实数集的完备性的基本定理闭区间上连续函数性质的证明

1、1 / 7第七章实数的完备性§ 1关于实数集完备性的基本定理(一) 教学目的：理解区间套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理的条件和结论 理解这些定理的含 意及关系，了解各定理的证明思路(二) 教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理.(三) 基本要求：(1) 掌握和运用区间套定理、致密性定理.(2) 掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用.(三)教学建议：(1) 本节的重点是区间套定理和致密性定理.教会学生在什么样情况下应用区间套定理和 致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理.(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理.教会较好学生如何应用聚点

2、定理和有限 覆盖定理.区间套定理与柯西收敛准则定义1 区间套：设 an ,bn 是一闭区间序列.若满足条件i) 对一 n，有an1 ,bn .1 an,bn,即ai an d :bnbn，亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中；ii) bn -an > 0，(n ：)即当n；心时区间长度趋于零则称该闭区间序列为闭区间套，简称为区间套区间套还可表达为：4 心2an y 乞 bn 汀二 b2 空 d，一 &n ，0， (n我们要提请大家注意的是，这里涉及两个数列an和bn，其中an递增， bn递 减.但1，1 2、n11 1例如，丄和0一都是区间套n nn111 （0, 和 -一，1都

3、不是nnn区间套定理Th7.1（区间套定理）设an，bn是一闭区间套则在实数系中存在唯一的点，使对- n有 an ,bn .简言之，区间套必有唯一公共点二聚点定理与有限覆盖定理定义 设E是无穷点集若在点 （未必属于E）的任何邻域内有 E的无穷多个点，则称 点为E的一个聚点.1数集E =丄有唯一聚点 0 ,但0 - E ;n开区间（0,1）的全体聚点之集是闭区间0,1;设Q是0,1中全体有理数所成之集，易见Q的聚点集是闭区间0,1.Th 7.2 （ Weierstrass ） 任一有界数列必有收敛子列 .2.聚点原理：Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点三实数完备

4、性基本订立的等价性证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行：I:确界原理=单调有界原理=区间套定理= Cauchy收敛准则=确界原理5n :区间套定理=致密性定理 =Cauchy收敛准则；川:区间套定理 = Heine - Borel有限复盖定理 =区间套定理.一. “I” 的证明：（“确界原理 = 单调有界原理”已证明过 ）.1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”：Th 2单调有界数列必收敛.2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”：Th 3设an ,bn 是一闭区间套.则存在唯一的点，使对一 n有an ,bn .推论1 若 an , b

5、n 是区间套an ,bn 确定的公共点，则对_0, N,当 n N 时，总有an , bn 二，；）.推论2 若an , bn 是区间套 an ,bn 确定的公共点， 则有an / '，bn ，( n ) 3用“区间套定理”证明“Cauch y收敛准则”：Th 4数列 an收敛二 an 是 Cauchy列.引理Cauch y列是有界列.（证）Th 4的证明：（只证充分性） 教科书P217 218上的证明留作阅读 .现采用三等分的方法证明，该证法比较直观4.用“ Cauchy收敛准则” 证明“确界原理”：Th 1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界证 （只证“非空有上界数集

6、必有上确界”）设E为非空有上界数集 当E为有限集时，显然有上确界下设E为无限集，取ai不是E的上界，bi为E的上界对分区间 ai,bi,取a2,b2,使a2不是E的上界，b?为E的上界依此得闭区间列 an , bn 验证 bn 为Cauchy列，由Cauchy收敛准则， bn 收敛；同理 an 收敛易 见 bn 设 bn :.有 an / :.下证sup E =匕.用反证法验证1的上界性和最小性二 “n” 的证明：1.用“区间套定理”证明“致密性定理”：Th 5 （ Weierstrass ）任一有界数列必有收敛子列证 （突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点2用“致密性定理

7、” 证明“ Cauchy收敛准则”：Th 4 数列 an 收敛二 an 是 Cauchy列证 （只证充分性）证明思路：Cauchy列有界 > 有收敛子列 > 验证收敛子列的极 限即为 an 的极限“川”的证明：1. 用“区间套定理”证明“ Heine - Borel有限复盖定理”：2. 用“ Heine - Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”：§ 2闭区间上连续函数性质的证明 （4时）（一）教学目的：证明闭区间上的连续函数性质.（二）教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大（小）值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连

8、续函数一致连续性的 证明.（三）基本要求：1） 理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法掌握用有限覆盖定理或用 致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的 最大（小）值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理.2）掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性.（四）教学建议：（1）本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质.（2）本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数 完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题.一. 有界性：命题 1 f（x） Ca,b,= 在a,b上 f（x）=0（1

9、）.证法 一（ 用区间套定理）.反证法.证法二（用列紧性）.反证法证法 三（ 用有限复盖定理）.二. 最值性：命题2 f（x）Ca,b,- f （x）在a,b上取得最大值和最小值.（只证取得最大值）证（用确界原理）参阅1P226证法二后半段.三. 介值性：证明与其等价的“零点定理”.命题3 （零点定理）证法一（用区间套定理）.证法 二（ 用确界原理）.不妨设 f（a）0, f （b） <0.令E = x| f（x） 0, a,b ，则E非空有界，= E有上确界.设 二supE有 a,b.现证f）=0,（ 为此证明f（J_0且f）0 ）.取xn< 且xn ，（n '）.由 f

10、 （x）在点连续和 f（Xn）- 0,= f （ ） = nim f （xnP1 0 ,E.于是 t E,t（ n：）由 f （x）在点连续和 f（tn） 0,= f（E） =lim f （tj K0.因此只能有 f（©）=0.n_证法 三（用有限复盖定理）.四 一致连续性：命题4 （ Cantor 定理）证法一（用区间套定理） 参阅1P229 230 证法一证法 二（用列紧性）.参阅1P229 230 证法二习题课（4时）一.实数基本定理互证举例：例1用“区间套定理”证明“单调有界原理”证 设数列 xn递增有上界.取闭区间a-bj,使a不是禺的上界,d是 Xn的上界.易见在闭区间a

11、bi内含有数列 Xn的无穷多项，而在a1,b外仅含 有 xn的有限项对分ai ,bi ,取a2 ,b2 使有ai ,bi 的性质于是得区间套 an , bn ,有公共点.易见在点 的任何邻域内有数列 xn的无穷多项而在其外仅含有 Xn 的有限项，=lim Xn = F： nJpc例2用“确界原理”证明“区间套定理”证 an ,bn 为区间套先证每个am为数列 bn的下界，而每个bm为数列的上界 由确an界原理，数列 an有上确界，数列 bn有下确界 设 =inf bn, 一 sup an 易见有an 一一 bn 和 an 一 ： 一 bn 由 bn _an _ 0, （n_'）,=二-

12、例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”证（用反证法） 设S为有界无限点集，S a,b.反设a,b的每一点都不是S的聚点，则对- a ,b,存在开区间 G x , ）,使在C x, 'x）内仅有S的有限个点例4用“确界原理”证明“聚点原理”证设S为有界无限点集.构造数集 E = x| E中大于x的点有无穷多个.易见数集E非空有上界，由确界原理，E有上确界.设二supE 则对-；.0 ,由1 一 ；不是E的上界，= E中大于1 - :的点有无穷多个；由是E的上界，= E中 大于1 ；的点仅有有限个于是，在(-；：；)内有E的无穷多个点，即是E的一个 聚点.一. 确界存在定理：回顾确界概念

13、.Th 1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理：回顾单调和有界概念.Th 2单调有界数列必收敛.二.实数基本定理应用举例：例5设f(x)是闭区间a，b上的递增函数，但不必连续. 如果f(a)_a，f(b)乞b，贝U x°a,b,使f(x0)=x°.(山东大学研究生入学试题 )证法 一(用确界技术. 参阅3 P76例10证法1 )设集合 F 二x|f(x)_x, axzb.则 a F, F 不空；F a,b,F有界.由确界原理,F有上确界.设X。二supF ,贝U x a ,b.下证f(x。)=X°.i) 若 Xo F ,有 f(X

14、o)Xo；又 f(Xo)乞 f(b)乞 b,得 f(Xo) a,b.由 f (x)递增和 f(Xo)-Xo,有 f (f (Xo) f (Xo), 可见 f(Xo)匸 F .由 Xo = supF ,= f(Xo)-Xo.于是，只能有 f(Xo)=Xo.ii) 若Xo " F ,贝y存在F内的数列 Xn ，使Xn / Xo , ( ：':)；也存在数列tn , Xo ： tn - b, tn X。，( n -').由 f 递增,X F 以及 t'' F ,就有式Xn _ f(Xn) _ f(xo) _ f(tn) ：tn 对任何 n 成立.令 n

15、9;，得x - f (xo - Xo ,于是有f (Xo) = Xo.证法二(用区间套技术，参阅3 P77例io证法2 ) 当f(a)=a或f(b)二b时，a或b就是方程f(x)=x在a,b上的实根.以下总设f(a)a, f(b)：b.对分 区间a,b,设分点为 c.倘有f(c)=c, c就是方程f(x)=x在a,b上的实根.(为行文简练计,以下总设不会出现这种情况) 若f (c) . c,取印=c, b = b ；若f (c) ： c,取印=a , d = c,如此得一级区间ai ,bi .依此构造区间套 an , bn ,对一 n ,有f (an) an , f (bn) : bn.由区间

16、套定理，x°,使对任何n,有an,bn.现证 f(Xo ) = Xo .事实上， 注意到n r 时an / Xo和bn Xo以及f递增,就有an ： f (an)乞 f (Xo)辽 f (bn) ： bn.令 n; x：,得 Xo _f(Xo) _Xo,于是有 f(Xo)=X°.例6设在闭区间a,b上函数f(x)连续，g(X)递增， 且有f(a)：g(a),f (b) g(b).试证明：方程f(x)=g(x)在区间(a,b)内有实根.证 构造区间套an, bn,使f (an) ： g(an), f (bn) g(bn).由区间套定理，,使对一 n,有；an ,bn .现证f( Hg().事实上，由g(x)在a,b上的递增性和an ,bn 的构造以及an / 和bn ,有f(an) ： g(an)乞 g()岂 g(bn) ： f(bn).注意到f (x)在点连续，由Heine归并原则，有lim f(anH f( )， lim f(g)二 f().n n ：= f( < g( f ( ), f ( H g( ).为方程 f(x)二g(x)在区间(a,b)内的实根.例7 试证明：区间0,1上的全体实数是不可列的