第05章刚体的定轴转动xppt课件

1、1复习：复习：一、运用功能原了解题步骤一、运用功能原了解题步骤1确定研讨对象确定研讨对象“系统保守力的施力体划在系统保守力的施力体划在系统内系统内2分析系统所受的力及力所做的功；分析系统所受的力及力所做的功；3选择惯性系建坐标系；选择惯性系建坐标系；4选择零势能点；选择零势能点；5计算始、末态的机械能及各力所做的功计算始、末态的机械能及各力所做的功; 6运用功能原理列方程解方程运用功能原理列方程解方程 。二、碰撞二、碰撞1完全非弹性碰撞：动量守恒、机械能有损失完全非弹性碰撞：动量守恒、机械能有损失2弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒2复习题复习题1: 判别判别1不受外

2、力作用的系统，其动量和机械能必不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒。然同时守恒。2所受合外力为零，内力都是保守力的系统，所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒。其机械能必然守恒。3不受外力，而内力都是保守力的系统，其不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然守恒。动量和机械能必然守恒。4外力对一个系统的所做的功为零，那么该外力对一个系统的所做的功为零，那么该系统的机械能和动量必然同时守恒。系统的机械能和动量必然同时守恒。3复习题复习题2: 两木块两木块A,B的质量分别为的质量分别为m1, m2, 用一个顽强系数用一个顽强系数为为k的弹簧衔接起来，把弹簧紧缩了

3、的弹簧衔接起来，把弹簧紧缩了x,并用细线扎住，放并用细线扎住，放在光滑程度面上，在光滑程度面上，A靠紧墙壁，然后烧断扎线，判别：靠紧墙壁，然后烧断扎线，判别：1弹簧由初态恢复为原长的过程中，弹簧由初态恢复为原长的过程中，A, B, 弹簧系统动量守弹簧系统动量守恒；恒；2上述过程中机械能守恒；上述过程中机械能守恒；3当当A分开墙壁后，整个系统动量守恒，机械能不守恒；分开墙壁后，整个系统动量守恒，机械能不守恒；4A分开墙壁后，整个系统总机械能为分开墙壁后，整个系统总机械能为0.5kx2, 总动量为总动量为0。m1m24复习题复习题3: 质量为质量为m的平板的平板A，用竖立的弹簧支持而处在程度，用竖

4、立的弹簧支持而处在程度位置，从平台上抛下一质量为位置，从平台上抛下一质量为m的小球的小球B，球初速度，球初速度v沿沿程度方向。球由于重力作用下落与程度板发生弹性碰撞，程度方向。球由于重力作用下落与程度板发生弹性碰撞，假定平板是光滑的。那么球与平板碰撞后的运动方向应假定平板是光滑的。那么球与平板碰撞后的运动方向应为哪个？为哪个？vmm123455.1 刚体转动的描画刚体转动的描画 5.2 转动定律转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 转动定律的运用转动定律的运用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能5.7 进动进动*转轴6本章将引见一种特殊的质点系本章将引

5、见一种特殊的质点系刚体刚体所遵照的力学所遵照的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。规律。着重讨论刚体的定轴转动。5.1 5.1 刚体转动的描画刚体转动的描画一、一、 概念概念什么是刚体什么是刚体? 实践的固体在受力作用时总是要发生或大或小实践的固体在受力作用时总是要发生或大或小的外形和体积的改动。假设在讨论一个固体的运动时的外形和体积的改动。假设在讨论一个固体的运动时,这种外形这种外形或体积的改动可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处置。或体积的改动可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处置。在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。(2)(2)刚体可

6、以看作是由许多质点组成刚体可以看作是由许多质点组成, ,每一个质点每一个质点叫做刚体的一个质元叫做刚体的一个质元, ,刚体这个质点系的特点是刚体这个质点系的特点是, ,在外力作用下各质元之间的相对位置坚持不变。在外力作用下各质元之间的相对位置坚持不变。1. 刚体定义刚体定义:mimiN 支持力支持力留意：留意：(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元质元72. 刚体的运动方式刚体的运动方式: 假设刚体在运动中假设刚体在运动中,连结体内两连结体内两点的直线在空间的指向总坚持平行点的直线在空间的指向总坚持平行,这样的运动就叫平动。这样的运动就叫平动。 转动是刚体的根

7、本运动方式之一。刚体转转动是刚体的根本运动方式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动动时各质元均做圆周运动,而且各圆而且各圆 的圆心都的圆心都在一条直线上在一条直线上,这条直线叫转轴。假设转轴方这条直线叫转轴。假设转轴方向不随时间变化固定不动向不随时间变化固定不动, 那么称定轴转那么称定轴转动。动。转动转动:平动：平动：转轴转轴mimi留意：留意： 刚体平动时刚体平动时, ,刚体内各刚体内各质元的运动轨迹都一样质元的运动轨迹都一样, ,而且在而且在同一时辰的速度和加速度都相等。同一时辰的速度和加速度都相等。因此因此, ,在描画刚体的平动时在描画刚体的平动时, ,可以可以用一点的运动来代表，通常就用

8、用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。体的平动。8三、刚体三、刚体在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。或者说：各质元之间的相对位置坚持不变。或者说：各质元之间的相对位置坚持不变。平动平动1刚体上各点轨迹的外形一样。刚体上各点轨迹的外形一样。2同一瞬时，刚体上各点的速度和加速度完全一样。同一瞬时，刚体上各点的速度和加速度完全一样。转动转动1各质元均做圆周运动各质元均做圆周运动2各圆各圆 的圆心都在一条固定的圆心都在一条固定不动的直线上不动的直线上,这条直线叫转轴。这条直线叫转轴。9定轴转动

9、定轴转动1各质元均做圆周运动各质元均做圆周运动2各圆各圆 的圆心都在一条固定不动的直线上的圆心都在一条固定不动的直线上,这这条直线叫转轴。条直线叫转轴。10 刚体的普通运动都可以以为是平动和绕某一转轴转动的刚体的普通运动都可以以为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图结合。如图,车轮的转动。车轮的转动。11转动平面转动平面 二、刚体定轴转动的描画二、刚体定轴转动的描画 刚体绕某一固定轴转动时刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动面内作圆周运动,且一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度且一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度一样一样,根据这一特

10、点根据这一特点,常取垂直于转轴常取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系,这个平面这个平面称转称转 动平面。虽然刚体上各质元的线速度、动平面。虽然刚体上各质元的线速度、 加速度普通是不加速度普通是不同的。但由于各质元的相对位置坚持不变同的。但由于各质元的相对位置坚持不变,所以描画各质元运动所以描画各质元运动的角量的角量,如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是一样的。因此描画和角加速度都是一样的。因此描画刚体的运动时刚体的运动时,用角量最为方便。用角量最为方便。Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴122.角位移角位移1.角位置角位置4. 角加速度矢量角加速度矢量)/(2sraddtd)

11、;/(sraddtd转动平面转动平面vrv方向与转动方向成右手螺旋法那么方向与转动方向成右手螺旋法那么 。3.角速度矢量角速度矢量: 方向与转动方向成右手螺旋法那么方向与转动方向成右手螺旋法那么 。P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度dtvda切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度当减速转动时当减速转动时, ,角加速度与角速度方向相反角加速度与角速度方向相反; ;留意留意: :当加速转动时当加速转动时, ,角加速度与角速度方向一样；角加速度与角速度方向一样；rpooX转动方向转动方向Zdtrdrdtdvr13.当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：)(20202atvv0)

12、(20202xxavv20021attvxxt 02210 )(tt匀加速度直线运动公式：匀加速度直线运动公式：14例例 1：一条缆绳绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径：一条缆绳绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r=0.5m,假设升降机从静止开场以加速度假设升降机从静止开场以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求：匀加速上升，求：1滑轮的角速度；滑轮的角速度；2开场上升后，开场上升后，t=5s末滑轮的角速度；末滑轮的角速度；3在在5s内滑轮转过的圈数；内滑轮转过的圈数；4开场上升后，开场上升后，t=1s末滑轮边缘上一点的加速度假设缆绳末滑轮边缘上一点的加速度假设缆绳和滑轮之间不打滑和滑轮之间不

13、打滑15解：解：1升降机加速度和轮缘处切向加速度相等，因此滑轮角加速度升降机加速度和轮缘处切向加速度相等，因此滑轮角加速度为：为：)/(8 . 05 . 04 . 02sradrarat2利用匀加速转动公式：利用匀加速转动公式：)/(458 . 0sradt3滑轮转过的角度：滑轮转过的角度：)(1058 . 0212122radt1641s末滑轮边缘上一点的加速度：末滑轮边缘上一点的加速度：2/4 . 0smat)/(8 . 018 . 01sradtst2212/32. 05 . 08 . 0smrastn222/51. 0smaaantotnaa7 .38arctan17将刚体看成许多质量

14、分别为将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质的质点点;各质点距转轴的间隔分别为各质点距转轴的间隔分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、 转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能5.6 5.6 转动中的功和能转动中的功和能那么第那么第 i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiirm转动惯量J18实验发现实验发现,刚体做定轴转动时刚体做定轴转动时,其转动形状的改动与外力的其转动形状的改动与外力的大小、方向及作用点均有关。大小、方向及作用点均有关。(如开门如开门)O转轴与转动

15、平面内的交点转轴与转动平面内的交点二、力矩二、力矩pFrMFrFF/OZF/-表示力表示力F在转轴方向的投影在转轴方向的投影F-表示力表示力F在转动平面内的投影在转动平面内的投影r - O点到力的作用点的矢径点到力的作用点的矢径表示表示 F与与 r 的夹角的夹角19FFF/当我们用力当我们用力 F 推门时，该力可以分推门时，该力可以分解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴方向的力，平行于门轴方向的力对门的方向的力，平行于门轴方向的力对门的转动能否起作用？转动能否起作用？问题问题:pFrFF/OZM= F r sin力矩的方向力矩的方向:沿沿Z轴方向力矩的大小轴方向

16、力矩的大小 :沿转轴方向沿转轴方向,并与矢径并与矢径 r 及及 F 成右手螺旋法那么成右手螺旋法那么 。20O三、功三、功-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力继续作用于刚体使其角位置由当力继续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,那么功为那么功为21MdArdfdArdfcosdfrsinMd如图力如图力 f 作用于作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度点使刚体绕转轴转过微小角度d,P点对应的线位移为点对应的线位移为dr, 力所作的元功力所作的元功pfdrdr21当力矩为常量时当力矩为常量时,功为功为)(21 MA对于同一转轴对于同一转轴,刚体中一切内力功的总和为零。刚体中

17、一切内力功的总和为零。四四 、功率、功率:tANdd2.2.当力矩与与角速度同向时当力矩与与角速度同向时, ,功和功率皆为正值功和功率皆为正值; ;反之为负。反之为负。单位时间内外力所做的功。单位时间内外力所做的功。留意留意: :tMddM1.1.当额定功率一定时当额定功率一定时, ,力矩与转速成反比力矩与转速成反比; ;22五、五、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理末态的角位置和角速度分别为末态的角位置和角速度分别为2和和2,那么在该过程中力矩那么在该过程中力矩的功为：的功为：21MdA意义：合外力矩对刚体做定轴转动所作的功意义：合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动动等

18、于刚体转动动能的增量。能的增量。设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为1和和121222121JJ221JEk21MdA0intA23m质量为质量为m的不太大的整个刚体的重力势能的不太大的整个刚体的重力势能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一个不太大的刚体的重力势能和它的一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。全部质量集中在质心时所具有的势能一样。结论：结论：五五 、刚体系统的功能原理、刚体系统的功能原理A外力外力 +A非保守内力非保守内力=Ek2 +Ep2 -Ek1 +Ep1222121JmvEck

19、cpmgyE当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功时当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功时,在该过在该过程中系统机械能守恒。程中系统机械能守恒。XYOz六六 、势能、势能24例例 2： 如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆的匀质细杆(J=(1/3)M l 2)，中间和，中间和右端各有一质量皆为右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的程度轴转动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，垂直的程度轴转动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，求杆转到与程度方向成求杆转到与程度方向成角时角时,杆的角速度是多少杆的角速度是多少?

20、mgl1. 研讨对象研讨对象:杆杆+球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守内力保守内力; 弹力其功为零弹力其功为零2. 分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3. 取重力势能零点取重力势能零点:程度位置程度位置4. 运动过程中系统满足机械能守恒的条件运动过程中系统满足机械能守恒的条件:解解:250)312(212222Mlmllmsinsin2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmMmgl26复习：复习：1、刚体定轴转动的描画、刚体定轴转动的描画转动平面转动平面 Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动各质元都在垂直于转轴的平面内作圆

21、周运动,一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度一样一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度一样27转动平面转动平面vrpooX转动方向转动方向Z2.角位移角位移1.角位置角位置4. 角加速度矢量角加速度矢量)/(2sraddtd);/(sraddtd3.角速度矢量角速度矢量:dtvdadtrdrdtdvrratrvan2282.当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：)(202022210 )(ttt 0221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能3. 刚体转动中的动能、功、势能：刚体转动中的动能、功、势能：21MdArdfdAMd21222121JJ21MdA294 、刚体系统的功

22、能原理、刚体系统的功能原理A外力外力 +A非保守内力非保守内力=Ek2 +Ep2 -Ek1 +Ep1222121JmvEckcpmgyE当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功时当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功时,在该过在该过程中系统机械能守恒。程中系统机械能守恒。FFF/5、力矩、力矩FrM计算定轴转动中的力矩时，只需计算定轴转动中的力矩时，只需求思索求思索 。F301. 定轴转动惯量定义定轴转动惯量定义:iiirmJ25.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算分立刚体分立刚体:转动惯量等于转动惯量等于刚体中每个质点的刚体中每个质点的质量与这一质点到质量与这一质点到转轴的间

23、隔的平方转轴的间隔的平方的乘积的总和。的乘积的总和。mioiri31延续刚体延续刚体:dmrJ2质量体密度质量体密度dvr2dsr2dlr2质量面密度质量面密度质量线密度质量线密度dmor322. 转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 刚性三原子分子其质量分布如下图，求刚性三原子分子其质量分布如下图，求绕转轴的转动惯量绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ例例 2 质量为质量为m ，长为，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。和绕一端转轴的转动惯量。r1r2r3m1m2m3转轴转轴33解解:设棒单位长质量设棒单位长质量

24、:那么按如图所示建立一维坐标系那么按如图所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为绕中心轴的转动惯量为那么按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为那么按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为dmxJ21dmxJ22oX图图图图Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm34oRZ例例 3 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并经过其圆心。圆环平面垂直并经过其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR解解:35RoZ例例 4 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆盘的

25、转动惯量，轴的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并经过其圆心。与圆盘平面垂直并经过其圆心。drr解解:设圆盘单位面积上的质量为设圆盘单位面积上的质量为在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为r，宽为，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：的圆环，该圆环质量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为36例例 5 求质量为求质量为 M ，半径为，半径为 R，厚为，厚为 l 的均匀圆柱体的转动惯的均匀圆柱体的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并经过其轴心。量，轴与圆柱平面垂直并经过其轴心。RoZldl解解:设圆柱体单位长度上的质量为设圆柱体单位长度上的质量为lmlmdd在

26、圆柱体上沿轴向取长为在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的的薄圆盘，该圆盘质量：薄圆盘，该圆盘质量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为圆柱体转动惯量为圆柱体转动惯量为37Z3. 转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质:转动惯量与质量类似转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度它是刚体转动惯性大小的量度;转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关位置及刚体的质量分布有关;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;如图如图,假设三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为假设三个刚

27、体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3,那么该刚体系统绕该轴的转动惯量为那么该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;同一刚体同一刚体,转轴不同转轴不同,质量对转轴的分质量对转轴的分布不同布不同,因此转动惯量不同。因此转动惯量不同。ZCdZ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对经过质心并与该轴平行的转动惯量体对经过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。积。平行轴定理：平行轴定理：J=Jc+md2证明见书证明见书166页页38内容：刚体的角加速度与力矩之间的关

28、系内容：刚体的角加速度与力矩之间的关系JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律意义：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴意义：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。21222121JJ21MdA)21(2JdMddJdtdJdtdMdtddtd5.4 5.4 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律391. 一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩(对该转轴对该转轴而言而言)为零时为零时,它将坚持原有的角速度不变。该定理反映了任它将坚持原

29、有的角速度不变。该定理反映了任何转动物体都有转动惯性。何转动物体都有转动惯性。2. 一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩(对该转轴而对该转轴而言言)不为零时不为零时,它将获得角加速度它将获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的角加速度的方向与合外力矩的方向一样方向一样;角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比,并与它并与它的转动惯量成反比。的转动惯量成反比。IM 阐明阐明:3. 运用定轴转动定律公式解题一定要留意转动轴的位置和指向，运用定轴转动定律公式解题一定要留意转动轴的位置和指向，也要留意力矩、角速度和角加速

30、度的正负。也要留意力矩、角速度和角加速度的正负。JM 40例例6 一个飞轮的质量一个飞轮的质量m=60kg,半径半径R=0.25m, 正在以正在以0=1000r/min的转速转动。如今要制动飞轮，要求在的转速转动。如今要制动飞轮，要求在t=5.0s内内均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力为多大？假定闸均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力为多大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为K=0.8,而飞轮的质量可以看作而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。全部均匀分布在轮的外周上。解解: 首先确定转轴，定义正方向首先确定转轴，定义正方向 t05st0,s,7r

31、ad104min1000r0/./)/(.2srad920571040飞轮这一负加速度是外力矩作用的结果。飞轮这一负加速度是外力矩作用的结果。以以fr表示摩擦力的数值，表示摩擦力的数值，那么它对转轴的力矩为那么它对转轴的力矩为NRRfMrJNR 得到：得到：2mRJ 又：又：392(N)8092025060mRN.).(.所以：所以：42例例7 如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的程度轴转的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的程度轴转动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，求杆

32、转到与程度动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，求杆转到与程度方向成方向成角时角时,杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少?解解:设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 222312MlmllmJ该系统所受的合力矩为该系统所受的合力矩为coscos2cos2mgllmglMgMcos)415()3(6glMmmM由转动定律由转动定律:M=J可得可得方向方向:指里。指里。mgl43例例8 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮当作均匀圆盘上面绕的定滑轮当作均匀圆盘上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为有细绳。绳的一端固定在

33、滑轮边上，另一端挂一质量为m的物的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。下落时的加速度。解解: 首先确定转轴，定义转动正方向，定义首先确定转轴，定义转动正方向，定义平动正方向。平动正方向。分析平动物体受力情况；分析平动物体受力情况；分析转动物体受力和力矩情况。分析转动物体受力和力矩情况。maTmg2MR21JTR对物体对物体m，列方程，列方程对定滑轮对定滑轮M，列方程，列方程列辅助方程列辅助方程Ra 得到：得到：g2Mmma44例例9 固定在一同的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的程度对称固定在一同的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的程度对称轴轴OO转动转动,

34、设大小圆柱体的半径分别为设大小圆柱体的半径分别为R和和r,质量分别为质量分别为M和和m,绕在两柱体上的细绳分别与物体绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和和m2相连相连,m1和和m2那么挂那么挂在物体的两侧在物体的两侧,如以下图所示。如以下图所示。求求:柱体转动的角加速度柱体转动的角加速度;两细绳的张力两细绳的张力T1和和T2。设设R=0.2m, r =0.1m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kgmOOm1m2MrR454. 由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下2222amTgmXoT2m2gT1m1g1111amgmTJrTRT12辅助方程R

35、a 2222121mrMRJra 1;3. 隔离物体分析力隔离物体分析力,2. 定性分析定性分析m1 向上向上m2 向下向下;定转轴正向沿定转轴正向沿oo从左侧视从左侧视图看转轴正向指里图看转轴正向指里;设设m2 向下为坐标正向向下为坐标正向;解解: 1.确定研讨对象：确定研讨对象：m、M、m1、m2T2Rro1122; TTTTT1464. 解方程可得结果如下解方程可得结果如下:222212212rad/s13. 62grmgRmRmrmmrMRN83.20)(11rgmTN15.17)(22RgmT471)A= B;2) A B;3) A B；4) 开场时开场时A= B; 以后以后A B;

36、测试题：如图测试题：如图A、B为两个一样的绕着轻绳的定为两个一样的绕着轻绳的定滑轮。滑轮。A滑轮挂一质量为滑轮挂一质量为M的物体，的物体，B滑轮受拉滑轮受拉力力F, 而且而且F=mg。设。设A,B两个滑轮的角加速度分别两个滑轮的角加速度分别为为A, B, 不计滑轮轴的摩擦，那么：不计滑轮轴的摩擦，那么：MF48 例例10：如下图：如下图,有两个质量分别为有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分别，半径分别为为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂其两端挂着质量分别为着质量分别为m1 和和m2 的物体。假设的物体。假设m1 m2 , 忽略轴承忽略轴承

37、处的摩擦处的摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度及绳子的张力及绳子的张力T1 、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1R1M2R249T2M1R1M2 R2T3T1m1gT2m2gT3T12222amTgm1111amgmT222223221)(RMRTT222111RaRa121111321)(RMRTT5012121121)2(m)m2(mRgMMmgmMMmMMT121212111)2(m)m4(22121122)2(m)m2(mRgMMmgmMMmMMT221212112)2(m)m4(gMMmMMT21212112213)2(

38、m)mmmm4(51例例11两个物体质量分别为两个物体质量分别为m1和和m2 定滑轮的质量定滑轮的质量 为为 m ，半，半径为径为r ，可视为均匀圆盘。知桌面间的滑动摩擦系数和为，可视为均匀圆盘。知桌面间的滑动摩擦系数和为k，求求m1 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。m1m2rm52ak222mgmTamTgm111JrTT)(211122; TTTT辅助方程221mrJ ra/例：例：T2T1m1gfT1T2m2aar定义向里为正53gmam

39、/2mmm21k21gmmmT121k21m/2m2/)1 (mgmmmT221kk12m/2m2/)1 (m解方程可得结果如下解方程可得结果如下:54rivimiZoi一、冲量矩一、冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应力矩作用于刚体的时间累积效应21ttMdt定义定义:二、角动量定理二、角动量定理: :1. 角动量定义角动量定义:J质点对质点对Z轴的角动量轴的角动量:iiiiiimrvmrL25.5 5.5 对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒iiLLiiimr2iiiivmriiimr)(2JL 55复习：复习：1. 定轴转动惯量定轴转动惯量iiirmJ2分立刚体分立刚体:dmrJ2dvr

40、2dsr2dlr2延续刚体延续刚体:* 转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;* 转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;56JM 2. 定轴转动定律定轴转动定律意义：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转意义：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。乘积。573. 角动量定理角动量定理:122121LLdtdtLddtMttttdtLdM 转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动等于在这段时间内转动物体角动量的增量。角动量也称动量矩。物体角动

41、量的增量。角动量也称动量矩。角动量定理的意义角动量定理的意义:dtdLdtJddtdJJM)(JL 58三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：dtLdM1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况: :留意留意: :当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L坚持守恒。坚持守恒。2.2.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样都是自能量守恒定律一样都是自然界的规律。然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变; ;二是两者都变但二者的乘积不变。二是两者都变但二者

42、的乘积不变。常量JL59舞蹈中的角动量守恒景象舞蹈中的角动量守恒景象60滑冰中的角动量守恒景象滑冰中的角动量守恒景象 61跳水中的角动量守恒景象跳水中的角动量守恒景象 起跳入水62例例12:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑程度轴上端用光滑程度轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为吊起而静止下垂。今有一子弹质量为m ,以程度速度以程度速度vo 射入杆射入杆的下端而不复出。的下端而不复出。求：子弹刚和杆开场一同运动时的角速度求：子弹刚和杆开场一同运动时的角速度多大多大?mvooL63解解:1. 定转轴正向：指外定转轴正向：指外2. 隔离物体分析力及力矩；隔离物体分析力及力矩；子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，那么系统的角动量守恒。系统，那么系统的角动量守恒。)31(22mlMllmvo设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为角速度为，那么由角动量守恒定律可得，那么由角动量守恒定律可得lmMmvo)3(3mvooLfFMgmgf64例例13:如图长为如图长为 l ，质量为，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的程度的均匀直棒静止在一光滑的程度面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，