材料力学C06章4-6弯曲变形ppt课件

1、 对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。则其解可以线性叠加。则其解可以线性叠加。P2ABP1ABP1P2AB=+1 1、叠加法、叠加法superposition methodsuperposition method的基本概念的基本概念11y= f (x)如果方程如果方程22y= f (x)和和均为线性均为线性12( )( )yfxfx那那么：么：6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以位移是杆件变形累加的结果这两个重要

2、概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法加法superposition methodsuperposition method由现有的挠度表由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。可以得到在很多复杂情形下梁的位移。2 2、叠加法求弯曲变形、叠加法求弯曲变形 当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

3、加后，便得到几种载荷同时作用的结果。 解：)(245384)2(5441 ZZCEIqaEIaqy)(648)2(432 ZZCEIqaEIaPy)(83421 ZCCCEIqayyy)(324)2(331ZZAEIqaEIaq )(216)2(332ZZAEIqaEIaq )(65321ZAAAEIqa 例例1 求梁的挠度和转角，求梁的挠度和转角，yc,A。aaP = q aABqCaaABqCaaABCP=+例例2 2 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 ycyc组合方法一：增减载荷法qaaqC)(8)2(41 ZCEIaqyayyBBC222 )(842 ZBEIqay)(632ZBEIqa

4、)(2474 ZEIqa21CCCyyy qaaABC21CCCyyy )(24412472444 ZZZEIqaEIqaEIqaBBylqBABBy48BZqlyEI36BZqlEIqaaC（1）aaqCB（2） 将杆件系统分解为将杆件系统分解为n n段，分段，分n n次变形。假设每次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理可以次只有一段变形，其它段均作为刚性处理可以使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得变形量。变形量。组合方法二：逐段刚化法方法：方法：先假设先假设 BC 段刚性，只需段刚性，只需 AB 段变形段变形ayyBBC111 )

5、(127234231 ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111 ZBBCEIqaayy )(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP 再考虑再考虑 BC 段的变形段的变形 ( AB 段刚性段刚性 )(842 ZCEIqay)(2441421 ZCCCEIqayyyqaaABC1By1CyBaaACBPBm1B 2CyCaaAB=+牵带位移牵带位移例例3 3 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 ycyc)(6 (62 xaxEIqdxdyZC)(244142 ZaaCCEIqadyy组合方法三：等价积分法积分积分qaaABCqaaCxqdxdx例例4 4 求图示悬臂梁的求图示悬

6、臂梁的 ycyc先取微分长度，形成微集先取微分长度，形成微集中力中力dP=qdxdP=qdx，代换后知：，代换后知：lBABy236BZPaylaEI Pa例例5 5 求图示简支梁的求图示简支梁的yCyC4l4l4l4lPABCEI2EIACCACAyyyy , 0解：解：PABCCy2P2P组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载)由于对称：梁在由于对称：梁在C点的转角点的转角为为0，可以视为一悬臂梁在，可以视为一悬臂梁在C点固定，在点固定，在A点受集中力作点受集中力作用。用。 A点所产生的位移恰好点所产生的位移恰好与与C点的位移数值相同。点的位移数值相同。2PA留意：一般已经给出

7、悬臂梁法受集中力留意：一般已经给出悬臂梁法受集中力(力偶力偶)作用所产作用所产生的位移和转角，即：生的位移和转角，即：3BPay =( )3EI2BPa=( )2EIBaAP=+2BMay =( )2EIBMa=( )EIBaAM2PAaa2PAaaM=a*P/22PAaaABABP=+组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移) 从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式矩阵之和的形式: F = F symm + F antisymm, 对于轴对称对于轴对称的结构的结构,力也可以同样分解力也可以同样分解. 例如例如P

8、/2P/2P/2P/2例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C 在对称力在对称力P/2P/2和支座反力和支座反力P/2P/2作用下，中截面的的挠度作用下，中截面的的挠度fcfc可可以用端部的挠度以用端部的挠度fBfB表示表示B2/aC2PD2/a2P 3222223233333223 1639611119696aaPPBPCBafEIEIaPaEIEIPaffPaEIEI 挠度转角挠度3BPay =( )3EI2BPa=( )2EIBaAP6-5 6-5 简单的静不定梁简单的静不定梁 与杆件静不定问题的解题

9、方法类似，除了平衡方程外，还需要建立变形协调方程compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程constitutive equations）。解静不定梁基本步骤：解静不定梁基本步骤：2 2、建立平衡方程、建立平衡方程3 3、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程4、按照弯曲变形的公式建立物理方程1 1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静定基。（留意：基本静定基的形式并不唯一。）定基。（留意：基本静定基的形式并不唯一。）5、联立求解平

10、衡方程、物理方程和变形协调方程。解得多余约束反力例例8 8求求: : 梁的约束力梁的约束力知：知：A A端固定、端固定、B B端端铰支梁的弯曲刚度铰支梁的弯曲刚度为为EIEI、长度为、长度为l l。B Alq解：解：1 1、平衡方程、平衡方程: :YA+YB - ql=0YA+YB - ql=0XA=02ABq lM +Yl-=02BMAYAXAYB Alq3 3、物理方程：、物理方程：2 2、变形协调方程：、变形协调方程： yB=yB(q)+yB(FBy)=0yB=yB(q)+yB(FBy)=0yB(q)=ql4/yB(q)=ql4/（8EI8EI）yB(FBy)= - Ybl 3 /yB(

11、FBy)= - Ybl 3 /（3EI3EI）lyB(YB)BYBABMAYAXAYB AlqyB(q)Blq=+解：解：4 4、综合求解、综合求解YA+YB - ql=0XA=0yB=yB(q)+yB(YB)=0由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出: :yB(q)=ql4/（8EI）yB(YB)= - Ybl 3 /（3EI）YB =3ql /8 ,XA=0 ,MA= ql 2/8YA =5ql /8 ,BMAYAXAYB Alq2ABq lM +Yl -= 02强度：正应力：剪应力： maxzWM zzbIQS* zEIXMf)( 刚度：稳定

12、性：都与内力和截面性质有关。6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhRbh请记住：当梁上下对称时，请记住：当梁上下对称时， 强度与抗弯截面模量强度与抗弯截面模量WzWz相关；刚度与惯性矩相关；刚度与惯性矩IzIz相关。相关。合理截面AQ3433. 1mmax 3231

13、DWz32321()2 =1.186648zzDbhDWWmmax5 . 122 ,42DDaa当时1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa 1.0512 132zzIbhI例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面对于正方形对于正方形mmax2143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当zD0.8D 59. 4)8 . 01 (64 1443zzIDI圆环形截面圆环形截面1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmm

14、ax5 . 1a12a1z 2.0912812z14134Iabh Iz矩形截面矩形截面 55.9 15zzII)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z框形截面显然：工字形、槽形截面比矩形截面合理， 矩形截面比圆形截面合理。 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面2、根据材料特性选择截面二、采用变截面梁二、采用变截面梁最好是等强度梁，即)()()(maxxWxMx若为等强度矩形截面，则高为：)(6)(bxMxh同时)(5 . 1max

15、xbhQ5 . 1)(bQxhPx 在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。EIPLy3max021. 0EIPLy3max014. 0EIPLy3max0073. 0三、合理布置外力包括支座），使三、合理布置外力包括支座），使 M max M max 尽可能小尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10EIqLy4max013.0EIqLy43max107875. 0EIqLy43max10326. 0Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxqL/2L/2x322qL M512/

16、92qLZYcrIILGEb 四、防止薄壁梁的侧向屈曲四、防止薄壁梁的侧向屈曲1.矩形纯弯梁的临界载荷LMMxyz2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷LMMxyzhZYZYZYcrIIIIEGIILEL2222)(2h 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类材料，如钢材同类材料，如钢材“E E值相差不多，值相差不多，“s s相差较大相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，不同类材料，E E和

17、和G G都相差很多钢都相差很多钢E=200GPa , E=200GPa , 铜铜E=100GPaE=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！改变！ 刚度设计举例刚度设计举例 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角( (或或者指定截面处的挠度和转角者指定截面处的挠度和转角) )限制在一定范

18、围内，即满足限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则弯曲刚度设计准则(criterion for stiffness design)(criterion for stiffness design)： 上述二式中上述二式中w w和和分别称为许用挠度和许用分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。 maxyy max知：钢制圆轴，左端知：钢制圆轴，左端受力为受力为FPFP，FPFP20 20 kNkN，a al ml m，l l2 m2 m，E=206 GPaE=206 GPa，其他尺，其他尺寸如图所示。规定轴寸如图所示。规定轴承承B B处的许用转角处的许用转角 =0.5 =0.5。试：根据刚度要求确定该轴的直径试：根据刚度要求确定该轴的直径d d。 解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有解：根据要求，所设