电磁波与电磁场——第一章ppt课件

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 主主 要要 内内 容容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场无散场和无旋场 5. 格林定理格林定理 6. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 标量：仅具有大小特征的量称为标量 矢量：不仅具有大小而且有方向特征的量称为矢量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。 矢量的的几何表示：一条有向线段1-1 1-1 标量场的方

2、向导数与梯度标量场的方向导数与梯度 矢量的大小或模： 矢量的代数表示： 矢量的单位矢量：模为1的矢量 标量的空间分布构成标量场，矢量的空间分布构成矢量场 常矢量常矢）：矢量的大小及方向均与空间坐标无关 留意：单位矢量不一定是常矢量。1-2 矢量的代数运算 矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时 矢量加法：平行四边形法则 矢量减法：三角形法则 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 矢量的加法运算，结合律和交换率 结合律：（A+B）+C=A+（B+C） 交换律：A+B=B+A1-3 矢量的标积和矢积 标积点积或内积），以点号“”表示cos 、cos、cos称为矢量A的方向余弦 在直角坐标系中，若

3、矢量A和矢量B分别为 矢量A和矢量B标积： 则矢量A与矢量B的矢积的代数定义 方向遵守右手螺旋法则 用坐标分量表示为1-4 标量场的方向导数与梯度 标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为： 时变标量场和矢量场可分别表示为：标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面

4、。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。 等值面方程： 标量场的等值线面） 等值面的特点： 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 方向导数方向导数:标量场在某点的方向导数表示标标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率量场自该点沿某一方向上的变化率 例如标量场例如标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导方向上的方向导数数 定义为定义为 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 0，沿 l方向增加 0；若相反，那么 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。 如果

5、矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘积。即 右手螺旋 环量表示能产生旋涡场的源的强度，但代表的是闭合曲线内总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。 2.矢量场的旋度 （1环流面密度 过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限 称为矢量场

6、在点M 处沿方向n的 环流面密度。特点：其值与点M 处的方向n有关。在直角坐标系中 表达式 推导 的示意图如图所示 所以 ，故 同理（2矢量场的旋度旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即物理意义：旋涡源密度矢量。 在直角坐标系中： 用算符 表示为 旋度运算规则 矢量场的旋度的散度恒为零 标量场的梯度的旋度恒为零 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 Stokes定理是闭合曲线积分与 曲面积分之间的一个变换关系 式，也在

7、电磁理论中有广泛的 运用大小相等方向相反，结果抵消散度和旋度的区别散度和旋度的区别1-7无旋场与无散场 1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于或正比于该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的体密度等于或正比于矢量场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于或正比于沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的面密度等于 （或正比于矢量场在该点的旋度。2、矢量场按源的分类仅有散度源而无旋度源的矢量场性质 线积分与路径无关，是保守场无旋场可以用标量场的梯度表示为任一标量场的梯度的旋度一定等于零例如：静电场 仅有旋度源而无

8、散度源的矢量场，即 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如：恒定磁场（3无旋、无散场源在所讨论的区域之外）（4有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分1-8 拉普拉斯算符与格林定理1、拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念： 拉普拉斯算符直角坐标系中： 拉普拉斯既可以对标量进行计算也可以对矢量进行计算 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式 （1-8-1） 式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数 根据方向导数与梯度的关系，上式右端又可写成 （

9、1-8-1可写为 （1-8-3） （1-8-1或1-8-3称为标量第一格林定理 若将与对调，显然等式仍然成立 将1-8-1与上式相减，得 此式又可写成 这就是第二标量格林定理 设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。 将上式的P 与 Q 对调，再与上式相减，得到下列等式 此式称为第二矢量格林公式 无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的

10、求解问题。1-9 矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。1-10 亥姆霍兹定理 若矢量场若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的，在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 其中其中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。1-11 正交曲面坐标系 1、直角坐标系直角直角(x