利用图形的旋转变换解题举例

1、利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形题设信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。例1、如图1分别以正方形ABCM边ABAD为直径画半圆,若正方形的边长为,求阴影部分的面积。解：连ACBD如右图，

2、则绕AD中点将图中逆时针旋转到图中,将图中绕AB中点顺时针方向旋转到图中,则原图中阴影部分的面积就和DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积=S/DCB=S正方形ABCD=O这里我们用旋转变换的方法改变了图中和的位置,从而顺利地完成了计算。例2、如图所示，在/ABC中,AB=AC,/BAC=,D是BC上任一点,试说明。证法一（非旋转法）:过A点作AHBC于E,如图，则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以,所以=+=,而在直角三角形ADE中，存在，所以，这是传统的证明方法。本题考虑到BDDGAD三线段分散在两个三角形中，而且构成平方和的条件不明显，若利用旋转变换，

3、将BHDC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二（旋转法）：将4AD慨A点顺时针方向旋转到AAEB,如图，连DE,易知ADE4DBE均为直角三角形，且AE=AD,BE=DC,所以在RCEBD中有,在RtAED中有，所以。例3、如图所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求/APB的大小解：如图（6）,将/BPC绕B点逆时针旋转至UBEA,连EP易知/PBE=且AE=PC=3BE=BP=2Rt/BEP中，且/EPB=，在/AEP中，又，所以APE是直角三角形，即/APE=,/APBNAPE吆EPB=+=，即/APB为。传统几何中,有许多旋

4、转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如图（7）,正方形ABCD勺边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果4APQ的周长为2,求/PCQ的度数。将CDQ绕C点逆时针旋转90°像图（8）那样，立刻可得QA+AB+BE=2hAPQ周长为2得PQ=PE,进一步可得CPQiCPE,/PCQ=PCE又/QCE=90,所以/PCQ=45。又如图(9),4ABC中,AB=AC,P为三角形内一点，且ZAPB/APC求证：PCPB。将4APB绕A点逆时针旋转成右图那样，不难得到条件ZAPB/APC变成了/PQCZQPC从而PCCQ由旋转关系,PCPB。最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了:如图(10),四边形ABC3,AB=AD,/A=/C=90，其面积为16,求A到BC的距离。通过旋转变换,将图(10)变成图(11),答案可以脱口而出:距离为4!类似的例子可以举出许多,这里不再赘述。综上可见,正确利用图形的旋转变换可大大提