第10和11章例题动量定理动量矩定理ppt课件

1、12; 252lPC 例曲柄连杆机构的曲柄例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀以匀 转动，设转动，设OA=AB=l ,曲柄曲柄OA及连杆及连杆AB都是匀质杆都是匀质杆, 质量各为质量各为m , 滑块滑块B的质量的质量也为也为m。求当。求当 = 45时系统的动量。时系统的动量。lvC21 1llvABC25252lPBvC23连杆连杆AB：P为速度瞬心，为速度瞬心，滑块滑块B：解解: 1求各构件的质心速度求各构件的质心速度AB曲柄曲柄OA：转向与转向与 相反相反OAPAABOA, 450速度方向如图速度方向如图3连杆AB：滑块B：2 求动量求动量曲柄OA：11CvmK) j sin cos( 222im

2、vvmKCC) (421jimlKimvvmKCC33 3imlK 23 ) cos sin(11jimvKC 52, 51sincos , 103)45cos(cos0 , 101)45sin(sin0 ) j1 3(42) j101 103(25 22imlimlvmKC4 321KKKK总动量：总动量：) (421jimlKimlK 23) j1 3(422imlK 2) j 3(42) j(42imlimlimlK) j4(22 iml大小：大小：mlmlK2.92 234方向：方向：011441tgK5 例2 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑程度面上, 斜面上另放一质量为m的小三角

3、形柱体,求小三角形柱体滑究竟时,大三角形柱体的位移。解：解：1 选两物体组成的系统为研讨对象。选两物体组成的系统为研讨对象。2 受力分析，受力分析， , 0)(exF常量。xK程度方向动量守恒程度方向动量守恒，设大三角块的速度为 vravvv那么小三角块速度那么小三角块速度运动分析，动点：小三角块，运动分析，动点：小三角块， 动系：大三角块。动系：大三角块。小三角块相对大三角块速度为小三角块相对大三角块速度为 ，rv60)(axmvvM由程度方向动量守恒及初始静止；那么由程度方向动量守恒及初始静止；那么0)()( vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx，设大三角块的速度为 vravvv那

4、么小三角块速度那么小三角块速度 mmMvvrx小三角块相对大三角块速度为小三角块相对大三角块速度为 ，rvmmMSSrx位移之比：73、运动分析：、运动分析： 例3 流体流过弯管时， 在截面AB和CD处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可紧缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3。),m/s(,21vv解：解：研讨定常流动：研讨定常流动：1管内各点的速度、压强不随时间而改动；管内各点的速度、压强不随时间而改动；2流体的密度流体的密度常量；常量；3流量流量Q常量。常量。2、受力分析如图示。、受力分析如图示。1、取、取ABCD所包含的流体为研讨对象。所

5、包含的流体为研讨对象。经过经过dt时间后，流体由时间后，流体由ABCD运动到位置运动到位置abcd。t瞬时，液体柱瞬时，液体柱ABCDt+dt瞬时，液体柱瞬时，液体柱abcd8在在dt时间内，流体的动量的变化：时间内，流体的动量的变化：)()(abCDABababCDCDcdABCDabcdKKKKKKKdABabCDcdKKKd定常流动时，在每一瞬时，流速一样，公共部分定常流动时，在每一瞬时，流速一样，公共部分abCD中流速不变，中流速不变，密度密度、 Q又均为常量，所以动量坚持不变。又均为常量，所以动量坚持不变。 t+dt瞬时，液体柱abcdt瞬时，液体柱ABCD9由质点系动量定理；得由质

6、点系动量定理；得222 )(vQdtvmvmKCDcd111 )(vQdtvmvmKABab)( 12vvQdtKd)( 12vvQdtKdWPPNvvQdtKd2112)( )()(1221vvQPPWN全反力全反力静反力静反力 ， )(211PPWN)(122vvQN动反力动反力10计算动反力时，常采用投影方式：计算动反力时，常采用投影方式：)( 122xxxvvQN)( 122yyyvvQN与与 相反的力就是管壁上遭到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上遭到的流体作用的动压力2N)(122vvQN11定子质心加速度定子质心加速度a1=0，转子质心转子质心O2的加速度的加速度a2=e 2，

7、方向指向方向指向O1。例例4 电动机的外壳固定在程度根底上，定子的质量为电动机的外壳固定在程度根底上，定子的质量为m1, 转子转子质量为质量为m2 , 转子的轴经过定子的质心转子的轴经过定子的质心O1, 但由于制造误差但由于制造误差, 转子转子的质心的质心O2到到O1的间隔为的间隔为e 。求转子以角速度。求转子以角速度 作匀速转动时，作匀速转动时，根底作用在电动机底座上的约束反力。根底作用在电动机底座上的约束反力。解解: 1 取整个电动机作为质点系研讨，取整个电动机作为质点系研讨，2受力分析， 受力图如图示3 运动分析：2a12teateayx sin , cos22224 根据质心运动定理，

8、有:)(eixCixiFam: )(eiyCiyiFam ,cos22tegPNx可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e2xxNtemagPcos2222212222 sin PPNtegPagPyytegPPPNysin 22212at13求导得系统的质心加速度：求导得系统的质心加速度：212212211cosPPtePgPPgxPgxPxct方法二：研讨整个电动机，方法二：研讨整个电动机， 受力分析如图受力分析如图 运动分析：系统的质心坐标：系统的质心坐标：212212211sinPPtePgPPgyPgy

9、Pyc212222cosPPtePdtxdaccx212222sinPPtePdtydaccy144 根据质心运动定理，有:exCxFMa ,cos22tegPNxtegPPPNysin 2221t:eyCyFMaxcxNPPtePgPPagPP21222121cos2121222121sinPPNPPtePgPPagPPycy151617R1例例1 滑轮系统，在轮滑轮系统，在轮A上作用转矩上作用转矩M以提升以提升重物，设在图示瞬时重物上升的速度重物，设在图示瞬时重物上升的速度 ，知：，知：轮轮A 的质量为的质量为m1，半径，半径R1，对，对O轴的转动惯轴的转动惯量为量为J1 ；物体；物体C：

10、质量为：质量为m3 。求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。v11Rv解：解：1 研讨系统研讨系统2 速度分析：1111RvJJGAO13vRmGCO3 动量矩计算： 轮A：定轴转动重物：平动12131)(RvRmJGOCOAOOGGG转向：逆时针C1811RvB解：解：1 研讨系统研讨系统R1R2例例2 滑轮系统，在轮滑轮系统，在轮A上作用转矩上作用转矩M以提升以提升重物，设在图示瞬时轮重物，设在图示瞬时轮A 的角速度的角速度 ，知：，知：轮轮A 的质量为的质量为m1，半径，半径R1，对，对O轴的转动惯轴的转动惯量为量为J1 ；滑轮；滑轮B的质量为的质量为m2，半径，半径R2，对质，对质

11、心轴的转动惯量心轴的转动惯量J2 ， R1=2R2 ；物体；物体C：质：质量为量为m3 。求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。12 运动分析：11232121RvvvB滑轮作平面运动，瞬心在P点R1R2BvP1122221RRv12122RRC192vvC1213222112)(2RRmmJRRJGO11JGAO233RvmGCO3 动量矩计算：轮A：定轴转动22222222)(JRvmJvmmGOOBO重物：平动2332222211)(RvmRvmJJGOR1R2C滑轮：平面运动CCzzJvmmG)(1122221RRvvC22222)(RvmvmmO1212222RRJJJOCOBO

12、AOOGGGG转向：逆时针20例例3 均质圆盘，半径为均质圆盘，半径为r，质量为，质量为m ；杆长；杆长l ,质量不计质量不计,角速角速度度，求以下三种情况下盘对，求以下三种情况下盘对O轴的动量矩。轴的动量矩。1杆与圆盘固结在一同；杆与圆盘固结在一同；2杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；3行星轮机构，轮行星轮机构，轮O固结不动。固结不动。 1 2 3 21解：解：1杆与圆盘固结：杆与圆盘固结：盘作定轴转动盘作定轴转动转向：顺时针2杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；)2(21212222lrmmlmrJO)2(2122lrmJGOO圆盘的绝对角速度：

13、盘作平动，盘对盘作平动，盘对O轴的动量矩轴的动量矩0reaAACCOvmrvmrG2mllmvGAOlvA转向：顺时针Av223盘作平面运动，盘对O轴的动量矩)2(21212122lrmllmlrlmrlmvmrGAAOAvAlvArlrvAA转向：顺时针23三简单外形转动惯量的计算三简单外形转动惯量的计算2222121 mldxlmxJllz202 31 mldxlmxJlz解：解：1积分法积分法具有规那么几何外形的均匀刚体可采用具有规那么几何外形的均匀刚体可采用例4 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求 (1) 对z轴的转动惯量 ； (2) 对z 轴的转动惯量 。zJ zJ242.常用的均

14、质刚体的转动惯量的计算公式常用的均质刚体的转动惯量的计算公式1匀质细直杆长为l ,质量为M 。2121MlJz对质心z轴的转动惯量2 31MlJz对端点z 轴的转动惯量25420(2d)24ROAARJrr r222mRmRRmJiiz2 2均质薄圆环对中心轴的转动惯量均质薄圆环对中心轴的转动惯量2diiiAmr r3 3均质圆板对中心轴的转动惯量均质圆板对中心轴的转动惯量2AmR式中：式中：221mRJO即即26221MRJz对质心z轴的转动惯量252MRJJJzyx对质心z轴的转动惯量4匀质圆柱，半径为R,质量为M 。xzyRC5匀质实心球，半径为R,质量为M 。xzyCR27四四. 平行

15、移轴定理平行移轴定理2mdJJzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对经过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间间隔的平方之乘积。例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为22223141121)2(mlmlmllmJJzz刚体对经过质心轴的转动惯量具有最小值。刚体对经过质心轴的转动惯量具有最小值。28)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJdyyxxiiii , iiiiiiymddmyxm2 )()(222证明：设质量为M的刚体，质心为C，CzzO/ 0 , CiiiMyymMm2 MdJJzCz)(22dyxmJiiiz29当物体由几个规那么几

16、何外形的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 假设物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处置。五计算转动惯量的组合法五计算转动惯量的组合法盘杆OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解：解：例例5 钟摆：钟摆： 均质直杆质量均质直杆质量m1, 长长l ； 均质圆盘：质量均质圆盘：质量m2 , 半径半径R 。 求求 JO 。30六、实验法六、实验法思索：如下图复摆如何确定对转轴的转动惯量？思索：如下图复摆如何确定对转轴的转动惯量？将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O O上，作微幅摆动上，作

17、微幅摆动. .mglJT2由由lm,TJ其中其中 知知, , 可测得，从而求得可测得，从而求得 . .31Fdtvmd)(1 1 -3动量矩定理动量矩定理一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理两边叉乘矢径 , 有Frdtvmdr)(r所以左边可写成dtvmdrvmdtrdvmrdtd)()( , 0vmvvmdtrd由于O点为固定点，故有：vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(, )( FmFrO1 质点对固定点的动量定理质点对固定点的动量定理323 、运动分析：dtdmlldtdmlvmmO2)(方向如图。 , dtdlv4 、 由动量矩定理：)()(FmvmmdtdOOsin)()()

18、(mglgmmTmFmOOO解：解：1 、研讨小球：、研讨小球：(将小球视为质点将小球视为质点)。例例6 单摆知单摆知m，l，t =0时时= 0，从静止，从静止 开场释放。开场释放。 求单摆的运动规律。求单摆的运动规律。 , sin)(2mgldtdmldtd即0sin 22lgdtd2 、受力分析；受力图如图。33 , sin并代入初始条件)0, 0(00t摆动周期：glT20222dtd那么,2lg并令微幅摆动时，为二阶常系数齐次线性微分方程其微分方程的解,)sin( tlgA2 , 0A得：那么运动方程：)2sin( 0tlg：初位相。：角振幅； A：圆频率。 lg5 解方程：34注：计

19、算动量矩与力矩时，符号规定应一致此题规定逆时注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致此题规定逆时针转向为正针转向为正质点动量矩定理的运用：质点动量矩定理的运用：在质点受有心力的作用时。质点绕某点轴作曲线运动的问题。35O O), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 对质点系，有)()()(eOeiOOMFmdtGd那么：)(iiOvmmdtd 质点系对固定点的动量矩定理：质点系对固定点的动量矩定理：左边： 质点系对任一固定点的质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上一切外力对同一动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上一切外力对同

20、一点之矩的矢量和外力系的主矩。点之矩的矢量和外力系的主矩。OGdtd)(iiOvmmdtd36解解: 1 取整个系统为研讨对象，取整个系统为研讨对象，rQPQrrPMeO)()(OBAOJrvgQrvgPG)( , 2GQPgvrGrgGJOO得代入将例例7 半径为半径为r、重为、重为G的滑轮可绕定轴的滑轮可绕定轴O转动，转动，在滑轮上绕一绳子，其两端各系一重为在滑轮上绕一绳子，其两端各系一重为P和和Q的的重物重物A和和B，且，且PQ。设滑轮的质量均匀分布在。设滑轮的质量均匀分布在圆周上即视为圆环。圆周上即视为圆环。求：此两重物的加速度和滑轮的角加速度。求：此两重物的加速度和滑轮的角加速度。

21、2 受力分析如图示。3 运动分析：PQGOXOYAvBvrvvvBA374 由动量矩定理：rQPGQPgvrdtd)()(PQGOXOYAvBvgGQPQPdtdva)()(rgGQPQPra)()(AaBa注：滑轮的动量矩也可以直接计算，rvgGmrvmvrGO)(轮整个系统的动量矩：grvGQPrvgGrvgQrvgPGBAO结果同上。38 , 0)()(eOFmrvvmrvmABAA)(02vvA猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,例例8 知：猴子知：猴子A与猴子与猴子B分量一样，猴分量一样，猴B以相对绳的速度以相对绳的速度上爬，猴上爬，猴A相对绳不动，问当猴相对绳不动，问当猴B向上爬时，

22、猴向上爬时，猴A将如何动？将如何动？动的速度多大？轮重不计动的速度多大？轮重不计v系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。解解: 1 研讨整个系统，研讨整个系统，2 受力分析。3 运动分析：ABavvvvAv设猴A与绳的速度为猴B向上的绝对速度evvBavv2v均为 。39知：物理摆复摆，知：物理摆复摆， 。求：微小摆动的周期。求：微小摆动的周期。aJmO, 例例994022dsindOJmgat 解：解：sin微小摆动时，微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：即：)sin(tJmgaOO通解为通解为 称角振幅，称角振幅， 称初相位，由初始条件确定称初相位，由初始条件确定. .

23、OmgaJTO2周期周期XOYO41例例10滚筒重为滚筒重为 、半径为、半径为r，对转轴的回转半径为，对转轴的回转半径为 ，斜面的，斜面的倾角为倾角为 ，被提升的重物重为，被提升的重物重为P，重物与斜面间的摩擦系数为，重物与斜面间的摩擦系数为f，不计钢丝绳分量，假设电机传到滚筒上的转矩为不计钢丝绳分量，假设电机传到滚筒上的转矩为M，求：重物的加速度。求：重物的加速度。 FPTasingP :xPMr由运动学关系：Q解：1 研讨：重物，2 研讨：滚筒rTMJMJO : )F( 受力如图cos0 :yPN fNF cossingP fPPTara 2J gQgrQPfPrM2)()cos(sina PFTTMOXOYNaxyQ42例例11 提升安装中，轮提升安装中，轮A、B的分量分别为的分量分别为P1 、 P2 ,半径分别半径分别为为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘可视为均质圆盘; 物体物体C 的重的重量为量为P3 ; 轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物体物体C上升的加速度。上升的加速度。2取轮B连同物体C为研讨对象：(2) )21(232232222rPrTvrgPrgPdtd(1) 21111211TrMrgP解解: 1取轮取轮A为研讨对象：为研讨对象：由定轴转动微分方程： )F(111OMJ由对轴的动