重要的连续型分布ppt课件

1、2 2 重要的连续型分布重要的连续型分布(一)连续型均匀分布1axb(x)ba0当其它2ab1ED(ba)212 (二)指数分布xex0(x)0当其它0, 其中称 服从参数为 的指数分布。x0(x)dxedx1x0Ex edx 122x0Exedx 222221D 故210F(x)x0- x当x0时分布函数为1-e当时(0ab)对任何实数a,bP(ab)F(b)F(a) bxaedxabee指数分布常用来作为各种“寿命分布的近似。如：随机服务系统中的服务时间。产品的寿命有时称为失效率。产品在t时间(t0)失效的概率为P(t)F(t) t1 e 而产品的可靠度为R(t)P(t) 1F(t)te1

2、(1000)310001 某元件寿命服从参数为小时 的指数分布。个这样的元件使用小时后，都没有损坏的例概率是多少？参数为 的指数分布的分解：布函数为x1000F(x)1 e(x0) P(1000)1P(1000) 11 F(1000)e 各元件寿命相互独立3个元件使用1000小时后都未损坏的概率为e-30.05()三分布r0关于 函数的复习：时r 1x0(r)xe dx22r 1t02tedt它有性质：(r1)r (r) 特别地(n1)n! (1)n！1x201xe dx22t02edtrr 1xxex0(x)(r)0 x0 0,r0 其中( ,r) 称 服从 分布，记作rr 1x0(x)dx

3、xedx(r)r 1t01te dt(r)xt 1(r)(r)1r因此， ， 是两个参数rr 1x0Exxedx(r) xt rt01t e dt(r)1(r1)(r)rr22r 1x0Exxedx(r) xt r 1t201te dt(r) 21(r2)(r) 2(r1)r22(r1)rrD 2r分布在概率论、数理统计等方面有很多应用。当r=1时，xex0(x)0 x0即为指数分布。当r为正整数时，rr 1xxex0(x)(r1)!0 x0这是排队论中常用的爱尔朗分布n1r,n22当是正整数， 时nx122n21xex0n(x)220 x02n(n)2这是具有 个自由度的一分布，记作1nii

4、1n1n1r.r +.+r 定理如果 ，.，相互独立，且 服从参数为 ，的 分布(i=1,.,n)，则服从参数为 ，的 分布。22112212212121(n ),(n ),(nn ) 推论若与相互独立，则(四)正态分布22(x)21(x)e20 其中 ， 为常数，且2N( ,) 称 服从正态分布，记作这是最重要、最常见的分布。许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，普通可以认为服从正态分布。例如人的身高、零件长度，考试成绩等。特点为“中间大，两头小”。22(x)21(x)dxedx2xt22t1edt122(x)2xEedx2 xt22t1(2 t)edt22tt2edttedt0 2D(x

5、E )(x)dx 22(x)221(x)edx2xt2222t2t edt222t022t edt223222112222 01当 ， 时2x21(x)e2记作0(x)N(0,1)称为标准正态分布，记作0(x)除具有概率密度的性质之外，还有如下性质：0(1)(x)具有各阶导数00(2)( x)(x) 0(3) (x)在x=0左右分别单调上升和单调下降01x0(x)0.39892在达到最大值：0(4) (x)在x=1处有两个拐点。0 x(5)lim(x)=00(x)的大致图形为对于任给的x值，0可以利用标准正态分布的概率密度函数表查出(x)的值。样表如下：-110 x0(x)2x0.000.03

6、0.040.050.080.090.00.39890.39880.39860.39840.39770.39730.10.39700.39560.39510.39450.39250.3918.1.50.12950.12380.12190.12000.11450.11271.60.11090.10570.10400.10230.097280.09566.3.00.0 4432222222222225555550.0 40490.0 39280.0 38100.0 34750.0 33703.10.0 32670.0 29750.0 28840.0 27940.0 25410.0 2461.4.90

7、.0 24390.0 21050.0 20030.0 19070.0 16430.0 156300000N(0,1),(1.63)(0.18),( 3),(27),(0) 已例知查表求出0(1.63)0.1057解：0(0.18)0.392500( 3)(3)0.004432 0(7)00(0)0.3989标准正态分布的分布函数为2txx201F(x)(t)dtedt20(x)一般记为其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表查出。样表如下：x0.000.010.040.050.060.080.00.50000.50400.51600.51990.52390.5319.1.60.945200.9

8、46300.949500.950530.951540.953521.70.955430.956370.959070.959940.960800.962461.80.964070.964850.967210.967840.968560.96922222222222266666951.90.971280.971930.973810.974410.975000.97615.2.50.9 37900.9 39630.9 44570.9 46140.9 47660.9 50602.60.9 53390.9 54730.9 58550.9 59750.9 60930.9 6319.4.90.9 52080

9、.9 54460.9 60940.9 62890.9 64750.69 6821对小于零的x，由下图0( x)P(x) P(x) 1 P(x) 01(x) 可以间接查表求出-xxtN(0,1),P(1.96),P(1.96),P(| 1.96),P( 1.62.5),P(5.93) 例已知求0P(1.96)(1.96)0.975 解：0P(1.96)( 1.96) 01(1.96) =0.025P(| 1.96)P( 1.961.96) 00(1.96)( 1.96) 02(1.96) 1 =0.9500P( 1.62.5)(2.5)( 1.6) 00(2.5)(1(1.6) =0.99379

10、-(1-0.94520) =0.938990P(5.9)(5.9)1 N(0,1),概括起来，如果则00(x)x0P(x)0.5x01( x)x0 0P(| x)2(x) 1(x0) 00P(ab)(b)(a) x50当时，(x) 1x5 0当时，(x) 0一般正态分布的概率密度的图形为其分布函数22(t)xx21F(x)(t)dtedt2(x)一般记为ux02222N( ,),abN(ab,a),(a0) 定理若则记 a +证：b,可以求出1xb(x)|a |a221x ba211e|a |2 2221x (ab)2a1e2 |a |22故 是参数为a +b,a的正态分布22N( ,),N(

11、0,1) 推论若则,b 1在定证：理中取a=即可。203N( ,),(1)1x(2) (x) 0定理若则x-(x)=x (1) (x)=P(证：)xP0 x (2)在(1)两边对x求导即得。这样可利用标准正态分布计算一般正态分布。2N(6,2 ),P(10)4 设求及P(4例8)6106P(10)P22 解：6P220(2) =0.97725P(48)P(|6| 2) 6P1202(1) 1 2 0.8413 1=0.68262N( ,),P(5)0.045,P(3),50.618 例设求 及5 -P(-5)=：P解05 =0.04500551 =0.9553P(3)P 03 =0.61851

12、.730.3 查表可得1.84求解得， 224N(0,1),(1)定理若则2x21(x)e2证：2, 已求出，x0时1(x)xx2 xxx22111ee2 x22x211e2x121x12212xe12x0(x)0时，1,2 21故 服从r=的 分布222(1)即由定理证：4，可知22i(1)i1,.,n1再由推论2221n.(n) 1ni2221n5.N(0,1),(i1,.,n),.(n)定理若 ，相互独立，且则( , ) 若二元连续型随机变量的联合概率密度为22112222212121(x)(x)(y) (y)22(1 p)2121(x,y)e21 121212,0,0,| 1 其中, 均为常数，, 称()服从二元正态分布1 可以验证(x,y)dxdy221122N(,)N(,) 定理6 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。通过计算可求出12cov( , ) 故 与 的相关系数为0一般来说， 不能保证 与 独立但对二元正态分布例外。此结论