2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第1讲数列的概念及简单表示法

1、第 1 讲 数列的概念及简单表示法一、知识梳理1 数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+1an其中 n N*递减数列an+1Van常数列an+1=an按其他标准分类有界数列存在正数 M，使|an|wM摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对 n N，存在正整数常数 k,使 an+k= an(3) 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法.2 数列的通项公式(1)

2、数列的通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.S , n= 1,已知数列an的前 n 项和 3，则 an=Sn Sn-1, n2.常用结论1 数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集 函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值.anan1,anWan1,2.在数列 an中，若 an最大，贝 y若 an最小，贝 yanan+1,anWan+1.、习题改编（1）n1.（必修 5P33A 组 T4 改编）在数列an中，au 1,an= 1+（n2），则 a5等于（ ）an1A.|D.(1)

3、52 a4= 3.2.（必修 5P33A 组 T5 改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an=_答案：5n 4解析:选 D.a2= 1 +(1)a12-=2,a3= 1 +(1)3a2(1)4a4= 1 += 3, a5= 1 +1，2, 3，n上的8一、 思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()所有数列的第 n 项都能使用通项公式表示.()数列an和集合ai, a2, a3,an是一回事.()(4) 若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点.()(5) 个确定的数列，它的通项公式只有一个.

4、()若数列an的前 n 项和为 3，则对？n N*，都有 an=3Sn-1.()答案：(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X(6)X二、 易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集1 , 2,，n;根据 Sn求 an时忽视对 n = 1 的验证.11n_ 21. 在数列一 1 , 0, 7,，F 中，0.08 是它的第 _ 项.98nn_ 225解析：依题意得= 25，解得 n= 10 或 n=2(舍).答案：102.已知 S1 = 2n+ 3，贝Van=_解析：因为 Sn= 2n+ 3,那么当 n = 1 时，a1= S = 21+ 3= 5;当 n2 时，

5、an= Sn Sn_15, n= 1,=I-1+3)=2n_1(*).由于a1=5不满足(*)式,所以an= 2n_1, n 2.由数列的前几项求数列的通项公式 （师生共研 ）答案：5, n=1,2n_1, n2(1)数列 1, 3, 6, 10, 15,的一个通项公式是()A . an= n2 (n 1)A A已知数列 an 为 2, 4， 8, 16, 32?64， ，则数列an的一个通项公式是【解析】(1)设此数列为an,则由题意可得a1=1,a2= 3, a3=6,a4=10,a5=15,各项的分母分别为 21, 22, 23, 24,易看出从第 2 项起，每一项的分子数比分母2 32

6、1 3 2? 32一 3 2 3少 3,且第 1 项可变为一厂,故原数列可变为r, 莎，一歹, 莎，故其2n 3通项公式可以为 an= ( 1)n石厂.2n 3 【答案】(1)C (2)an= ( 1)n-解决此类问题 ，需抓住下面的特征：C. an=n (n + 1)2D.an=B - an= n2 1仔细观察数列1 , 3, 6, 10, 15,可以发现:1= 1, 3 = 1 + 2, 6= 1 + 2 + 3, 10 = 1+ 2 + 3+ 4所以第n 项为 1+ 2+ 3 + 4 + 5+ n=n (n + 1)2,所以数列 1 , 3 , 6 , 10 , 15 ,的通项公式an=

7、n (n + 1)2各项的符号特征，通过(1)n或(-1)n+1来调节正负项.(2) 考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系(3) 相邻项 (或其绝对值 )的变化特征.(4) 拆项、添项后的特征.(5) 通过通分等方法变化后 ， 观察是否有规律.注意 根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着 “从特殊到一般 ”的数学思想 ， 由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！3791.数列 an 的前 4 项是 2，1，10，17，则这个数列的一个通项公式是an=_解析：2X1+1 2X2+1 2X3+1 2X4+12n+1数列an的前 4 项可变形为2,2, -2, 2

8、，故 an=2.12+ 122+ 132+ 142+ 1n2+ 1答案：2n+ 1n2+ 12.数列.3,.7,.11,.15,的一个通项公式是解析： 因为 7 3= 11 7 = 15- 11 = 4,即 a2 a-1= 4,所以 a= 3+ (n 1)X4= 4n 1,所以 an=4n 1.答案： an=寸 4 n 1由 an与 Sn的关系求通项公式 an（师生共研）（1）（2020 湖南三市联考）设数列an的a1(431，若 a4= 32,则 a1的值为(B所以 S4 S3=警-詈=32 ,1所以 a1=1,故选 A.数列 an满足 ai+ 3a2+ + (2n 1)an= 2n,当 n

9、2 时，ai+ 3a2+ (2n 3)ani= 2(n 1),2所以(2n 1)an= 2,所以 an=2n 1当 n = 1 时，ai= 2,上式也成立.2所以 an=2n 12【答案】(1)A (2)2 an=廿(1)已知 Sn求 an的三个步骤前 n 项和为 Sn,且 Sn=1C.8设数列an满足 ai+ 3a2+ (2n 1)an= 2n,贝 U ai=,an的通项公式【解析】(1)因为Sn=a1(4n 1)3,a4= 32,1先利用 a1= S1求出 a1;2用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系式，利用 an= Sn Sn-1(n2)便可求出当 n2时 an的表达式；3注

10、意检验 n=1 时的表达式是否可以与 n2 的表达式合并.(2)Sn与 an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.1利用 an= Sn Sn-1(n 2)转化为只含 3, 3-1的关系式，再求解;2利用 Sn Sn1= an(n 2)转化为只含 an, an1的关系式，再求解.1 .已知数列an的前 n 项和 Sn= n2+ 2n+ 1(n N*)，贝yan=_.解析：当 n2 时，an= Sn Sn1= 2n+ 1 ;当 n= 1 时，a1= S = 4 工 2X1 + 1.所以 an=4, n= 1, 2n+ 1, n2.答案：4, n=1,2n + 1,

11、n2212._ 若数列an的前 n 项和 Sn= 3an+ 3,则an的通项公式 an=_解析：由 Sn= fan+1,得当 n2 时，Sn1= fan-1+ 3,两式相减，整理得 an= 2an1,33332 1又当 n= 1 时，S1= a1= 3*1+ 3，所以a1= 1,所以an是首项为 1,公比为一 2 的等比数列，故 an= ( 2)n1.答案： （ 2）n1由递推关系求数列的通项公式 （师生共研 ）分别求出满足下列条件的数列的通项 公式(1) ai= 0, an+i= an+ (2n 1)(n N*);n*(2) ai= 1, an+i= 2 an(n N );(3) ai= 1

12、, an+i= 3an+ 2(n N*).【解】(i)an= ai+ (a2 ai) + + (an an1)= 0+ i + 3+ + (2n 5) + (2n 3) = (n i)2，所以数列的通项公式为 an= （ni）2.将这 n 1 个等式叠乘，n(n1)得an=(n1)= 2厂a1an+1+ 1因为 an+1= 3an+ 2,所以 an+1+ 1 = 3(an+ 1),所以=3,所以数列an+ 1等比数列，公比 q = 3,又 a1+ 1 = 2,所以 an+ 1 = 2 3n-1,所以该数列的通项公式为1 1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法an+1a2由于寸2n,故詁21,

13、a32-=22,a2an=2n1an1n(n1)所以数列的通项公式为an= 2n(n1)故 an= 22an+1为an= 2 3nL+cLu(CXIAU)uH uee(cxlAu)ue(L+u)HLuwu丑丑-BL + ;UCXIHCXI+Le+L+CXI+7ucxl+zucxlHue亘亘LE+(LEZE)+(ZEme)十十 ：+(Z+(ZU UE EL Lup)up)+(Lupup)HueJLUCXIHUE L+ueJL UCXI+UE H L+UEcxrHroHuHue e亘亘Lucxl+ueHL+uecxlHro工工宀宀uw二二4懸懸恫恫二二数列的函数特征（多维探究）角度一数列的单调性已知数列an的通项公式为 an=所以an1an2a3a2aia2ainn 1 n 2n+ 1nn13x-x1=,(*)又 a1也满足（*）式, 所以 an=2n+ 1答案:2n+ 13n+ k2n，若数列an为递减数列，则实数k 的取值范围为（A. (3,+ )B. (2, +8 )C. (1, +8)D.(0,+8)3n+ 3 + k 3n + k 3 3n k【解析】 因为 an+1 an=n+L厂，由数列an为递减数列知，对*3 3n k*任意 n N , an