中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题

1、1中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考 查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要 注意已知条件之间的相互联系.【例 1】(2016 天水中考)如图，点 D 为OO上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且/ CDA=ZCBD.(1) 判断直线 CD 和OO的位置关系，并说明理由；(2) 过点 B 作OO的切线 BE 交直线 CD 于点 E,若 AC= 2,OO 的半径是 3,求 BE 的长.【思路分析】 连接 OD 根据圆周角定理求出/

2、 DABFZDBA= 90,从而得出/ CDAbZADO= 90，再根 据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出 DC,由切线长定理得出 DE= EB,在Rt CBE 中根据勾股定理 得出方程，求出方程的解即可.【学生解答】解： 直线 CD 和OO的位置关系是 相切理由是：连接OD.TAB 是OO的直径，二/ ADB= 90,./DABZDBA= 90 .v/CDA=ZCBDDABZCDA= 90 .vOD= OADAB=ZADOCDA /ADO= 90,即 ODLCE直线 CD 是OO的切线，即直线 CD 和OO的位置关系是相切；(2) vAC=2, OO 的半径是 3, OC= 2

3、+3=5,OD= 3.在RtCDO 中,由勾股定理得 CD= 4.vCEBOO于点 D, EBBOO于点 B, DE= EB, / CBE= 90,设 DE= EB= x,在Rt CBE 中，由勾股定理，得 cE= BE2+ BC,则 (4 + x) = x + (5 + 3),解得 x= 6,即 BE= 6.(针对训练1. (2016 毕节中考)如图，以厶 ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A, B 两点，且与 BC 边交于点 E, D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于点 F, AC= FC.(1) 求证：AC 是OO的切线；(2) 已知圆的半径 R= 5

4、 , EF= 3,求 DF 的长.解：如图，连接 AE AO.vBE 为半圆，BAE= 90 .vBD= ED,BAD=ZEAD= 45,AFC=/B+45,CAF=ZEACb 45.vAC=FC,AFC=ZCAF/B+45 =/EAO 45,B=ZEAC.vOA=OBOAB=ZB,EAC=ZOAB/OAC=ZOA&ZEAC=ZOA&ZOAB=ZBAE= 90, ACLOA -AC 为OO为切线；(2 )如图，连接 OD.v BD=DE, / BOD=ZDOE= 90 .在Rt OFD 中 , OF= 5 3 = 2 , OD= 5, DF= OF+ OD=29.2. (201

5、6 承德二中一模)已知如图，以Rt ABC 的 AC 边为直径作OO交斜边 AB 于点 E ,连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D,点 F 为 BC 的中点，连接 EF.(1) 求证：EF 是OO的切线；(2) 若OO的半径为 3, / EAC= 60,求 AD 的长.解：连接 FQ 易证 OF/ AB.vAC 是OO的直径， CEL AE,vOF/ AB, OF 丄 CE又vOE= OC OF 是线 段 CE的垂直平分 CE - FC= FE, / FEC=ZFCE.vOE= OC OEC=ZOCEvRtAABC 中，/ ACB= 90,即 / OCE-ZFCE= 90 , /OEC

6、FZFEC= 90,即ZFEO= 90, EF 为OO的切线；(2)vOO的半径为 3, AO=C8 E83.v/EAC=60 , OA= OEEOA= 60,COD=ZEOA= 60 .v在RtOCD 中，ZCOD= 60 ,OC= 3, CD= 3 3.v在RtACD 中，ZACD= 90 ,CD= 3 3,AC=6, AD= 37.-1圆的切线性质与判定类型1类型纟圆与相似2【例 2】如图，已知 AB 是OO的弦，OB= 2,ZB= 30, C 是弦 AB 上的任意一点（不与点 A, B 重合），连接 CO 并延长 CO 交OO于点 D,连接 AD.弦长 AB=_;（结果保留根号）（2）

7、当/D- 20。时，求/ BOD 的度数；（3）当 AC 的长度为多少时，以 A, C, D 为顶点的三角形与以 B, C, O 为顶点的三角形相似？请写出解答过 程.【思路分析】 结合垂径定理过点 O 作 BC 的垂线，再由特殊直角三角形得2AB_23OB=；3，贝 y AB= 2：3;（2）结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；（3）首先分析要使厶 DAC 与厶 BOC 相似，只能/ DCA=ZBCO= 90,此时，/ BOC= 60,/ BOD= 120 ,A/DAC= 60 ,二厶 DA3ABOC.v/BCO= 90,即卩 OCLAB / A

8、C=?AB=：3.【学生解答】解：(1)2 .3; (2)连接 OA.：OA= OB= ODBAO=/ B= 30，/ D=/ DAO=20,A/DAB=/BAOF/DAO=50,A/BOD= 2/DAB= 100 ;(3)v/BCO=ZDACF/D,A/BCO/DAC/BCO/D,. 要使 DAC 与厶 BOC 相似，只能/ DCA=/ BCO=90,此时/ BOC= 60,/ BOD= 120 ,A/DAG= 60。，丄1DA3ABOC.v/BCO= 90,即卩 OCLAB / AC=qAB=妝c针对训练3.（2016 黄冈中考）已知：如图，在 ABC 中，AB= AC,以 AC 为直径的

9、OO交 AB 于点 M,交 BC 于点 N,连接AN,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P.求证：（1） / BCP=/ BAN的直径，/ ANG= 90, / NAO/ ACN= 90,vAB= AC, / BAN=/ CANvPC是OO的切线，/ ACP= 90, / ACN/ PCB= 90, / BCP=/ CAN / BCP=/ BAN (2)连接 MNvAB=AC, / ABC= / ACB 又v四边形 AMNC 为OO的内接四边形，/ ACB/ AMN= 180,又v/CBPF/ ABG=180,PBC=/ AMN 由(1)知/BCP=/ BAN BPCAMNA -AM=

10、CB MN BP4. （2016 广东中考）如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，BC 是OO的直径，/ ABG= 30,过点 B 作OO的切线 BD,与 CA 的延长线交于点 D,与半径 AO 的延长线交于点 E ,过点 A 作OO的切线 AF,与直径 BC 的延长线交于点 F.(1)求证： ACMADAE;解：(1)vBC 为OO的直径，/ BAC= 90,又/ ABC= 30, / ACB= 60,又 OA= OC OAC 为等边三角形，即/ OA=/AO= 60 ,vAF 为OO的切线，/ OAF= 90, / CAF=/ AFC= 30,vDE 为OO的 切线，/ DBC=/OBE=

11、90 , / D=/ DEA= 30 , / D=/ CAF / DEA=/ AFC ACFADAEAM CBMN=丽证明：（1）vAC 为OO(2)若SA AOC=-3,求 DE 的长;连接 EF,求证：EF 是OO的切线.r32 3, BE=、3, DE= 3 3; (3)如图，过点 O 作 OMLEF 于点 M ： OA= OB / OAF=ZOBE= 90。，/ BOE= /AOFOAFAOBE-OE= OF,v/EOF=120,OEMkZOF 申 30,./ OEB=ZOEM30,即卩OE平分/ BEF 又/ OBE=/ OMM90，. OM= OB EF 为OO的切线.圆与锐角三角

12、函数【例 3】(2016 荷泽中考)如图，AB 是OO的直径，点 C 在OO上,连接 BC, AC,作 OD/ BC 与过点 A 的切线交 于点 D,连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 E.(1) 求证：DE 是OO的切线；CE 2(2) 若DE=3 ,求cos/ ABC 的值.CE 2【思路分析】(1)连接 OC 欲证 DE 是OO的切线，只需证得OCL DE (2)由时 ,可设 CE- 2k(k0),贝UDE-3k ,在Rt DAE 中，由勾股定理求得 AE-DEAD-2 2k ,贝 UtanE-AD=2,所以在Rt OCE 中 ,tanE-尘*7AE 4CE-OC 求得 OC-京

13、在Rt AOD 中 ,由勾股定理得到 OD-Ag AD=黑 k,从而求出cos/ ABC 勺值.【学生解答】解： 如图，连接 OC.vAD 是过点 A 的切线，AB 是OO的直径， AD 丄 AB./ DAB=90.vOD/ BC,/DOC=/BCO/DOA=/CBA.vOC= OB/BCO=/CBA/DOC=/DOA 在CODOC= OA和厶 AOD 中， /DOC=/DOACODAAODSAS, /OC-/DAB= 90.即 OCLDE 于点 C.vOC 是OO的半OD- OD径， DE 是OO的切线；CE 2(2)由DE-3，可设 CE- 2k(k0),贝 y DE= 3k ,AD 迈

14、亠亠OC OCtanE-A-.v在Rt OCE 中 ,tanE-况-不,6OA 3-k, cos/ ABC=cos/ AOD OD-可.c针对训练-5. (2016 唐山九中一模)如图，四边形 ABCD 内接于OO,对角线 AC 为OO的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E,点 F 为 CE 的中点，连接 DB DC DF.(1) 求/ CDE 的度数；(2) 求证：DF 是OO的切线；(3) 若 AC= 2 5DE 求tan/ ABD 的值.解：(1)vAC 为OO的直径，/ ADC= 90, / EDC= 90; (2)连接 DQv/EDC= 90 , F 是 EC

15、的中 点， DF=FC, / FDC=/ FCDvOD- OC / OCD-/ ODC / ODO / FDC=/ OCD/ FCD / ODF= / OCFvEC 丄 AC, / OCF=90, / ODF- 90, DF 是OO的切线；(3)在厶 ACD 与厶 ACE 中，/ ADC=AC AD9厂_2/ACEM90 , /EAC-/CADACDAAEC忑=,AC-AD- AE.又vACM2 , 5DE, 20D=(AEAOC 为等边三角形,30BAD- DC= k，在Rt DAE 中，AE=_DEAD=2 2k , 2-QCOC=OA=OB= 1，又/BEO=4AE ACDE) - AE (AE 5DE)(AE+ 4DE)= 0, AE- 5DE ADM4DE 在Rt ACD 中，AC-AD+CD, CD- 2DE.又在OO5中，/ ABD=ZACD tan/ ABD=tan/ACD=2.CDCF 1(2016 自贡模拟)如图，AB 是OO的直径，弦 CDL AB 于点 G,点 F 是 CD 上一点，且满足-=-，连