重积分三重积分的计算ppt课件

1、第三节第三节 三重积分的计算方法三重积分的计算方法第三节第三节 三重积分的计算法三重积分的计算法一一.在直角坐标系中的计算法在直角坐标系中的计算法化成三次积分仿照二重积分研究其计算方法:dxdydzdv dxdydzzyxfdvzyxf),(),(在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成n 份(大部分是小长方体),可知:体积元素zxyD1.设积分区域 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.D为 在 xoy 面上的投影域.上下曲面为:),(),(21yxzzyxzz Dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),

2、(21),(),(若D是X型域),(),()()(2121),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydx先对z后对y再对x的三次积分同理,可将 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺序的三次积分: Dxzyxzydzdxdyzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),( Dzyxzyxdydzdxzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(2.设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多于 两点.可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算. 例1 计算xdxdydz解yxzxyx210 ,210 , 10:其中 由三个坐标面及12zyx围成48

3、1将 向 xoy 面作投影,那么yxxxdzdydxxdxdydz2102101021010)21 (xdyyxxdx1032)2(41dxxxx计算三重积分时也要注意积分次序的选择计算三重积分时也要注意积分次序的选择 例2 计算zdxdydz其中 由 及422zyxz围成zdxdydz, 4,44, 22:2222zyxxyxx444222222yxxxzdzdydx3644计算过程繁琐能否把极坐标结合到空间坐标系内能否把极坐标结合到空间坐标系内?柱面坐标系二二.在柱面坐标系中的计算法在柱面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P 的极坐标为),(r那么 称为点M

4、 的柱面坐标.),(zrzxyMPr变化范围.,20 ,0zr坐标面r常数z常数常数以 z 轴为轴的圆柱面过 z 轴的半平面平行于xoy面的平面与直角坐标的关系zzryrxsincos体积元素dzrdrddv这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体,近似看作长方体,那么:dzrdrdzrrfdvzyxf),sin,cos(),(化成三次积分 前面例2 计算zdxdydz其中 由 及422zyxz围成dzzrdrdzdxdydz20 , 20 , 4:2rzr420202rzdzrdrd3644三三. 在球面坐标系中的计算法在球面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z)可用下列三

5、个数确定:那么 称为点M 的球面坐标.),(r变化范围0 ,20 ,0r与直角坐标的关系cossinsincossinrzryrx(1).点M与原点的距离 r ;(2). 与 z轴正向的夹角 ;OMOM(3). 在xoy面上的投影向量与z 轴的夹角 .zxyMPr体积元素ddrdrdvsin2这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为如图小立体,近似看作长方体,那么:ddrdrrrrfdvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2化成三次积分坐标面r常数常数常数以原点为心的球面过z轴的半平面以原点为顶点,以 为半顶角的圆锥面. 例3 计算dvz2其中 由2222Rzyx

6、围成.,0 ,0 ,20:Rr Rdrrrdddvz022220202sincos02205sincos5ddR5154R,0 ,40 ,20:Rr Rdrrrdddvx0222240202sinsincos)122532(515R 例4 计算dvx2其中 由222yxRz围成.22yxz与dvzyxf),(例5.选择适当的坐标系,将 化成三次积分. 由半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面围成a2a,cos20 ,0 ,20:ar dvzyxf),(cos202020sin)cos,sinsin,cossin(adrrrrrfdd注注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键选择合适的坐标系是计

7、算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系.)(222zyxf(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;)(22yxf题型解析2222.)(1lim)(. 122240tzyxrdxdydzzyxftuf具有连续导数，求设.0)0(,0)0(),0( )(lim4)(4limd)(22limd)(dsind1limd)(1lim03200040200202040222402222fffttftttftrrrfrrrfrVzyxfttttttttzyxt解.54ddcossin6dcosdsind3