数学模型关于食用油加工问题论文

1、题目：食用油的加工问题小组成员（学号）程美静（0812211103）许洁尉（0812211137）殷骏伟（0812211140） 上海应用技术学院 理学院目录第一部分：问题重述以及分析-（2）第二部分：模型假设-（2）第三部分：定义与符号说明-（2-3）第四部分：模型的建立与求解-（3-6） 第五部分：对模型的分析：-（6-9）第六部分：参考文献：-（10）第七部分：附录：-（10-16）第一部分：问题重述：食用油加工问题本次的题目是对食用油加工的问题分析，通过对植物油与非植物油这两种原油的精炼与加工合成所需的成品油提出使公司所得利润最大的模型求解（总利润=总收入-成本费-存储费）。本题包括了

2、两个主要问题：问题1（包含两个小问题）：第一小问就原题中的已知条件建立使公司获得最大利润的模型：根据分析可知已知条件为约束条件，求解模型的最大值。即用线性规划模型，可以借助lingo工具求解；第二小问就是在第一的问题中又增加了一个约束条件即公司现在（一月份）存有5种原料油每种500吨，并希望6月底的存货仍保持如此，即也可用lingo工具求解。问题2：对各种原油的的价格作了调整即每月份的植物油与非植物油的价格以x%呈线性增长。此问题中最基本的模型未改变只是又借助了Matlab工具编程求解，使问题简便一些。注：在题目中有几个关键词需要说明一下：1. 题中的模型需要用到双重求和的式子；2. 需要设双

3、下标的未知量；3. 题目中的原油混合后的硬度的变化需要事先明确；4. 本题中的成品油是所有的原油的混合即为五种油的混合；5. 为了模型求解的而简化，在加工原油的而过程中必要的而假设必不可少；所以就以上的几个注意事项作出本题的而假设。第二部分：模型假设：1. 以一个月为一个生产周期；2. 在每个月月初购买各种原油；3. 精炼过程中没有原油的损失，并且加工费用不计；4. 成品油要包含五种原油的混合；5. 成品油在生产出来就可售出；6. 在一个生产周期内每天的生产方法和生产数量基本相同；7. 各种原油的硬度是根据线性混合的。第三部分：符号说明：符号符号注释第j种原油在i个月份的价格成品油的售价 15

4、00元/吨单位存储费用 50元/吨×月 第j种原油在i个月份购买数量 第j种原油在i个月份销售数量第j种原油i-1月底存储量作为第j种原油在i月初的数量第j种原油的硬度i月各种原油的存储费i月成品油的销售总额第i月初购买各种原油的成本公司在第i月份的利润第四部分：模型的建立与求解：问题1：模型建立（第一小问），根据第一部分中的问题分析我们可以知道，公司的总利润取决于本公司的成品油的销售额、原油的成本费用与原油的存储费用。即（总利润=成品油的销售额-原油的成本费用-原油的存储费用）。要使公司的利润达到最大必须要考虑到这三个方面的因素。由于成品油的销售额与销售价格和销售量有关，而销售价格

5、为1500元/吨 为定值，所以销售额只取决于公司的销售量，即。对于原油的成本的计算，由于每一种原油的价格不同，所以购买所用的单位成本就不一样了。即。由于货物分为已用和剩余两个部分，所以存储费也包括了两部分。对于剩余量有。至于已用量，根据假设6在一个生产周期内每天的生产方法和生产数量基本相同，所以其减少量线性变化。所以根据平均法可以求得。即存储费用等价引理：如果公司的每个月服从均匀生产规律，那么用来精炼油的原料油单位储存费用是储存整整一个月原料单位费用的0.5。证明：假设每个月均匀生产，每个月一共生产Q吨，将储存量表示为时间t的函数q(t)，开始生产时刻记为t=0，那么在时刻t=0生产0件，储存

6、量q(0)=Q，q(t)以速率r递减，直到q(t)=0，如图1所示qQ0 T t （图1）存储量的周期生产图形这样一来总的综上所述，可以得到一个月的利润表达式： 由于每个的情况基本相同，所以我们得到了一个线性规划的模型：Max=; st 模型建立（第二小问），根据题目中所给的已知条件可知，本小问中的使公司获得最大利润也是由三个因素所决定的，取决于本公司的成品油的销售额、原油的成本费用与原油的存储费用。即（总利润=成品油的销售额-原油的成本费用-原油的存储费用）。此时的模型也为线性规划问题，模型同上，只是根据条件：公司现在（一月份）存有5种原料油每种500吨，并希望6月底的存货仍保持如此约束条件

7、有所改变，即线性规划模型为：Max=; s.t. 第五部分：模型结果及分析：问题1（1）在公司的月初未存有5种原料油每种500吨情况下的Lingo模型结果：（对应的Lingo程序见附录1）通过结果可以得知公司利润的最优解为123.6019万元，详细的生产方案如下表：月份原料油购买量（吨）对目标函数值的影响（元/吨）生产量（吨）对目标函数值的影响（元/吨）一月V1V2O1O2O3318.5185122.22220250000118.5185079.62963159.259340.740740250000000二、月V1V2O1O2O300075001505000250159.259340.740

8、740250000118.5185029.62963三月V1V2O1O2O3159.25930002500100187.0370500159.259340.7407402500000059.25926四月V1V2O1O2O30240.7407000100037.0370420025002000025000162.963000五月V1V2O1O2O3159.25930000050327.77785044.44444159.259340.740740250000000六月V1V2O1O2O3159.259340.74070250000518.51850579.6296159.259340.7407

9、40250000000（表一） 无初始存储量的采购与加工方案表综上：得到结论 购买方案与原料油的价格有关，尽量购买价格低的原料油，尽量减少价格高的原料油的购买量，甚至不买; 尽量在原油价格过低的时候购买原料油，以减少原料油的成本费用。加工方案中应该与原料油的硬度和购买的数量有关，在六个月中即没有购买也不生产，例如每个月中的01和03号原料油，两种非植物油全不生产。（除5月的特殊点，原因估计为减少库存原油以降低储存成本费用）1（2）在公司一月份存有5种原料油每种500吨，并希望6月底的存货仍保持如此情况下的Lingo模型结果：（对应的Lingo程序见附录2）通过结果可以得知公司利润的最优解为10

10、3.1926万元，详细的生产方案如下表：月份原料油购买量（吨）对目标函数值的影响（元/吨）生产量（吨）对目标函数值的影响（元/吨）一月V1V2O1O2O30000030040025025030022.22222177.7778025000020000二、月V1V2O1O2O3000750045045000250159.259340.74074025000020000三月V1V2O1O2O3000002005001505000200025000020000四月V1V2O1O2O3000002501500200250159.259340.74074025000020000五月V1V2O1O2O30

11、00000200250500159.259340.74074025000020000六月V1V2O1O2O3659.2593540.740707500001000250159.259340.740740250000418.51850329.6296 （表二） 有初始存储量的采购与加工方案表综上：得到结论 购买方案与原料油的价格有关，尽量购买价格低的原料油，尽量减少价格高的原料油的购买量，甚至不买；尽量在后几个月购买原料油，以减少原料油的存储费用。 加工方案中应该与原料油的硬度和购买的数量有关，在六个月中即没有购买也不生产，例如每个月中的01和03号原料油，两种非植物油全不生产。问题2：我们要考

12、虑到原料油的价格的变化会影响到采购和加工方案的变化，价格变化方式如下表：月份123456植物油（x%）非植物油(x%)0012243648510（表三）价格涨幅表将x从1以1为步长变化到20的对应的最大利润和最佳的采购及加工方案变化，因为原料油根据x从1以1为步长变化到20的变化即为把原题中原料油的价格（按照附录3的Matlab程序）快速生成：X利润(万元)188.07275.05362.03449.01535.99623.13710.3580.4849-5.66410-10.89X利润（万元）11-15.0912-17.5813-19.42514-20.67515-21.12516-21.5

13、7517-22.02518-22.47519-22.92520-23.375（表四）最大利润随价格涨幅的变化表用Matlab作出最大利润随价格涨幅的变化的曲线图如下：（程序见附录4）（图二）最大利润随价格涨幅的变化曲线图结论：从图中发现x=8之前的最大利润随x的增大基本是呈线性下降的且利润为正；而在x>8之后利润变为负数，原因主要为原料油价格涨幅过高，导致公司亏损，但最后最大利润趋于稳定。从(附录3)中可以观察到二月份购买的原油中部分原油价格超过了成品油的售价，所以公司应该购买那些价格较低的原油使的公司的亏损降低。另外x在0到7之间变动时，最大利润和价涨幅呈线性关系，所以在这段区间上的最

14、大利润可以用一条直线进行计算而不需要在引入x从而简化计算。第六部分：参考文献：（1） 附录1中Lingo程序参见Lingo教程；第七部分：附录：1.在公司的月初未存有5种原料油每种500吨情况下的Lingo模型：model:sets:m/1.6/:; n/1.5/:;ajz(m,n):c,x,y;endsetsdata:c=1100 1200 1300 1100 1150 1300 1300 1100 900 1150 1100 1400 1300 1000 950 1200 1100 1200 1200 1250 1000 1200 1500 1100 1050 900 1000 1400

15、800 1350;enddatamax=sum(m(i):sum(n(j):(1825-50*i)*y(i,j)-50*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j);for(m(i):y(i,1)+y(i,2)<=200);for(m(i):y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)<=250);for(n(j):x(1,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)

16、+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)<=1000);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)>=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)>=0);fo

17、r(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)>=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)>=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)>=0);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)-

18、y(6,j)>=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-3*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)>=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-6*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)<=0);end2.在公司一月份存有5种原料油每种500吨，并希望6月底的存货仍保持如此情况下的Lingo模型：model:sets:m/1.6/:; n/1

19、.5/:;ajz(m,n):c,x,y;endsetsdata:c=1100 1200 1300 1100 1150 1300 1300 1100 900 1150 1100 1400 1300 1000 950 1200 1100 1200 1200 1250 1000 1200 1500 1100 1050 900 1000 1400 800 1350;enddatamax=sum(m(i):sum(n(j):(1825-50*i)*y(i,j)-50*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j)-750000;for(m(i):y(i,1)+y(i,2)<=200);for

20、(m(i):y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)<=250);for(n(j):sum(m(i):x(i,j)-y(i,j)=0);for(n(j):x(1,j)<=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)<=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)<=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)<=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y

21、(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)<=500);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)<=500);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)>=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)>=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)>=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j

22、)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)>=0);for(n(j):500+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)>=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5*y(i,5)-3*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)>=0);for(m(i):(8.8*y(i,1)+6.1*y(i,2)+2*y(i,3)+4.2*y(i,4)+5

23、*y(i,5)-6*(y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)+y(i,4)+y(i,5)<=0);End3function =sm()c1=1100 1200 1300 1100 1150;1300 1300 1100 900 1150;1100 1400 1300 1000 950;1200 1100 1200 1200 1250;1000 1200 1500 1100 1050;900 1000 1400 800 1350;c=c1;n=2;m=1;x=1;for x=1:20 for n=2:6 for m=1:5 if m<=2 c(n,m)=c(n,m)*(1+(n-1

24、)*x/100); else c(n,m)=c(n,m)*(1+2*(n-1)*x/100); end end end c c=c1;end运行结果：变量x从1以步长1变化直到20的价格预测矩阵依次如下：c = 1100 1200 1300 1100 1150 1313 1313 1122 918 1173 1122 1428 1352 1040 988 1236 1133 1272 1272 1325 1040 1248 1620 1188 1134 945 1050 1540 880 1485c = 1100 1200 1300 1100 1150 1326 1326 1144 936 1

25、196 1144 1456 1404 1080 1026 1272 1166 1344 1344 1400 1080 1296 1740 1276 1218 990 1100 1680 960 1620c = 1100 1200 1300 1100 1150 1339 1339 1166 954 1219 1166 1484 1456 1120 1064 1308 1199 1416 1416 1475 1120 1344 1860 1364 1302 1035 1150 1820 1040 1755c = 1100 1200 1300 1100 1150 1352 1352 1188 972

26、 1242 1188 1512 1508 1160 1102 1344 1232 1488 1488 1550 1160 1392 1980 1452 1386 1080 1200 1960 1120 1890c = 1100 1200 1300 1100 1150 1365 1365 1210 990 1265 1210 1540 1560 1200 1140 1380 1265 1560 1560 1625 1200 1440 2100 1540 1470 1125 1250 2100 1200 2025c = 1100 1200 1300 1100 1150 1378 1378 1232

27、 1008 1288 1232 1568 1612 1240 1178 1416 1298 1632 1632 1700 1240 1488 2220 1628 1554 1170 1300 2240 1280 2160c = 1100 1200 1300 1100 1150 1391 1391 1254 1026 1311 1254 1596 1664 1280 1216 1452 1331 1704 1704 1775 1280 1536 2340 1716 1638 1215 1350 2380 1360 2295c = 1100 1200 1300 1100 1150 1404 140

28、4 1276 1044 1334 1276 1624 1716 1320 1254 1488 1364 1776 1776 1850 1320 1584 2460 1804 1722 1260 1400 2520 1440 2430c = 1100 1200 1300 1100 1150 1417 1417 1298 1062 1357 1298 1652 1768 1360 1292 1524 1397 1848 1848 1925 1360 1632 2580 1892 1806 1305 1450 2660 1520 2565c = 1100 1200 1300 1100 1150 14

29、30 1430 1320 1080 1380 1320 1680 1820 1400 1330 1560 1430 1920 1920 2000 1400 1680 2700 1980 1890 1350 1500 2800 1600 2700c = 1100 1200 1300 1100 1150 1443 1443 1342 1098 1403 1342 1708 1872 1440 1368 1596 1463 1992 1992 2075 1440 1728 2820 2068 1974 1395 1550 2940 1680 2835c = 1100 1200 1300 1100 1

30、150 1456 1456 1364 1116 1426 1364 1736 1924 1480 1406 1632 1496 2064 2064 2150 1480 1776 2940 2156 2058 1440 1600 3080 1760 2970c = 1100 1200 1300 1100 1150 1469 1469 1386 1134 1449 1386 1764 1976 1520 1444 1668 1529 2136 2136 2225 1520 1824 3060 2244 2142 1485 1650 3220 1840 3105c = 1100 1200 1300

31、1100 1150 1482 1482 1408 1152 1472 1408 1792 2028 1560 1482 1704 1562 2208 2208 2300 1560 1872 3180 2332 2226 1530 1700 3360 1920 3240c = 1100 1200 1300 1100 1150 1495 1495 1430 1170 1495 1430 1820 2080 1600 1520 1740 1595 2280 2280 2375 1600 1920 3300 2420 2310 1575 1750 3500 2000 3375c = 1100 1200 1300 11