判断矩阵的广义一致性变换及其排序的一种算法

1、判断矩阵的广义一致性变换及其排序的一种算法ZHOUXinghui,ZHANGJijun(SchoolofEconomicsandManagement,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu610500,China)Generalizedconsistencytransformtionofjudgementmatrixandalgorithmofranking.JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition),2011,38(2):157-162:Aimingattheconsistencytestingandranking

2、problemsofJudgementmatrixsstructuredbydifferentscales，thispaperdefinesthegeneralizedconsistencytransformationofJudgementmatrix,anddemonstratespropertiesofJudgementmatrixafterthegeneralizedconsistencytransformation.Bycontrastingwithrelatedliteratures,theresultofthepaperhasawiderscopeofapplication.Ita

3、lsodeepenstheunderstandingofparameter(3.Andtheintervalofparametervaluesislocatedreasonablyinthispaper.Finally,thispapergivesaconclusionaboutdifferentspecificgeneralizedconsistencytransformationsandrankingmethodsofJudgementmatrixsstructuredbydifferentscales.?相？s:judgementmatrix;generalizedconsistency

4、transformation;fuzzyconsistentmatrix;ranking层次分析法的关键是以合理的标度将人的主观感觉数量化，并以此构造判断矩阵，较早出现的标度方法是19标度1,由于该标度一般很难确切给出，导致人们对该标度的广泛质疑.随着AHP理论及实际应用的发展，又提出了指数标度2,9991标度3,1010182标度3,-22五标度4,3标度5，1.5n标度6等；同时针对层次分析法的不足，人们又把模糊思想引入层次分析法之中7-15.在构造模糊互补判断矩阵时，提出了0115标度，0.10.9五标度16,0.10.9九标度17等.纵观这些标度，可以分为两类：一类是“互反性”标度；另

5、一类是“互补性”标度.但无论采用哪一种标度，都需要对矩阵的一致性进行检验18-22.通过分析，可以发现由以上这两类标度构造的判断矩阵都具有一个共同的特征，即构造出来的判断矩阵中的元素值在一个较小的区间范围内，既有最大值，也有最小值.针对上述这个共同的特征，本文提出了广义一致性变换的定义，建立了一个宏观的可以兼容以上各种标度的变换模型，并研究了经过广义一致性变换后的判断矩阵所具有的性质，最后针对各种不同标度给出了具体的广义一致性变换及求解权重的表达形式，为工程实际应用奠定了理论基础.1判断矩阵的广义一致性变换的定义？胄灾？为了论述方便，设对于某一种标度，其最小标度值记为入1,最大标度值记为入2;

6、同时记N=1,2,n.定义115设矩阵A=(aij)nXn,若0&aij1(i,jGN),则称A是模糊矩阵.定义215若模糊矩阵A=(aij)nXn满足对于i,jGN,有aij+aji=1,则称模糊矩阵A是模糊互补矩阵.定义315设有模糊互补矩阵A=(aij)nXn满足kGN,均有aij=aik-ajk+0.5,则称模糊互补矩阵A是模糊一致矩阵.文献11,15,23-24中对模糊互补矩阵A=(aij)nXn实施变换：rij=rirj2n+0.5,(i,jGN),其中ri=?A?nk=1aik,?B?iGN)；并证明了R=(rij)nXn一定是模糊一致矩阵.本文对上述文献中的变换进行了扩充，给出

7、了如下判断矩阵A=(aij)nxn的广义一致性变换的定义.定义4如果对判断矩阵A=(aij)nxn按行求和，记为ri=?A?nk=1aikiGN,并施之数学变换：rij=a(ri-rj)2n(入2入1)+0.5,0Va01,(1)则称该变换为判断矩阵A的广义一致性变换.定理1设A是n阶判断矩阵（以下A相同），则（1）对任意第i行元素之和，有n入1&ri=?A?nj=1aijWn入2;（2）判断矩阵所有元素之和满足n2XKI2ni=1ri=Z2ni=1Z2nj=1aijn2入2；（3）对任意i，j，有|ri-rj|n（X2-X1）.证明（1）对n阶判断矩阵A的任意第i行元素,其每个元素值必定都大

8、于或等于最小值入1,小于或等于最大值入2,即XKaijw入2,因此，nXKri=Enk=1aiknX2.（2）由（1）易知，证明略.（3）由（1）得n入1Wrin入2,nX1rjn入2,所以n（入1-入2）wri-rjn（入2-入1）,即|ri-rj|Wn（入2-入1）,证毕.定理2如果对判断矩阵A=（aij）nXn施之广义一致性变换（1）,则以rij为元素的矩阵R=（rij）nXn一定是模糊一致矩阵.证明由式（2）得n（入1入2）&ri-rjn（入2入1）,nWrirj入2入1Wn,-1Wrirjn（入2入1）01,由于0VaW1,因此，-aWa（rirj）n（入2入1）Wa,-0.5aWa

9、（ri-rj）2n（入2入1）W0.5a,由此得-0.5a+0.5a(rirj)2n(入2入1)+0.5W0.5a+0.5,所以0rijW1,即R=(rij)nXn为模糊矩阵；因为rij+rji=a(rirj)2n(入2入1)+0.5+乜(rj-ri)2n(入2入1)+0.5=1,即R=(rij)nXn为互补矩阵；又由于rij=a(rirj)2n(入2入1)+0.5=a(ri-rjrk+rk)2n(入2入1)+0.5=a(rirk)2n(入2入1)+0.5-a(rj-rk)2n(入2入1)+0.5+0.5=rik-rjk+0.5,即R=(rij)nXn为模糊一致矩阵，证毕.文献12论证了因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权重之间的关系.设表示元素al,a2,an的两两比较重要程度的模糊互补判断矩阵为R=(rij)n乂n,其中rij表示元素ai比aj重要的隶属度，设ai与aj的权重分别为wi和wj，则rij与wi-wj可以建立一定的关系，用函数f表示为：rij=f(wi-wj