初等数学§5-1角的概念的推广与弧度制ppt课件

1、5.1.1角的概念的推行与弧度角的概念的推行与弧度制制1、角的概念、角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形何图形. 这种概念的优点是笼统、直观、容易了这种概念的优点是笼统、直观、容易了解，但它是从图形外形来定义角，因此角的解，但它是从图形外形来定义角，因此角的范围是范围是0, 360)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘狭隘. 生活中很多实例会不在该范围。生活中很多实例会不在该范围。 体操运发动转体体操运发动转体720，跳水运发动向内、，跳水运发动向内、向外转体向外转体1

2、080； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0, 360) ，而且，而且方向不同，有必要将角的概念推行到恣意角，方向不同，有必要将角的概念推行到恣意角， 想想用什么方法才干推行到恣意角？想想用什么方法才干推行到恣意角？ 关键是用运动的观念来对待角的变化。关键是用运动的观念来对待角的变化。 2角的概念的推行角的概念的推行“旋转构成角旋转构成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点绕着它的端点O按逆时针方向按逆时针方向旋转到另一位置旋转到另一位置OB，就构成角，就构成角 旋转开场时的射线

3、旋转开场时的射线OA叫做叫做角角的始边，旋转终止的射线的始边，旋转终止的射线OB叫做角叫做角的终边，射线的端的终边，射线的端点点O叫做角叫做角的顶点的顶点“正角与正角与“负角、负角、“0角角 我们把按逆时针方向旋转所构成的角叫做我们把按逆时针方向旋转所构成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所构成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所构成的角叫做负角，如图，以负角，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也以为这时构成了一个角，并把这个角我们也以为这时构成了一个角，并把这个角叫做零度角叫做零度角0 角的

4、记法：角角的记法：角或可以简记成或可以简记成.角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义：用用“旋转定义角之后，角的范围大大地扩展旋转定义角之后，角的范围大大地扩展了了 角有正负之分角有正负之分; ; 如：如：=210=210, , = = 150150, , =660=660. . 角可以恣意大角可以恣意大; ; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2 2周周3603602=7202=720 3 3周周3603603=10803=1080 还有零角还有零角, , 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. . 角的概念推行以后，它包括恣意大小的正角的概念推行以后，它包括恣意大小的正角、负角和零角

5、角、负角和零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而构成的角叫零一条射线没有作任何旋转而构成的角叫零角。角。 用旋转来描画角，需求留意三个要素旋用旋转来描画角，需求留意三个要素旋转中心、旋转方向和旋转量转中心、旋转方向和旋转量 2旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的阅历，我们可以把一对意义相根据以往的阅历，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就反的量用

6、正负数来表示，那么许多问题就可以处理了；可以处理了；1旋转中心：作为角的顶点旋转中心：作为角的顶点.3旋转量：旋转量： 当旋转超越一周时，旋转量即超越当旋转超越一周时，旋转量即超越360，角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于是就会出现720 ， 540等角度等角度.3“象限角象限角 为了研讨方便，我们往往在平面直角坐标为了研讨方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角

7、的象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个象限象限 例如：例如：30、390、330是第是第象限角，象限角， 300、 60是第是第象限角，象限角， 585、1300是第是第象限角，象限角， 、2000是第是第象限角等象限角等3、(2)轴线角轴线角n当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，假设角的终边落在坐轴的非负半轴重合，假设角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。们称之为轴线角。4终边一样的角终边一样

8、的角 察看：察看：390，330角，它们的终边角，它们的终边都与都与30角的终边一样角的终边一样.探求：终边一样的角都可以表示成一个探求：终边一样的角都可以表示成一个0到到360的角与的角与k(kZ)个周角的和：个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5) 结论：结论： 一切与一切与终边一样的角连同终边一样的角连同在内可以在内可以构成一个集合：构成一个集合：| =+k360(kZ) 即：任何一个与角即：任何一个与角终边一样的角，都终边一样的角，都可以表示

9、成角可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和留意以下四点：留意以下四点： kZ； 是恣意角；是恣意角； k360与与之间是之间是“+号，如号，如k36030,应应看成看成k360+(30)； 终边一样的角不一定相等，但相等的角，终终边一样的角不一定相等，但相等的角，终边一定一样，终边一样的角有无数多个，它们边一定一样，终边一样的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍.象限角的表示象限角的表示Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk,222|第二第二象限象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三第三象限象限Zkkk,360270360180|Zkkk,

10、2232|第四第四象限象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223|Zkk,2|Zkk,2|Zkk,|Zkk,22|Zkk,232|Zkk,2|Zkk,2|Zkk,360|Zkk,180|Zkk,180360|Zkk,90360|Zkk,270360|Zkk,90180|Zkk,90|00000011不存在不存在不存在不存在-1-12121123232222333特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值例例1. 在在0到到360范围内，找出与以下各角终边范围内，找出与以下各角终边一样的角，并判别它是哪个象限的角一样的角，并判别它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3)

11、 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边一样，的角终边一样， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边一样，的角终边一样， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边一样，的角终边一样， 它是第二象限角它是第二象限角例例2. 写出与以下各角终边一样的角的集合写出与以下各角终边一样的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (k

12、Z) , S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角能锐角是第几象限的角？第一象限的角能否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐

13、角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角能够是零角或负角，故的角能够是零角或负角，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 2知角的顶点与坐标系原点重合，始边落知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在在x轴的正半轴上，作出以下各角，并指出轴的正半轴上，作出以下各角，并指出它们是哪个象限的角？它们是哪个象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (

14、3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、知、知,角的终边一样，那么角的终边一样，那么的终边在的终边在 A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是、终边与坐标轴重合的角的集合是 A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C5 、知角、知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三

15、象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、假设、假设是第四象限角，那么是第四象限角，那么180是是 A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C7、在直角坐标系中，假设、在直角坐标系中，假设与与终边相互垂直，终边相互垂直，那么那么与与之间的关系是之间的关系是 A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD8、假设、假设90，那么，那么的范围是的范围是_，+的范围是的范围是_;(0,45)(180,270)9、假设、假设的终边与的终边与60角的终边一样，那么在角的终

16、边一样，那么在0,360范围内，终边与角范围内，终边与角 的终边一样的角的终边一样的角为为_;3解：解：=k360+60，kZ.所以所以 =k120+20， kZ.3当当k=0时，得角为时，得角为20，当当k=1时，得角为时，得角为140，当当k=2时，得角为时，得角为260.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的分量可以用千克、的单位度量，物体的分量可以用千克、磅等不同的单位度量磅等不同的单位度量. .不同的单位制能给不同的单位制能给处理问题带来方便，以度为单位度量角处理问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研的大小是一

17、种常用方法，为了进一步研讨的需求，我们还需建立一个度量角的讨的需求，我们还需建立一个度量角的单位制单位制. .探求探求1 1：弧度的概念：弧度的概念思索思索1 1：在平面几何中，：在平面几何中，1 1的角是怎样定的角是怎样定义的？义的？ 将圆周分成将圆周分成360360等份，每一段圆弧所等份，每一段圆弧所对的圆心角就是对的圆心角就是1 1的角的角. . 思索思索2 2：在半径为：在半径为r r的圆中，圆心角的圆中，圆心角n n所所对的圆弧长如何计算？对的圆弧长如何计算？ nrl3602思索思索3 3：如图，把长度等于半径长的圆弧：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1

18、1弧度的角，记作弧度的角，记作1rad1rad，读作读作1 1弧度弧度. . 那么，那么，1 1弧度圆心角的大小弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小能否有关？为什与所在圆的半径的大小能否有关？为什么？么？O OA AB B1 11 11rad1rad思索思索4 4：商定：正角的弧度数为正数，负：商定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数角的弧度数为负数，零角的弧度数为为0.0.假设将半径为假设将半径为r r圆的一条圆的一条半径半径OAOA，绕圆心顺时针旋转到，绕圆心顺时针旋转到OBOB，假设弧，假设弧ABAB长为长为2r2r，那么，那么AOBAOB的大小为多少弧度？的大小为多少

19、弧度？2 rad2 radB2rOAr思索思索5 5：半径为：半径为r r的圆的圆心与原点重合，的圆的圆心与原点重合，角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合，交圆于轴的非负半轴重合，交圆于点点A A，终边与圆交于点，终边与圆交于点B B，下表中，下表中AOBAOB的的弧度数分别是多少？弧度数分别是多少？ 见书本第页探求见书本第页探求思索思索6 6：假设半径为：假设半径为r r的圆的圆心角的圆的圆心角所所对的弧长为对的弧长为l l，那么，角，那么，角的弧度数的绝的弧度数的绝对值如何计算？对值如何计算？ lr探求二：度与弧度的换算探求二：度与弧度的换算 思索思索1 1：一个圆周角以度为单位度量

20、是多少：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？得度与弧度有怎样的换算关系？ 思索思索2 2：根据上述关系，：根据上述关系，1 1等于多少弧度？等于多少弧度？1rad1rad等于多少度？等于多少度？ 010.01745180radrad0001 8 015 7 .3 05 7 1 8ra d)(2360rad)(180rad5、弧度制、弧度制1、1弧度的角弧度的角3、换算公式、换算公式2、弧长公式、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度

21、的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？弧度吗？为什么？RlRllR lRRS21212扇形radrad01745. 01801185730.571rad演示演示6、弧度数n普通地，正角的弧度数是一个正数，负角普通地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；n角的概念推行后，无论是用角度制还是用角的概念推行后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数弧度制，都能在角的集合与实数R之间建之间建立一种一一对应的关系。立一种一一对应的关系。n用弧度制

22、表示角时，不能与角度制混用。用弧度制表示角时，不能与角度制混用。思索思索3 3：根据度与弧度的换算关系，下表：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？中各特殊角对应的弧度数分别是多少？ 今后用弧度制表示角时，今后用弧度制表示角时，“弧度二字或弧度二字或“radrad通常略去不写，而只写该角所对通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数应的弧度数. .如如=2=2表示表示是是2rad2rad的角的角. .思索思索4 4：在弧度制下，角的集合与实数集：在弧度制下，角的集合与实数集R R之间可以建立一个一一对应关系，这个之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何了解的？对应关系是如何了解的？ 0 06432324365232思索思索5 5：知