湖北汽车工业学院线性代数答案向量的线性相关及其性质

1、2.«1110因为«2=020«3003解:= 6= 0,所以：123线性无关.:1 =(1,2,3,4 )T,：2 =(1,0,1,2)1 3 =(3, -1,-1,0)T：4 =(1,2,0,-1)T10向量的线性相关性及其性质一、填空1 设向量 8=(5, 1, 2，。2=(3, 2, 1$,则 知广放戸(19 , ,1)T .2已知 3： 4三-(2,1,1,2)t ,2： 3三=(-1,2,3,1)t，则向量.(10,5,9,2)T , 1 =( -7,4,7,-1)t 二、1 若1,2,3 线性无关，则(V )2 .若1 , >2 , >3

2、 线性相关，贝()3 .若以)二线性相关，线性无关，则荀,_,线性相关.(V )4. 若向量组，、，；，中可由 巧,讥；线性表示，即-= k 、； 、k - k 丁；，则 k , k、，k ；全不为零.()5. 若，<；,线性相关，则 可由 m _线性表示.()6 .向量组：.，、,，：线性相关的充要条件是1,2L,m中至少有一向量可由其余向量线性表示.(V )7.向量组 ，：，：线性相关，且rRn(i=二,，n)，则当rn时，：，：、,，：也线性相关.()8设向量组 一S5,则 ,p，s必线性相关.()三、判断下列向量组是线性相关还是线性无关：'"1. ：1 =(1,

3、1,0)T-=(0,2,0)T , ： 3 = (0,0,3)t.解：设有数 k，2，3,k4，使得 kV1k2k3k4 =0,即有k k2 +3k3 + k4 =02&- k3 +2k4 =0(1)13k k k3=0脈 +2k2- k4 =0对系数矩阵施行初等行变换如下11312 -2"1131、r3十21131 '20-120270r4 +2017/20A =31-1140-210_ 3r40011r2 只 4)2 2<420-1-2-125 .丿心)<00-5_ 5(10 01 00 10 03/2-7/2因为R（A） =3 ：4（未知量个数）,所

4、以方程组（1）有非零解，即向量组 宀，:辽，34线性相关.四、试将向量 2 =（0,2 ,1）T 用向量组宀=（1,2,3）t ,2 =（2,3,1）t 厂3 =（3,1,2 ）t 线 性表示.解：设有数k1, k2 ,k3,使得-k匸1 k22 - k3： 3,即有k +2k2 +3k3 =01 232& +3k2 +k3 =2 .其系数行列式为 D = 2 31=185由克莱姆法则，得其解为+k2 +2k3 =13 120 2 31 0 31 2 02 3 12 2 12 3 21 1 213 1213 111ki -,k2 -,k3 -=.? IVO ? IYQ D 2D 2D2

5、于是有- =-：” '圧 2 _ 二3 .2 2 2五、问k取何值时下列向量组线性相关？：1 =(1,0,1) T,： 2 =(k,2,1)T，:3 =(3,1,2)t .解：要向量组冷、2、3线性相关，需1 ka1、2、a3| = 0 21 1解得k =3.六、设有向量组 ：1 , ： 2 , ：'3 ,4，试证：向量组 >1二2 , >2*3 , >3 *4, >4 *1必线性相 关.解：（解法一）设有数K ,k2 ,k3 ,k4,使得k1（：1：2）k2（：2：3） k3（：3：4） k4（：4：1）=0,即有(1 )若(k k4)：1 (k k2

6、)：2 (k2 k3)：3 (k3 “4=0：1 , ：'2 , ： 3 ,4 线性无关，飞+& + k2k2则有k4k3k3 k 0(1r又因方程组的系数矩阵A-i-1,即R（A） =3 ： 4 （未知量个数）,所以方程<0组有非零解，此说明存在不全为零的数0k1 ,2 ,3 ,4 ,使得式成立由定义，知向量组>1 *2 , >2心3 , >3心4, >4心1线性相关.（2 ）若宀，, >3 ,4线性相关，则由知数，即存在不全为零的数-10 由定义，知（k1 k4） （k1 k2）（k2 k3） > （k3 k4）不全为零，从而数 k1、k2、k3、k4不全为零（否则中各数必全为零）k1、k2、k3、k4，使得匕（：1： 2）k2（： 2: 3）k3（： 3： 4）k4（：4向量组冷比2 , >2心3 , >3比4, >4比1线性相关.综上所述，故向量组比2 , >2比3 , >3比4,4比1必线性相关.（解法二）因为（>1 *2）-（2 *3厂（3 *4）-（4 *1）=0，所以向量组冷2 ,2 * 3 ,3 * 4 ,4* 1必线性相关.a1 b| , a2 b2是否一定线性相关?七、设向量组a