重积分高等数学ppt课件

1、主讲：主讲：汪强汪强注意上课听讲！注意上课听讲！重 积 分 第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:

2、 连续曲面连续曲面侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱轴的柱面面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk那么中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1k

3、nknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 ,那么M假设),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 处置.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(

4、max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yx两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积

5、, ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:假如 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf

6、定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 那么若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 那么 ),(2121

7、无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那么Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(

8、fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因而机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 判断积分判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为分积分

9、域为,321DDD那么原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyo D8. 设函数设函数),(yxfD

10、 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,那么那么有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为

11、DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆

12、柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd

13、11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 那么那么,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 计算计算.dd)(sin2200yxyx

14、I解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 证明证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解: 利用题中利用题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页

15、 下页 返回 完毕 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业5 . 04 . 0I备用题备用题1. 估计估计 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 220yx 0)ln(22 yx2. 判断判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 y

16、x于是2)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三重积分 第九章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀内分布着某种不均匀的的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页

17、下页 返回 完毕 定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用

18、直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzy

19、xfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyy

20、xyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后

21、二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz21

22、0d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyz例例2. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200s

23、inyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 如下图, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其中为由例例3. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:co

24、s202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 o oxyz例例4. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为

25、就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo如下图, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5

26、. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin

27、20d4yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42,

28、 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 设设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zoxy23. 设设由锥面由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyx

29、zyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 1. 计计算算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 则有则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁! 采用“三次积分较好.1zxy1o1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :4528 1122yzx221

30、1xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所围, 故可 考虑考虑: 若被积函数为若被积函数为 f ( y ) 时时, 如何计算简便如何计算简便? 表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节第二节

31、 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出二、利用直角坐标计算二重积分 二重

32、积分仅与被积函数及积分域有关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型区域的特点：型区域的特点：a a、平行于、平行于y y轴且穿过轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b b、).()(21xx（1X-型域（2Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y Y型区域的特点：型区域的特点：a a、穿过区域且平行、穿过区域且平行于于x x轴的直线与区域边界的交点不多于两轴

33、的直线与区域边界的交点不多于两个。个。b b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy 2、X-型域下二重积分型域下二重积分的计算的计算: 由几何意义，假设由几何意义，假设 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：DVdxdyyxf),(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)0),(yxf那那么么yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 dy.yf(xd

34、xba(x)(x)21 注注: 假设假设 (x,y)0 仍然适用仍然适用。注意注意: 1: 1上式说明上式说明: : 二重积分可化为二次二重积分可化为二次定积分计算定积分计算; ;2 2积分次序积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3积分限确定法积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为为方便，上式也常记为：3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB 于是于是 Ddcyydyyxfdyxf ),()

35、,()()(21面面积积为为：为为曲曲边边梯梯形形，常常数数截截立立体体，其其截截面面也也用用y y 知知的的立立体体体体积积. .亦亦为为平平行行截截面面面面积积为为已已 1积分次序积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2积分限确定法积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, 须用平行于须用平行于X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意: 注意：二重积分转化为二次定积分时，注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练一定要做到熟练、准确。、准确。4 4、利用直系计算二重

36、积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1画出积分区域的图形画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3确定积分限，化为二次定积分；确定积分限，化为二次定积分；（2根据积分域类型根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果.例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1(,)0 ,0(22 yxxy2xy 2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx

37、)( 1022dxxxxxx)(21)(42102 .140332xy 2yx Y型型yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 D例例2 2解：解：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例3解：解： （如图将（如图将D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyy

38、yydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy)(yx后后先先5、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型， 又是又是Y型型, 则有则有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),( dcyydyfdx)()(21 例例 4 4 改改变变积积分分 yydxyxfdydxyxfdy20303110),(),(的的积积分分次次序序. xxdyyxfdx32120),(. 解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231

39、yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,31xyxx 321,20原式原式例例 5 5 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序. axy2 解解：= ayaaaydxyxfdy02222),( 原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxy

40、dxdyyxdx.1511 例例 7 7 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型X型型7.小结三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积

41、分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrr

42、rffdxdyyxf 1 直系与极系下的二重积分关系如图）iiiiirrr 2221)(21i（1面积元素变换为极系下：面积元素变换为极系下：（2二重积分转换公式二重积分转换公式：.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos2 极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾

43、角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1区域如图区域如图1, ).()(21 r具体地如图）具体地如图）图图1（2区域如图区域如图2, ).()(21 r.)sin,

44、cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3区域如图区域如图3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4区域如图区域如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 R 的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解在在极极坐坐标标系系下下D：Rr 0， 20. dxdyeDy

45、x 22 Rrrdred0202 ).1(2Re 20)1(212deR例例2 2 求求广广义义积积分分 02dxex. 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当

46、R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所所求求广广义义积积分分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 3 3 求求双双纽纽线线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33

47、(2 a解解)0,( yx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r，0：在极系下在极系下：（如图（如图）.)(2)( 4例2222222所围成图形的面积和求双纽线ayxyxayxcos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a例例 5 5 写出积分写出积分 21110),(xxdyyxfdx的极坐标二的极坐标二次积分形式次积分形式 1 yx122 yx解解如如图图

48、：在在极极坐坐标标系系下下 sincosryrx圆圆方方程程为为 1 r, 直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd20 计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，看其先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二

49、重积分为二次积分其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和类型根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层积分由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。计算时，外层积分变量看做常量。四、小结一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 重积分的应用 第九章 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具

50、有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在

51、 xoy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D ),(000zyx在点Drrrdd2例例1. 求曲面求曲面rr dd10320机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xoyza2例例2. 2. 求半径为求半径为a a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20a

52、r 0200dsin20drrvdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 完毕 MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)那么Mnd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),(

53、 , ),(zyDzyzygx则有zyD即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF那么则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为,:222RyxD那么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .机动

54、目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐标方程利用直角坐标方程. (见书见书 P109)方法方法1 利用球坐标方程利用球坐标方程.axyzoddsina机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(z

55、yx有连续密度函数那么 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得

56、形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4例例5. 求位于两圆求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而DyxyA

57、ydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Vzyxzzddd例例6. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，,0 yx采用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因而故自重, 求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页

58、返回 完毕 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 完毕 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 类似可得