第六节事件的独立性ppt课件

1、概率统计 显然显然 : P( A | B ) =P ( A)这就是说，知事件这就是说，知事件B发生，并不影响事件发生，并不影响事件A 发生的发生的概率，这时称事件概率，这时称事件A、B独立。独立。引例引例1. 将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，A=第二次掷出第二次掷出6点点，设设: 第六节第六节 事件的独立性事件的独立性 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，有：独立时，有： P(AB)=P(A) P(B)P(AB)=P(B)P(A|B)用用 P(AB) =P(A) P(B)刻划独立性，比刻划独立性，比用用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(

2、B) 更好，它不受更好，它不受P(B) 0 或或 P(A) 0 的的制约。制约。B=第一次掷出第一次掷出6点点，概率统计 现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现 每每 次取一个，取两次，分别就不放回抽取与次取一个，取两次，分别就不放回抽取与放回抽取放回抽取 两种情况。两种情况。 设：设：A：第一次取到新球：第一次取到新球 (1) 不放回地取两次不放回地取两次 )()()(APABPABP引例引例2解：解：求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球 的概率。的概率。B：第二次取到新球：第二次取到新球534253 53

3、206 5 . 021 概率统计 (2) 有放回地取两次有放回地取两次设设 A, B是两个事件，假设具有等式：是两个事件，假设具有等式：)()()(BPAPABP 那么称那么称 A, B 为为 相互独立相互独立 的事件。的事件。注：由定义易证以下关于独立性的命题注：由定义易证以下关于独立性的命题定义定义1)()()(APABPABP 535353 53 )(BP 概率统计假设假设 A与与 B 相互独立相互独立证证:只证只证 其他自证其他自证相互独立相互独立与与 BA)()(ABAPBAP AAB 而而( )()P AP AB 由可减性由可减性与独立性与独立性所以：所以：,B与与AA与与,BBA

4、与与也相互独立。也相互独立。( )( ) ( )P AP A P B ( )( )P AP B( )(1( )P AP B 假假设设 ()0,()0P AP B 与与A, B互不相容互不相容不能同时成立。不能同时成立。相互独立相互独立,A B概率统计 设设 A, B, C 三个事件三个事件, 假设具有假设具有 如下等式：如下等式： )()()(BPAPABP那么称那么称 A , B , C 两两独立。两两独立。假设假设A , B , C 两两独立，两两独立，)()()()(CPBPAPABCP 不一定成立。不一定成立。定义定义2 (两两独立两两独立)注：注：满足成立条件上式才干成立？满足成立条

5、件上式才干成立？ 问题：问题：三个事件的三个事件的“相互独立的概念相互独立的概念)()()(CPBPBCP )()()(CPAPACP 概率统计 设设 A, B, C 是三个事件，假设具有等式：是三个事件，假设具有等式： )()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP那么称事件那么称事件 A, B, C 为相互独立的事件。为相互独立的事件。12,nA AA推行：设推行：设 是是 n 个事件个事件, 假设假设 对于恣意对于恣意121kiiin )1(nkk 恣意恣意定义定义 3注注 概率统计那么称那么称 为相互独立的事件。为相互

6、独立的事件。12,nA AA 相互独立与两两独立的关系：相互独立与两两独立的关系：两两独立两两独立 n 个事件任何两个彼此独立个事件任何两个彼此独立故相互独立故相互独立 两两独立两两独立, 反之那么不真反之那么不真1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP AP AP A 具有等式：具有等式：相互独立相互独立 n个事件恣意个事件恣意 k个个 都都 是独立的是独立的)(nk 1232 nCCCnnnnn它含有它含有个等式个等式概率统计 n 个独立事件和个独立事件和 的概率公式的概率公式:nAAA,21设事件设事件 相互独立相互独立, ,那么那么）nAAAP21(1)(121nAAA

7、P P(A1+An)()()(nAPAPAP211 也就是说，也就是说，n 个独立事件至少个独立事件至少有一个发生的概率等于有一个发生的概率等于1 减去减去各自对立事件概率的乘积各自对立事件概率的乘积.也相互独立也相互独立nAAA,21也相互独也相互独立立由由对对偶偶律律概率统计nAAA,21那么那么“ 至少有一个发生的概率为：至少有一个发生的概率为：121() ()()nP A P AP A发生的概率发生的概率,1npp nAAA,21假设设假设设 n n 个独立事件个独立事件分别为分别为: :类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生的概率为：至少有一个不发生的概率为：“1

8、2()nP AAA 121()1(1)(1)nnP AAApp + +121nPPP 概率统计可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于: P(A) = 4/52 = 1/13, 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A = 抽到抽到 K , B = 抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 问：事件问：事件A、B能否相互独立？能否相互独立？解：解：所以：所以：P(AB) = 2/52 = 1/26 ， P(B) = 26/52 = 1/2 设设 A, B是两事件是两事件, 且且P(A)0, 假设假设 A, B相互独相互独立立 那么：那么： ，反之亦然。

9、，反之亦然。)()(BPABP 注：注：在实践运用中在实践运用中, 往往根据问题的实践意义去判别往往根据问题的实践意义去判别两事件能否独立两事件能否独立. 根据两事件独立的定义根据两事件独立的定义,阐明事件阐明事件A、B是相互独立的是相互独立的定理：定理：例如：例如：概率统计此例也可以经过计算条件概率去得出相互独立的结论此例也可以经过计算条件概率去得出相互独立的结论: 如上例中：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张如上例中：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记：记： A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的那么那么 : 由于由于 P( A ) =1/13, P(A | B )=2

10、/26=1/13 可根据实践意义，由于可根据实践意义，由于“甲命中并不影响甲命中并不影响“乙命乙命中的概率，故以为中的概率，故以为A、B 独立独立 . 即一事件发生与即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率否并不影响另一事件发生的概率 例如：甲、乙两人向同一目的射击，例如：甲、乙两人向同一目的射击，记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B能否独立？能否独立？ 即：P( A) = P( A | B )，阐明事件A、B 独立。 概率统计AB即即: 假设假设A、B 互斥，且互斥，且 P(A)0, P(B)0,那么那么 A 与与 B 不独立不独立.而而 P(A) 0， P(B) 0故故

11、A、B不独立不独立(1) 由于：由于：P(AB) =0P(AB) P(A)P(B)即：即： 1如图的两个事件是独立的吗？如图的两个事件是独立的吗？ 2能否在样本空间能否在样本空间S 中找两个事件中找两个事件,它们既它们既 相互独立又互斥相互独立又互斥?它的反问它的反问题呢？题呢？例例1解：解：概率统计S2所要寻觅的这两个事件就是所要寻觅的这两个事件就是 S 和和 注注 意意:不难发现，不难发现， 与任何事件都独立与任何事件都独立. 反之，假设反之，假设 A与与 B 独立，且独立，且 P( A ) 0, P( B ) 0, 那么那么 A 、B 不互斥。不互斥。 s而：而： 与与 S 独立且互斥独

12、立且互斥 那么那么:所以所以:P( S ) = P( ) P( S ) = 0 概率统计(1) 设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且 P(A) 0, P(B) 0, 下面四个结论中，正确的选项是：下面四个结论中，正确的选项是： 独立与互斥的区别和联络的思索题独立与互斥的区别和联络的思索题:1. P(B|A) 0 2. P(A|B) = P(A)3. P(A|B) = 0 4. P(AB) = P(A) P(B)(2) 设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A) 0, P(B) 0, 下面四个结论中，正确的选项是：下面四个结论中，正确的选项是：1. P(B|A) 0 2. P(A|B) =

13、 P(A)3. P(A|B) = 0 4. P(AB) = P(A) P(B) 答案：答案：(1) 3 ; (2) 1, 2, 4概率统计 甲、乙、丙三台机床独立任务甲、乙、丙三台机床独立任务,由一个操作由一个操作者看管者看管, 某段时间内它们不需求操作者看管某段时间内它们不需求操作者看管的概率分别为的概率分别为 0.9, 0.8, 0.85求：求：(1) 没有没有 一台机床一台机床 不需求不需求 看管的概率看管的概率 (2) 至少至少 一台机床一台机床 需求需求 看管的概率看管的概率 (3) 至多至多 一台机床一台机床 不需求不需求 看管的概率看管的概率设设 A, B, C：分别表示甲，乙，

14、丙三台机床：分别表示甲，乙，丙三台机床 不需求看管不需求看管 由于：三台机床要不要照看是相互独立的由于：三台机床要不要照看是相互独立的例例 2解：解：概率统计(1)()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C (2)()()P ABCP ABC 388. 085. 08 . 09 . 01 (3) D: 至多只需一台机床不需求照看至多只需一台机床不需求照看)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPDP 059. 085. 02 . 01 . 015. 08 . 01 . 015. 02 . 09 . 0003. 0 甲甲,乙乙,丙三台丙三台机床不需求机床不需求看管的概率

15、看管的概率分别为分别为:0.9, 0.8, 0.85(10.9)(10.8)(10.85)0.003 1( ) ( ) ( )P A P B P C 1()P ABC 概率统计 三人独立地去破译一份密码，知各人能译出的三人独立地去破译一份密码，知各人能译出的 概率分别为概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？ 将三人编号为将三人编号为 1，2，3，记记 Ai = 第第 i 个人破译出密码个人破译出密码 i=1, 2, 3知知: P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4那么那么: P(A1

16、+A2+A3) )()()(1321APAPAP)(1321AAAP6 . 0534332541 所求为所求为: P(A1+A2+A3)由独立性由独立性例例3.解：解：1231 1()1()1()P AP AP A 概率统计 以下图是一个串并联电路表示图以下图是一个串并联电路表示图. A、B、C、D、 E、F、G、H 都是电路中的元件。都是电路中的元件。 它们下方它们下方 的数是它们各自正常任务的概率。的数是它们各自正常任务的概率。 ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 00.7070. 075. 075. 0例例4.求：电路正常任务的概率。求：电路正常任务的概率。概率统计P(

17、W)= P(A) P(B) P(C+D+E) P(F+G) P(H) 将电路正常任务记为将电路正常任务记为 W，由于各元件独立工，由于各元件独立工 作，故有：作，故有：其中其中:1( ) () ()0.973P C P D P E P(C+D+E)=1() ( )0.9375P F P G P(F+G)=()0.783P W 代入得：代入得：解：解：ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 00.7070. 075. 075. 0概率统计设有电设有电路图路图开关电路中开关开关电路中开关 a,b,c,d a,b,c,d 开或关的概率都是开或关的概率都是 0.5, 0.5,且各开关能否封锁是相互独立的。且各开关能否封锁是相互独立的。求：灯亮的概率以及假设已见灯亮，开关求：灯亮的概率以及假设已见灯亮，开关 a, b同时同时关关 闭的概率。闭的概率。设设 A, B, C