，即积分方程(16-15 )有唯一解x(t)。巴拿赫不动点定理的应用是非常广泛的，它可以

9、很容易地导出非线性常微分方程解的存在唯一性定理，也可以导出隐函数定理。下面两个例子说明定理的条件不满足时，结论不成立。例16-27设X =R 是实数空间R的子空间，f:X > X,x > (X2 1)1/2.易见，f是连续的，满足d(f(x), f (y) : d(x, y)，并且没有不动点。例16-28 设X =(0,1 1是实数空间R的子空间，f:XX,x > -.显然f是压缩映射,4但没有不动点。(想一想，为什么？)二、布劳威尔不动点定理布劳威尔不动点定理是现代数学中最重要的结果之一。它的叙述简单，但证明却很困 难，直观上，任何人都能理解布劳威尔不动点定理的结论，其证明

10、通常需要在研究生的课 程代数拓扑中介绍。布劳威尔不动点定理在数学的许多分支中有大量的应用。例如：它是常微分方程理论中的基本工具，它在无限维空间上的推广一肖德(Schauder)定理被用于偏微分方程和积分方程领域中，建立了许多重要的结果。在经济学领域，著名诺贝尔奖获得者纳什就是因 为用布劳威尔不动点定理证明了多人非合作对策的基本定理而获奖的。现在我们叙述布劳威尔不动点定理。定理16.24 (布劳威尔不动点定理)设f是n维单位球Dn到自身的连续映射，则至少存在D中的一点x，使得f (x ) = x .换句话说，Rn中的单位球到自身的连续映射必有一个不动点，用我们日常的通俗语言解释是:设想有一杯牛奶

11、放在桌子上，轻轻地、连续地转动几下杯子使牛奶在杯中运动。当牛奶停止运动后，牛奶中至少有一点恰好回到它原来所在杯中的位置。对于n =1的情形，布劳威尔不动点定理为：如果f (x)是区间-1,1上的连续函数，且满足-仁f(x)叮，则存在x -1,1，使得f(x*)二X*.此时，对函数f(x)-x利用连续函数零点定理易证。参见图16-8 .必须注意，我们用到了所有的假设条件，如果有条件不满足，则定理不成立，例如:函数f(x)=x_1在区间一1,1上没有不动点，这里|f(x)|1不成立；另外设分段定义函数g(x)二0.5x(x = 0)，且g(0) = 1，则g(x)也没有不动点，这时 g(x)不连续

12、。_ 2对于n =2的情形，布劳威尔不动点定理成为：单位圆盘D上到自身的连续映射，必有一点X： D2，其映象为自己。同样，如果有条件不满足，则定理不成立，还有一点需要 注意，如果把D2换成其他区域，定理也可能不成立。 例如：在圆环xR2 |0.5勻 上，绕原点旋转(0 ： r ：2二)角度的旋转映射没有不动点，如图16-9 .布劳威尔不动点定理的证明方法有很多，大都需要代数拓扑或微分形式的结论。我们 将介绍一个初等的证明，在给出劳威尔不动点定理的证明之前，先作一些说明。设X是一个度量空间，如果任意X到自身的连续映射均有不动点，则称X具有不动点性质，我们有引理16.3 设X与Y同胚，则如果 X具

13、有不动点性质，那么 Y也具有不动点性质。证明 设h : X > Y是同胚映射，且X具有不动点性质，如果g是Y到其自身的连续 映射，那么hgh是X到自身的连续映射，见下面 交换图表。依 假设，存在 x° X ，使得(h'gh)(x0)= X。，即 h(x°) = g(h(x。).令 y° =h(x0) 丫，则有g(y°) = y°，即丫也具有不动点性质。根据定理16.14，Rn中的任意凸体与某一个Dm(mn)同胚。因此，如果布劳威尔不动点定理成立，则 Rn中的任意凸体具有不动点性质。事实上，我们将对一类特殊的凸体证 明其具有不动点性

14、质，从而证明布劳威尔不动点定理。设 Rn 中 m 1 个点v0,v,v2,vmRn 是几何无关的，即V1-V°,V2- V。,Vm- V。线性无关，我们称 Rn的子集二X=X°V0 XMXmVm | 人 一 0, X。Xm = 1为一个m维单形，记作厶-Vo,ViV2, ,vm ；常数Xo,Xi,X2,，Xm称为点X的重心 坐标，点Vo,Vi,V2, ,Vm称为单形厶的顶点。根据定义，容易证明，单形中任意一点重心坐标是唯一的；任意单形都是凸体。以单形=: Vo,Vi ,V2,Vm 的部分顶点Vio ,Vii，如定义的k维单形Vi0,vM,vik称为.i的一个k维面。易见，如

15、果 x : Vi0,VM,Vik ，则X的重心坐标满足X = 0 (i = i°1,，i k)，(16-16)所以当k : m时，k维面中的点都是单形.:的边界点。显然，一个m维单形有Cl；个不同的k维面。依定义可见，一维单形是线段，二维单形是三角形，三维单形是四面体，如图16-10所示，从定理16.14的证明中，可以看出m维单形与Dm同胚，我们将证明布劳威尔不动点定理的一个简单形式。定理16.25任意单形具有不动点性质。以下的讨论都是在给定m维单形： = Vo,V1,V2 / ,Vm 内进行的，设f是厶到自身的连续映射，我们用 f0(x), f1(x), f2(x),fm(x)表示

16、f (x)的重心坐标。引理16.4 X*是f的不动点，当且仅当Xi* - fi(x*)(i =0,1,2,m).( 16-17)* *证明 如果X是不动点，则X二f(x )，于是X和f(x )有相同的重心坐标，即X* = fi(x*)(i =0,1,2, ,m)，( 16-18)显然不等式(16-17 )成立；反之，如果不等式(16-17 )成立，则由于对任意 X，有mm' Xi =1 八 fi(x),( 16-19)i =0i =0即得式(16-18 )也成立。根据引理16.4，我们证明定理16.25的思路是：假设f没有不动点，即任意点都是 f 的动点，不满足不等式(16-17)，然

17、后找到一点x*满足不等式(16-17)，矛盾，由此证明 不动点定理成立。为此需要研究动点重心坐标的性质。设X是一动点，即f(X)= X，则依等式(16-19)，存在0叮乞m，使得Xifj (x)。我们定义映射 f在X处的指数I(x)是满足重心坐标严格不等式的最小下标，即l(x) =mini |Xjfj (x).( 16-20)引理16.5 如果X是k维面：:Vi0,Vi1,，Vik 中的点，则有l(x) io,h,，ik.此时, 我们说指数I(x)满足边界条件。证明 由式(16-16)，当i门01,ik时，有Xi =0乞fi(x)，故根据指数的定义，l(x) 只能取dh,，ik其中之一，图16

18、-11是m=2的情形。F面考察单形 也的n重分。对于任意正整数n和非负整数k0,k1,k2"1 ,km，满足k。k2km =n.1取点v(n) = (k0v0 +心切+k2v2十+kmvm)EA.这样我们得到个点，由这些点n为顶点可以得以nm个大小相同的 m维小单形，这些小单形只可能在它们的边界上相交，它们就像细胞一样，一个紧贴一个，组成整个单形:，因此我们称这些小单形为单形:的胞 腔。如图16-12，这是m =2, n=4的情形。设单形 厶的直径是d，在厶的n重分中，每个胞腔的直径是 -，即当nr胞腔的直径趋于零。n现在我们来做一个填数字的游戏：对于厶的n重分中每个顶点x，从0,1

19、,2 - ,m中选一个数字，填在该点上，称为x的指数，记作l(x).对于已经定义指数的单形，如果某一胞腔在其m 1个顶点处的指数取遍所有数字0,1,2，,m，那么就称这个胞腔是全指数的。如图16-13所示，阴影胞腔是全指数的。 一般来说，全指数胞腔不一定存在，但上面引理16.5中定义的边界条件下，全指数胞腔一定存在，这就是 斯潘纳(Sperner )引理。引理16.6 (斯潘纳引理)设.:v0,v1,v2 ,vm 是m维单形,)为厶的n重分;并且l(x)表示在.半)中所有顶点x上的指数，满足条件：如果 XVi0,Vi1, ,Vik -，有 l(x) io,h； ,ik,则存在一个全指数胞腔。证

20、明 事实上，我们将证明全指数胞腔的个数是奇数。我们称 =(n)中任意一个胞腔的每个k维面为k维子胞腔。如果 人是一个k维子胞腔，其k 1个顶点的指数分别是1。，丨1,12,，Ik，则称厶k的类型为(10,丨1,丨2,k)，记作= k(I0,I1,I2, I k )这里不考虑I j的顺序，需要考虑某一值重数。例如：(2,1,0,0)珂0,1,2,0) =(2,0,0,1)= (0,1,2,2).我们用N(I°,I1,I2,Ik)表示"=(n)中类型为(I°,I1,I2,Ik)的k维子胞腔的个数，我们要证：N(0,1,2,m)=奇数.当m =1时，一维胞腔的面是其端点

21、。 设是珍上一维胞腔，如果的类型是(0,0 ), 则其两个端点的指数均是 0;如果也1的类型是(0,1 ),则一个端点的指数是 0,另一个端 点的指数是1;如果 冷的类型是(1,1)，则两个端点的指数均是 1。因此，2N(0,0)N(0,1)表示指数为零的顶点出现在所有胞腔中总的次数。但如果指数为零的顶点是单形.:的内点，则该顶点恰是两个胞腔的端点，即出现两次；如果是 二的边界点，则只出现在一个胞腔中， 即出现一次，边界只有一个指数为零，故2N(0,0)N(0,1) -2Ni(0) 1,( 16-21)式中M(0)表示指数为零的内部顶点个数。这说明 N(0,1)是奇数。图16-14是一个5 重

22、分的例子，这里N(0,0)=1,N(0,1)=3,Nj(0) = 2，满足式(16-21)，故全指数胞腔有三 个(用粗线段表示)。下面考察一般情形，如果胞腔.-：m的类型是(0,1，m-1,k)，其中0_k_m-1，则它有两个类型为(0,1, ,m-1)的面：如果.-：m的类型是(0,1, m1,m)，则它有一个类型为(0,1, ,m -1)的面。因此，m AS =2、N(0,1, ,m -1, k) N(0,1, ,m-1,m)k=0表示类型为(0,1，m-1)的子胞腔.-：mJ在所有胞腔中出现的次数总和。如果.-：mJ在人的内部，则它是两个胞腔的面：如果咕在人的边界，则它只是一个胞腔的面，

23、故S=2Ni(0,1； ,m-1) Nb(0,1/ ,m-1),式中叫(0,1，m-1),表示类型为(0,1 / ,m-1)的内部子胞腔的个数，2(0,1，m-1),表示类型为(0,1，,m -1)的边界子胞腔的个数。根据边界条件，类型为(0,1，m-1)的边界子胞腔只能出现在：:v0,v,v2,，vmj内。由此利用归纳法原理，可得Nb(0,1，m-1)是奇数，故N(0,1，,m)也是奇数。现在我们可以证明布劳威尔不动点定理。布劳威尔不动点定理的证明设f是单形厶到自身的连续映射，且没有不动点，则对于任意X 厶，则式(16-20 )定义的指数|(x)是有意义的，并且满足边界条件，根据斯潘 纳定理

24、，对于任意整数n，在厶的n重分.-;(n)中存在一个胞腔是全指数胞腔，设其顶点为x(n)(0),x(n)(1),x(n)(2), ,x(n)(m)，满足l(x(n)(k)二k(k =0,1,m).由指数的定义，我们知道：xkn)(k) fk(x(n)(k) (k=0,1,m)，( 16-22)并且由于当n二时，胞腔的直径是趋于零的，故nim：0；ax_m|X(n)(k)X(n)(l)| > 0.(16-23)考察序列x(n) (0)，由于是紧集，存在收敛子列x(nr) (0) x*(r )，由式(16-23) 得，n睪x(nr)(k)T x* (k=0,1，,m).由连续性，得f(x(n

25、r)(k)r f(x*)(r-')，注意x的重心坐标是点x的连续函数， 由此在不等式(16-22 )中，取n =nr，并令r ，得关于坐标的不等式xk - fk(x*) (k =0,1,m).故由引理16.4得，x二f(X)，我们完成了布劳威尔不动点定理的证明。三、角谷不动点定理许多经济学家都引用过角谷不动点定理，但角谷不动点定理对我们来说是全新的，这里由于它涉及的对象不是通常的映射，而是一种被称为集值映射 的对应。定义16.27 设X和Y为任意集合，如果对每个 XX，总有一个确定的非空子集合 (X)二Y与之对应，则称 为从X到Y的集值映射，记作:X .Y.一个直观的例子是， 对某个学

26、校的每一个学生X, (X)表示由X知道姓名的人组成的集合。在经济学中集值映射是非常重要的概念。许多问题的解往往不止一个，因此经济学家必须讨论集值映射而不是函数，我们以前讨论的映射都是集值映射的特例。设集值映射： X二丫，则X Y的子集合G()=(x,y)|y(X)称为的图像，如图16-15。另一方面，X Y中的每个子集 A确定了一个关系 G："(X)二y |(x, y) A如果对于每一个xX,G(x)=G,则门是X到Y的一个集值映射。为了讨论不动点的存在性，我们必须讨论集值映射的连续性。直观上说，连续是指当x在一个很小的范围内变化，因变量集合(x)也应该在很小的范围内变化，我们用距离

27、来描述远近和范围，因此在下面的讨论中均假设X和Y是度量空间。定义16.28 设:X Y是集值映射，x X，如果对于X中任意收敛于xo的序列 Xn，当y (xn)，且yn收敛于y°时，则有y (xo)，我们就称在xo处上半连续； 如果在每个X，X处都是上半连续的，则称集值映射 是上半连续的。根据定义，容易证明集值映射:X Y是上半连续的当且仅当其图像G()是X Y的闭集，上半连续可以看作是函数连续概念的推广。事实上，如果f:X > Y是单值映射，且 Y是紧集，则f连续的充分必要条件是其图像G(f )为X 丫的闭集，必要性是显然的，下面我们证明充分性，设G(f)是X Y的闭集，任给

28、Xo X和收敛于xo的序列Xn，令yn二f (Xn)，且丫0二f(X°)，则(Xn, yn )是 G(f)中的序列，由于 Y是紧集，yn存在一收敛子列 ynr，设其收敛点为 y，于是 (Xnr , ynr )收敛于(Xo,y)，依照设，(Xo,y)G(f)，故 y= f (Xo)= y°.同理，可得佃的 任意收敛子列都收敛于 yo，因此yn收敛于yo,故f是连续的。要注意：当Y不是紧集时，图像为闭集的函数不一定连续，例如:I1, xhOf(X)= x'0,x = 0的图像是R R中的闭集，但f在x=0不连续。现在我们可以叙述角谷不动点定理。定理16.26 (角谷不动

29、点定理)设X RN是凸集，集值映射:X ；Y是上半连续的，并且对每个X，集值(x)是凸集，则存在X： X，使得x(x*)。证明 我们首先证明当X是rn中的m维单形的情形。设X =vo ,V1, v2,vm ，在其n重分.(n)上定义映射f(n)： .$)_；二(n)如下:当X是任意胞腔的顶点时，取f(x)等于(X)中的一点；如果 X不是任何胞腔的顶点，而是某一胞腔 v0n),v1(n) ,v2n),vmn)- 中的点，设其重心坐标是(晋1(n),叨)，第)，即m.(n) (n)X-iVii =0m、计n =1.i =0(16-24)记 y(n)=f(n)(Vi(n)(i =0,1,m)，定义m f (n)(x)八i =0(16-25)注意，当X在两个胞腔的公共面时，由两个胞腔定义的f (n)(x)是一致的，因此f(n)是(n)映射，显然，f( n)在每个胞腔上是连续的，依粘接定理得f(n)是X上的连续映射。根据布15#劳威尔定理，存在x(n X，使得(