二次函数变式练习

1、261 二次函数题目 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC + BD =10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？（人教课本P1810题）分析 阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（ACBD）和数量关系（AC + BD = 10）去表达四边形ABCD的面积解 设AC与BD相交于O，AC = x，则BD = 10x（0x10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积=因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为 戊点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系

2、时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x，则BD = 10x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量演变变式1 （图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC + BD = 10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状ABC(D)ABCDBACDBACDCABDO分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况）如下：DBACO甲 乙 丙 丁解 如图甲、乙、丙、丁，问题显然如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC = x，则BD = 10x，（0x

3、10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积S = SABDSCBD =因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为CABD说明：如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得：变式2 （关系变式）已知 x、y都是正数，如果和x + y是定值S，那么当x = y时，积xy有最大值这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）由x + y = S，得y = Sx，代入xy中有，xy = x（Sx）=x2 + Sx =，结论正确变式3 （问题推广）如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a，

4、AC + BD = m，问当AC、BD的长等于多少时，四边形ABCD的面积最大？DBACEFOa解 过A、C作AEBD，CFBD，E、F是垂足，则四边形ABCD的面积为 S = SABD + SCBD =BD·AE +BD·CF =BD（AE + CF）=BD（AO· sina + CO· sina）=BD（AO + CO）sina =BD·AC·sina， 当BD = AC =m时，S最大，为26.2 用函数观点看一元二次方程题目 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），求这条抛物线的对称轴

5、（人教课本P23 4题）解 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0）， 解得 抛物线的方程为y = ax22ax3a = a（x22x3）=a（x1）24a（a0），因此，所求抛物线的对称轴为x = 1另法 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0）， 抛物线的方程可设为y = a（x + 1）（x3），a0，即 y =a（x22x3）=a（x1）24a（a0），所以，抛物线的对称轴为x = 1法三 由于抛物线是关于对称轴对称的，且其对称轴x = h与x轴垂直， 对称轴必过点A（1，0）、B（3，0）的中点，为h（1

6、）= 3h，得点评 本题已知简洁，结论明了，似乎没有什么可挖掘或拓广的其实题目乃平中见奇，内涵丰富，不但解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还需分a0和a0讨论适当改变条件，可得出许多新颖的题目来（如变式4这种开放题）演变变式1 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D（1）若ABC是直角三角形，则a = ；（2）若ABD是直角三角形，则a = 解 在草稿纸上画出大致图象，可知（1）若ABC是直角三角形，则直角顶点只能是C， C（0，c），即C（0，3a），于是（3a）2 = 1×3，

7、解得a =±1（2）若ABD是直角三角形，则直角顶点只能是D， D（0，4a），于是由 2（4a）= 4，解得a =±变式2 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D问是否存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上？解 假设存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上，则圆心E必在抛物线的对称轴x = 1上，于是令E（1，m），则DE=m + 4a，AE=BE=，CE=由E到A、B、C、D的距离相等，得m + 4a=，经求解知，不存在非零常数a，使上式成立，因此表明，不存在非零常数a，使A、B、C、D在

8、一个圆上变式3 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D若四边形ABDC的面积为2，求抛物线的解析式解 作出示意图，设对称轴与x轴的交点为E则 BDE的面积为EB·DE =×2×4a= 4a；AOC的面积为AO·CO =×1×3a=a；直角梯形OCDE的面积为（CO + DE）· OE =（3a+4a）· 1 =a；从而四边形ABDC的面积等于 4a+a+a= 9a= 18， a =±2因此，抛物线的解析式为y = 2x24x6 或

9、 y =2x2 + 4x + 6变式4 已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图，你能根据图象所提供的信息得出哪些结论呢？试一试-1Oyxx=13-1Oyxx=13-1Oyxx=13（1）（2009丽水）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a0 该函数的图象关于直线x = 1对称 当x =1或x = 3时，函数y的值都等于0其中正确结论的个数是（ ）BA3 B2 C1 D0（2）（2009南充）抛物线y = a（x + 1）（x3）（a0）的对称轴是直线（ ）AAx = 1 Bx =1 Cx =3 Dx = 3（3）（200

10、9南宁）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象-3Oyx1如图所示，有下列四个结论： b0 c0 b24ac0 ab+c0 其中正确的个数有（ ）CA1个B2个 C3个 D4个（4）（2009宁夏）二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误的是（ ）DAc0 B2a + b = 0 Cb24ac0 Dab + c0（5）（2009庆阳）如图为二次函数y = ax2 + bx + c（a0）的图象，给出下列说法： ab0 方程ax2 + bx + c = 0的根为x1 =1，x2 = 3 a + b + c0 当

11、x1时，y随x值的增大而增大 当y0时，1x3-1Oyxx=13其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）（6）（2009内江）如图所示，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，t），且t0，tanBAC = 3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y = k（x + 1）的一个交点 求抛物线的解析式； 对于动点Q（1，n），求PQ + QB的最小值； 若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求AMP的边AP上的高h的最大值（限于篇幅，解答略去，下同）OACBxy（7）（2009武汉）如图，抛物线y = ax2 + bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交

12、于另一点B 求抛物线的解析式； 已知点D（m，m + 1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； 在的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP = 45°，求点P的坐标（8）（2009安顺）如图，已知抛物线与x交于A（1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3） 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由OABExyDOACBxy1（9）（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（3，0）（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴

13、为直线l，D为对称轴l上一动点 求抛物线的解析式； 求当AD + CD最小时点D的坐标； 以点A为圆心，以AD为半径作A）证明：当AD + CD最小时，直线BD与A相切）写出直线BD与A相切时，D点的另一个坐标：_（10）（2009牡丹江）如图二次函数y = x2 + bx + c的图象经过A（1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C 试确定b、c的值； 过点C作CDx轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定MCD的形状（11）（2009十堰）如图，已知抛物线y = ax2 + bx + 3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C 求抛物线的解析式； 设抛物线的

14、对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由OBCAxyM 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标OBCAxy26.3 实际问题与二次函数题目 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（人教课本P25探究1）分析 调整价格包括涨价和降价两种情况看看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品

15、的利润y随之变化涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（30010x）件，销售额为（60 + x）（30010x）元，买进商品需要付40（30010x）元，因此所得利润y =（60 + x）（30010x）40（30010x）解 （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：y =（60 + x）（30010x）40（30010x），自变量x的取值范围是0x30 y =10x2 + 100x + 6000 =10（x5）2 + 6250，因此当x = 5时，y的最大值为6250（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：y =（60x40）（300 + 20x），自

16、变量x的取值范围是0x20 y =20x2 + 100x + 6000 =20（x2.5）2 + 6125，因此当x = 2.5时，y的最大值为6125（3）每件60元销售（即不涨不降），每星期可卖出300件，其利润y =（6040）×300 = 6000元综上所述，当商品卖价定位45元时，一周能获得最大利润6250点评 本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要采用分情况讨论，建立函数关系式，在每个不同情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，考查函数的性态（最大最小，变化情况，对称性，特殊点等）和图象，然后比较选择，作出结论演变变式1 某宾馆有50

17、个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支付20元的各种费用房间定位多少时，宾馆利润最大？（课本28页第6题）解 设每个房间每天的定价增加10x元，则有x个房间空闲，于是宾馆利润y =（180 + 10x）（50x）20（50x），其中0x50 y =10（x234x800）=10（x17）2 + 10890当x = 17时，y取得最大值10890元，即房价定为350元间时，宾馆利润最大变式2 （2008绵阳）青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游

18、度假村，并将其全部利润用于灾后重建据测算，若每个房间的定价为60元天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元天时，就会有一个房间空闲度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元天·间（没住宿的不支出）问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？ 解 设每天的房价为60 + 5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30x个房间于是度假村的利润 y =（30x）（60 + 5x）20（30x），其中0x30 y =（30x）· 5 ·（8 + x）= 5（240 + 22xx2）=5（x11）2 + 1805因此，当x = 11时，y取得最大值1805元，即每天房价定为115元

19、间时，度假村的利润最大另法 设每天的房价为x元，利润y元满足=（60x210，是5的倍数）法三 设房价定为每间增加x元，利润y元满足=（0x150，是5的倍数）变式3 （2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你

20、直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解 （1）y =（21010x）（50 + x40）=10x2 + 110x + 2100（0x15且x为整数）（2）y =10（x5.5）2 + 2402.5， 当x = 5.5时，y有最大值2402.5 0x15，且x为整数，当x = 5或x = 6时，y = 2400（元） 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元（3）当 y = 2200时，10x2 + 110x + 2100 = 2200，解得x = 1或x = 10 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元当售价不低于51或60元，每

21、个月的利润为2200元当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）变式4 （2009黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（2）为

22、了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由解 （1）y1 = 100 + x，（2）y =（100 + x）（100），即 y =（x50）2 + 11250，因为提价前包房费总收入为100×100 = 10000当x = 50时，可获最大包房收入11250元，因为1125010000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元变式5 （2009烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电

23、下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？解 （1）根据题意，得，即（2）由题意，得，整理，得 x2300x + 20000 = 0解这个方程，得x1 = 100，x2 = 200要使百姓得到实惠，取x = 200，所以，每台冰箱应降价200元（

24、3）=，当每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元变式6 （2009济宁）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？解 （1）（130100）×80 = 2400（元）（2）设应将售价定为x元，则销售利润=4x2 + 1000x60000 =4（x125）2 + 2500当x = 125时，y有最大值2500， 应将售价定为125

25、元，最大销售利润是2500元变式7 （2009滨州）某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图象27.1 图形的相似题目 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸再如此对折下去，得到的矩形都相似吗？（人教课本P41 8题）解 设矩形纸片的较长边为a，较短边为b，则ab，且b沿较长边的中点对折，得到了两个矩形都和原来的矩形相似，从而有两个小矩形是全等的，和原来的矩形相似的比为:b = b:a，所以a:b =:1，为原来矩形的长宽比再折下去，得到的矩形都相似点评 矩形是有一个角为直角的平行四边形（长方形）它具有平行四边形的所有性质（它既然是特殊的平行四边形，那么它就应该有自己特有的性质）；矩形是轴对称图形，有2条对称轴（非正方形）；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分演变变式1 已知一个矩形长与宽的比为，如果将矩形沿较长边的中点对折，得到的两个全等的小矩形，