【全程复习方略】广东省2013版高中数学单元评估检测(八)理新人教A版

1、-1 -【全程复习方略】广东省2013版高中数学 单元评估检测（八）理 新人教A版（第八章）（120 分钟 150 分）、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线 xsina y + 1 = 0 的倾斜角的变化范围是(A)(0 ,（A）1 （B）1 或 3（C）0（D）1 或 02 2xy一4. “入一 1”是方程2+入一 1 +入=1 表示双曲线”的（）（A）充分不必要条件（B） 必要不充分条件11的方程是（）(A) 3x + 4y 1 = 0(B) 3x + 4y+ 1 = 0 或 3x + 4y 9= 0(C)3

2、x + 4y+ 9 = 0(D)3x + 4y 1 = 0 或 3x + 4y+ 9= 02 2 2 26.若曲线 令+y= 1 与曲线y+x= 1 的离心率互为倒数，则a=()259a 97.已知双曲线 16y2 mix2= 1（m0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为(B)(0(C) - f,才(D)03n42.(2012 -珠海模拟） 已知直线1仁 x+ ay+ 6= 0 和12： (a 2)x + 3y + 2a= 0,贝U11/12的充要条件是 a 等(A)3(B)1(C)1(D)3 或一 13.(2012 -顺德模拟）直线 y = kx + 2 与抛物线 y2= 8x 有且只有一个

3、公共点，则 k 的值为（）（C）充要条件（既不充分也不必要条件5.（2012 佛山模拟）已知直线|1与圆 O: x2+ y2+ 2y = 0 相切，且与直线|2: 3x +4y 6(A)16(B) 16(C)8116(D)81161,则 m=(5（A）1（B）2（C）3（D）48.若 PQ 是圆 x2+ y2= 16 的弦，PQ 的中点是 M（1,3），则直线 PQ 的方程是（）-3 -(A)x + 3y 4 = 0 (B)x + 3y 10= 0(C)3x y + 4 = 0(D)3x y= 0、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知圆

4、 C 与直线 x y= 0 及 x y 4 = 0 都相切，圆心在直线x+ y = 0 上，则圆 C 的方程为_10.(2012 郑州模拟)已知抛物线 y2= 2px(p1)的焦点 F 恰为双曲线曲线的交点连线过点 F,则双曲线的离心率为_11. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 _.2 2 212. 若 k R 直线 y= kx + 1 与圆 x + y 2ax + a 2a 4 = 0 恒有交点，则实数 a 的取值范围是 _13. (2012 深圳模拟)直线 ax+ my 2a= 0(m 0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为 _.14. 抛物线 y = x2上的点到

5、直线 4x + 3y 8= 0 的距离的最小值等于三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (12 分)(易错题)设直线I的方程为(a + 1)x + y 2 a = 0(a R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；若 a 1，直线l与 x、y 轴分别交于 M N 两点，O 为坐标原点，求 OMN 面积取最小值时，直线l对应的方程.16. (13 分)已知动点 C 到点 A( 1,0)的距离是它到点 B(1,0)的距离的 2 倍.(1)试求点 C 的轨迹方程；已知直线I经过点 P(0,1)且与点 C 的轨迹相切，试

6、求直线I的方程.17. (13 分)(探究题)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F( 3, 0),1右顶点为 D(2,0)，设点 A(1 ,功.(1)求该椭圆的标准方程；若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；过原点 O 的直线交椭圆于点 B,。，求厶 ABC 面积的最大值.b0)的右焦点，且两(1)求曲线 Cl和 C2的方程；过 F2作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线C、C2依次交于 B C、D E 四点，若 G 为 CD 中点、H为 BE 中点，问2于1是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由|CD| - |HF2|19. (

7、14 分)(预测题)已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线 x2=- 4 2y 的焦点是它的一个焦点，又点 A(1 ,2)在该椭圆上.(1)求椭圆 E 的方程；若斜率为 2 的直线l与椭圆 E 交于不同的两点 B、C,当 ABC 的面积最大时，求直线I的方程.2 2 220. (14 分)已知直线1仁 y = 2x + m(m0)与抛物线 C: y = ax (a0)和圆 C2: x + (y + 1) = 5 都相切，F 是 C1的焦点(1)求 m 与 a 的值；设 A 是 C1上的一动点， 以 A 为切点作抛物线 C 的切线I， 直线I交 y 轴于点 B,以 FA、 FB

8、 为邻边作平 行四边形 FAMB证明：点 M 在一条定直线上；在 的条件下，记点 M 所在定直线为丨2,直线丨2与 y 轴交点为 N,连接 MF 交抛物线 C 于 P、Q 两点，求厶 NPQ的面积 S 的取值范围答案解析1.【解析】 选 D.直线 xsina y + 1 = 0 的斜率是 k = sina.又一 1wsina w1,A11, e2= 3 + 2 2, e =2+ 1.答案： .2 + 111.【解析】设 2a、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b = 2a,即 a= 2b,所以 c=a b32 2x y6.【解析】选 D.因为曲线 25+9= 14的离心率为 5，所以

9、,7.【解析】选 C.双曲线的方程可化为2 2x_=11 1,所以 a14,1 1b=m，取顶点(o, 4)，一条渐近线为mx4y8.【解析】选 B.圆心为 0(0,0)，故直线 0M 斜率因为弦 PQ 所在直线与直线 OMI 垂直,所以1)，整理，得x + 3y 10 = 0.【解析】因为两条直线 x y = 0 与 x y 4= 0 平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以-7 -b,所以离心率为 e= =3.a 2答案：-212【解析】因为直线 y= kx + 1 恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，贝 U 01 2 3+ 12- 2a 0+ a - 2a- 4W

10、0 且 2a+ 40,解得K a 3.答案：K a 1.1 1 1 2X2 (a + 1) a+1+ 2 = 2,当且仅当 a + 1= ，即 a = 0 时等号成立.此时直线I的方程为 x + y 2= 0.16. 【解题指南】(1)利用直接法列出方程，化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】(1)设点 C(x, y)，则 | CA|= (x + 1)2+ y2, |CB| = (x 1)2+ y2.由题意，得.(x + 1)2+ y2= 2x(x 1)2+ y2.-8 -丄，1 2 + a1 (a + 1) + 12故SOM= x (2 + a)

11、 = x 2 a +12 a +11 1=x(a+1)+a+2-9 -2 2 2 2两边平方，得(X + 1) + y = 2X(X 1) + y .整理，得(x 3)5+ y2= 8.故点 C 的轨迹是一个圆，其方程为(x 3)2+ y2= 8.由(1)，得圆心为 M(3,0)，半径 r = 2 2.1若直线l的斜率不存在，则方程为x = 0，圆心到直线的距离 d = 3 工22，故该直线与圆不相切；2若直线l的斜率存在，设为k,则直线l的方程为 y = kx + 1.由直线和圆相切，得d=-2= 2 2,p1 + k中2整理，得 k + 6k 7= 0,解得 k= 1，或 k= 7.故所求

12、直线的方程为y = x + 1,或 y = 7x + 1，即 x y+ 1 = 0 或 7x+ y 1= 0.17.【解题指南】(1)由“左焦点为 F( 3, 0)，右顶点为 D(2,0) ”得到椭圆的长半轴a，半焦距 c,再求得短半轴 b,最后由椭圆的焦点在x 轴上求得标准方程.设线段 PA 的中点为 M(x, y)，点 P 的坐标是(x0, yo)，由中点坐标公式分别求得xo, yo,代入椭圆方程，可求得线段 PA 中点 M 的轨迹方程.分直线 BC 垂直于 x 轴和直线 BC 不垂直于 x 轴两种情况分析，求得弦长|BC|，结合点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.【

13、解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a= 2，半焦距 c= 3，则短半轴 b = 1.又椭圆的焦点在 x 轴上，2x椭圆的标准方程为 -+ y2= 1.4设线段 PA 的中点为 M(x, y)，点 P 的坐标是(X。，y。),X0= 2x 11y0+2y=丁1212线段 PA 中点 M 的轨迹方程是(x 2)2+ 4(y 4)2= 1.当直线 BC 垂直于 x 轴时，|BC| = 2,52k由 B、C 的对称性，不妨令 B(-2, -2 丿,M4k + 1 x/4k + 1得 c 1y0=2y -2因为点 P 在椭圆上，得(2x 1)24+(2y122)=1,-10 -此时 ABC 的面积SA A

14、BC=1.2xo当直线 BC 不垂直于 x 轴时，设直线方程为 y = kx，代入匚+ y = 1,4-11 -22kC(2，2)，4k6 7+ 1订 4k2+ 1则|BC| .=4f + ，又点 A 到直线 BC 的距离、1 + 4k2(16k)27 2-12 -是 SABC=11，得ABCCJ.：2，其中，当 k = 2 时，等号成立二SABC的最大值是2.2 2x y75(1)设椭圆方程为-2+ /= 1，贝V2a = |AF1+ |AF2| = - + = 6,得 a = 3.22 22252则(x + c) + y =(2), (x c) + y = (R ,353两式相减得 xc

15、= 2，由抛物线定义可知|AF2| = x+ c = 2 贝Uc = 1, x = 2 或 x = 1,x2y2323所以曲线 C 的方程为 9 + 8 = 1( 3x2)，曲线 C2的方程为 y= 4x(0 x4k2+ 118.【解析】c= |(舍去).1(y3+ y4l12“1+y2|(y3+ y4) 4y3y4202 = 1(- -2).彳 4k14k2+ 1，4k2 4k+ 11 + 4k2-13 -2i将点A(I,2)代入方程得 孑+孑二 2=1,整理得 a4 5a2+ 4 = 0,得a= 4 或 a2= 1(舍),2 2故所求椭圆方程为 y4 +X2 = 1.设直线 BC 的方程为

16、 y = 2x + m设 B(xi，yi)，C(X2，y2),代入椭圆方程并化简得4X2+2 2mx+吊4= 0, 2 2 2由 = 8m 16(m 4) = 8(8 m)0 ,可得 0wni8.2又点 A 到 BC 的距离为 d=m,斗 c1x/ni(16 2ni)故SMBC=|BC| d =2 21 2m+ (16 2m)Wb0)的离心率为-3,短轴的一个端点到右焦点的距离为，3,直线 I : y=kx + m 交椭圆于不同的两点 A B,(1) 求椭圆的方程，(2) 若坐标原点 O 到直线l的距离为 ，求厶 AOB 面积的最大值.2=爲【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意a=3，解

17、得 c=2.由 a2= b2+ c2,得 b= 1.(*)y!2nf 4由 xi+X2=xiX2=,丄，厂x/3 7162m故 |BC| =3|x1 X2| =-14 -a = .3-15 -2x2所求椭圆方程为 3+y2= i.将 y = kx + m 代入椭圆方程，2 2 2整理得(1 + 3k )x + 6kmx+ 3m 3 = 0.2 2 2 = (6km) 4(1 + 3k )(3m 3)01 21代入直线方程得：-=-一 6, a =?a a61所以 m= 6, a= $.6131由（1）知抛物线 C1方程为 y= 6X2,焦点 F（o, 2）.设 A（X1, 6X12），由知以

18、A 为切点的切线I的方程为（2）由已知得|m|1+ k2”，可得 m=3（k2+1）.Xi+ X26km1+ 3k2，Xi X2=3m31 + 3k22 2 2 2= (1 + k )(x2 X1) = (1 + k )2 2 236k m12 (m 1)n(3k + 1) 3k + 1 12(k2+ 1)(3k2+ 1 m)(3k +1)2 23(k + 1)(9k + 1)(3k + 1)212 k1212=3+42=3+w3+=4(k丰0),9k+6k+1212X3+6八21J3当且仅当 9k =卩，即 k=可时等号成立 经检验，k=满足（*）式.当 k = 0 时，|AB| = 3.综上可知 |AB|max= 2.当|AB|最大时， AOB 的面积取最大值 Smax= 1x20.【解析】(1)由已知，圆 G: x2+ (y + 1)2= 5 的圆心为y=2X+m的距离d= 2 苛1)2,即22+； I)2=5,C2（0， 1），半径 r = 5.由题设圆心到直线11:解得 m= 6(m= 4 舍去).设11与抛物线的切点为Ao（xo, yo），又 y 1 1=2ax, 得 2axo=2=Xo= , yo= .a a(*)-16 -1 12一 12y= X1（x X1）+ 6X1.令 x = 0,得切线I交