求极值的方法与技巧

1、求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。一、求解无条件极值的常用方法1 利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件)设函数z=f(x y)在点(xo .yo)的某邻域内连续且有一阶及二阶连 续偏导数.又 fx(xo yo)=O fy(xo yo) =0 .令fxx(xo yo)=A .fXy(xo yo)=B .fyy(xo yo)=C则f (x y)在 (xo yo)处是否取得极值的条件如下：(1) AC-B2&g

2、t;O时具有极值.且当A<O时有极大值.当A>O时有极小值；(2) AC-B2<O时没有极值；(3) AC-B2=O时可能有极值.也可能没有极值。极值的求法：第一步 解方程组fx(x.y)=O fy(x y)=O.求得一切实数解.即可得一切驻点。第二步 对于每一个驻点(xo . yo).求出二阶偏导数的值 A、B和Co第三步 定出AC-B2的符号.按定理1的结论判定f(xo yo)是否是极值、是极 大值还是极小值。应注意的几个问题：对于二元函数z=f(x.y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法，但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；AC-B2=O时可能有极值.

3、也可能没有极值，还需另作讨论；如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值 点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。例1求函数z =(x2 y2)e" y2)的极值。空=2x(1 _x2 一 y2)e，x 卡)=o 解令沃彳=2y(仁x2y2)e'x y) =0 .:y得驻点(0,0)及x2 y2 =1.又由耸:x2 2 2 2-y2)e4x2y2)-2:z.x ；:y=-4xy(2 -x2 -y2)e"F-2z2222二2(1 -x2 -3y2) -4y2(1 -x2 -:y-y2)e4x2 y2)-2“ c zA 2x-2=2, B z

4、(0,0): x：y=0,(0,0)-2C : zC =2：-y=2(0,0)：-B2 - AC - -4 ：0, A 0故f(0,0) =0为极小值。由于A2z.:x2x2-_4x2e,y2=-4xye4,=3-2:z-2yx2-4y2eJy2 m珂2(1 - y -3x ) -4x (1 -x=B2 - AC =0 ,此时有通常的方法无法判定。pl 令 x2y2 = t(t _ 0)，则 z = te，由一二 e(1 -1) = 0dt得驻点t =1.y二1上取极-(t -2)e4故z二te°在t =1处取极大值，即函数(x2 y2)e4x y)在圆周x2大值z二e 42 对于三

5、元及更多元的函数定理 1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三 元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。定义1设n元函数f(X)二f (为，X2,|( Xn)在X =(为皿,|( ,Xn)T R“的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。记灯£以)兰,兰凶,山,空 , Vf(X)称为I 次1泳 2CXn j函数f (X)在点X =(Xi,X2,|(,Xn)T处的梯度。定义2满足I f(Xo)=O的点Xo称为函数f(X)的驻点定义3 H (X)二Yf(X)2:f(X)：X22:f(X):X1;:X2III2:f(X):Xv:Xn2:f(X)：xn2:f(X).Xn . x2II

6、I2:f(X)亠2Xn显然H(X)是由f(X)称为函数f (X)= f (Xi,X2,|l(Xn)在点X Rn处的黑塞矩阵的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵。定理2(极值存在的必要条件)设函数f (X)在点Xo =(X；, x；,| 1| ,力)丁处存在一阶 偏导数，且Xo为该函数的极值点，贝U f(X°)=O。定理3(极值的充分条件)设函数f(X)在点Xo，Rn的某个邻域内具有一阶、二阶 连续偏导数，且可(Xo)=弐=oexcx2cXn 丿f(Xo)为f(X)的极小值f(Xo)为f(X)的极大值f(Xo)不是f(X)的极值。则当H(Xo)为正定矩阵时,当H(Xo)为负定矩阵时,

7、当H(Xo)为不定矩阵时, 应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法 ，但也有一定 的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的 ，若条件不满足，那结论 就不一定成立例1 求三兀函数f (x, y,x2 2y2 3z2 2x 4y - 6z的极值。解先求驻点，由'fx =2x+ 2= 0fy =4y 4二 0 得 x - -1,y - -1,z =1Jz =6z- 6= 0所以驻点为P0(_1,_1,1)。再求(Hessia n黑塞矩阵因为 fxx =2, fxy =0, fxz =0, fyy =4, fyz = 0, fzz = 62 0 0所

8、以H = 0 40，可知H是正定的，所以f(x,y,z)在P°(-1,-1,1)点取得极小卫 0 6一值：f(_1,_1,1)6.当然，此题也可用初等方法f (x, y, zH(x 1)2 2(y 1)2 3(z -1)2 -6求得极小值-6，结果一样。二、求解条件极值的常用方法1 代入法化为无条件极值问题从一道错误的例题谈条件极值的代入法 （这里全文引用）同济大学出版的教材（高等数学（第二版下）.上海：同济大学出版社，1998.8）在介 绍条件极值时举了这样的一道例题：“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产x 单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的

9、总成本是 C（x, yx2 2y2 5xy 700。若公司的生产任务是500个单位产品，问如何分配 任务才能使总成本最小？解:根据题意，是求函数C（x, yx2 2y2 5xy 700在在条件x y = 500下的极值。作辅助函数 F（x, yx2 2y2 5xy 70 ' （x 500）Fx = 2x 5y =0I x令Fy =4y 5x =0 ,解得x =125, y =375 ,所以根据题意知,当第一个工厂生x + y = 500产125个单位产品、第二个工厂生产 375个单位产品时总成本最小。”上述解法,粗看起来好象没有什么毛病，但却是经不起推敲的。简单的验证可知， 本例求出的

10、总成本为C( 1 2 5 , 3 7 5 ),5但却不是最小，譬如C( 5 0 0 , 0 )2,就比求得的“最小值”小了一半还要多！事实上，点(125,375)不是最小值点，而是最大值点。究其原因，主要是解题方法选择不当造成的。我们 知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题，既可以用拉格朗日乘数法，也可以 用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦。对这个 问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答，只指出了用这种方法求出的极值 点是“可能的”极值点，“至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中 往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中，根据问题本身的性质

11、 却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下，采用代入法则可以有效地解决极值点的判定问题。本例中，由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定，因而采 用代入法求解就可以避免产生上述的错误。若令y =500 -x并代入目标函数C(x, yx2 - 2y2 5xy 700中，可得总成本C =2x 500 x 500700(0空x乞500)， 于是问题转化为求函数C =2x2，500x 500700 在区间0,500上的最小值。由-4x 500,可得惟一驻点x =125(显然是极大值点)，计算该驻点及两端点处的函数值,有 C(125)=531950C(0)=500700C(500)=250700比较即知

12、x=500是所求之最小值点，此时y=0。即把500个单位产品的生产任务 都分配给第一个工厂生产时总成本最小。应注意的几个问题：在讨论二元函数z = f( x, y)在约束条件g(x, y)= 0的极值问题时，如果由g( x, y)二0能解x (或)y就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了。 使用代入法时，减少了变量，给判别极值带来了方便，但有时在约束条件g（x, y） = 0中不易将x （或）y解出，使用这种方法就困难了。我们知道在求解约束条件比较简单的条件极值问题时 ，既可以用拉格朗日乘数 法,也可用代入法，但在用代入法求解时，如果不注意代入的条件，则可能导致不完 整甚至错误的解答

13、。例如 求u =x2 y2，z2在x2z2 =1条件下的极值。用代入法求解时,如果将忙4；：0z2 = x2 -1代入u = x y - 式 ,则得u = 2x2 y2 -1 ,通过求解方程组得 X =0, y =0，但将 x = 0 代入 X2 - Z2 =1 时，x2 y2 z2在x2-z2 =1条件下似乎无极值。但如果用拉格朗日乘数法，则可得到二个可能的极值点，分别为（1,0,0）与（-1,0,0）,且通过几何意义（乃是求原点到柱面 x2 -z2 =1的最短距离），不难得出（1,0,0）与（-1,0,0）都是极小值点，极小值都是1。原因是求u = x2 y2 z2在x2z2 =1条件下的

14、极值时,x的取值范围是 （v, -1 _ 1, ：），而将 z2 = x2 -1 代入 u = x2 y2 z2,求 u = 2x2 y2 -1 的极值时,x的取值范围已是（：，：）。2 更一般的方法是利用拉格朗日乘数法求解乘数法”所得到的点只是可能的极值点，到底是否是极值点以及其类型要依 据拉格朗日函数F的二阶微分的符号来判断.例 求函数u二xmynzP在条件x y a（m 0, n 0, p 0,a - 0）下的极值.分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法，是在实际解题中经常使用的.解 先求 v = In u 二 mln x n In y p In zm（x y za）

15、manapaim + n + p'm + n + p'm + n+p jFy = n ' = 0、y得驻点PFz 二 P ，=0zx y z _a = 0又由Fx2mnp2 , Fy22 , Fz22xyz妄无z 0二d2F(x,y,z)-dx2 弓 dy2 占 dz2xyz:0故P为v即u的极大值点，此时m n p m!n p m n p a(m n p)3 运用梯度法求条件极值2将梯度法用于求条件极值的问题。方程组n J严出皿2,川兀）飞血财（心川际）的解,就是所求极值问题的可能极Y（為,X2,川,xn） =0,（i =1,2,卄|,n-1）值点。例1.试求n个正数

16、，其和为定值I的条件下，什么时候乘积最大，并证明 1収哉川人（石X2川xn）n证 明：本题的实质是求y = f （论公2, |l（,xn） = XzlllXn在条件论 X2 III，Xn = l下的最大值问题。根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点X2川Xn-l)grad (X1X2人)二 grad(x1为X2川人=l 进一步求解得IX2X3 |忧，3 IllXn川 |）|,%2（）区4、1,1川"X1 XH ' Xn =l容易得到N = x2 =川二xn二丄，根据题意,则I 1,1,111,1是唯一的极大值点，也是最大值 nIn n n 丿点。所以，f （NM 川,

17、Xn） - 1,即 n 陋 |lXn - 丄（人 X2 III Xn）njn这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如：求Z二f （X, y）在条件"x,y) = O下的极值，只要列出方程组gradf(x,y)grad(x,y)再求出啓(x,y) = o相应的,x,y ,则其中(x,y)是可能的极值点.例2从斜边之长为I的一切直角三角形中，求最大周长的直角三角形。解：设两条直角边为x, y本题的实质是求f (x, y) = x y 丨在条件x 1 2 2 x (x 2z - f) z1 = 0 即5x2 ( 4 - 2f x(色f - 4zf- 4扌 0(1)这个关于x

18、的二次方程要有实数解，必须：2 2 2：=(4z-2f) -20(8z f -4zf-4)_0即f2 -4zf 9z2 -5 _0解关于f的二次不等式，得：2z ,5(1 z2)乞 f 乞 2z >5(1 z2) 1z 1显然,求函数f的极值，相当于求f 2z 、,.5(1 z2)1 乞 z 1(2) y2 = I2下的极值问题。根据本文定理，列出方程组：呼警十丁皿刨宀八丨2)X2 +y2 =丨2进一步求解得f22x，2y*容易解出x二y=丨_,所以，根据题意丨，丨是唯一的极大x y =l、2.2.2值点，因而也是最大值点。当两条直角边都为时，直角三角形的周长最大。V24 利用二次方程判别式的符号求某些条件极值例若x2 y2 z2 =1,试求f = x -2y - 2z的极值.1解因为y (x 2z - f)，代入x2 y2 z 1得或f 匚 2z - 5(仁 Z )-仁 z < 1(3)的极值.由得9z2-4fz f2-5 = 0这个关于z的二次方程要有实数解，必须 ： =16f2 - 36(f2 - 5) _0,即 9 - f2 _0解此关于f的二次不等式，得f <3.所以fmax =3,饰一 32 21把f =3代入得z =,再把f = 3 , z二代入(1),得x = -，最后把3 3