【三维设计】2013届高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第二章函数的单调性与最值教学案(含解

1、知识能否忆起一、函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域1内某个区间D上的任意两个自变量的值xi,X2当XlX2 时，都有f(Xi)Vf(X2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当X1f(X2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述U1IYr.rH -/- Ht、X7 MU . -TF7TI?1 自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2. 单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.、函数的最值前提设函数y=f(x)的定义

2、域为1，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x) M存在XoI，使得f(Xo) =M结论M为最大值M为最小值小题能否全取1.(2012 陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+ 13B.y= xC.1y=_XD. y=x|x|解析：选 D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由y=x|x|的图象可IUI函数的单调性与最值基础MliA豪打年J I C H U Z H D S H I YAOIPALAG固本源知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.数、指数函数等；如果是复合函数， 应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简2.函数y=(2k+

3、1)x+b在(a.+m)上是减函数，则()11A.k2B.k-2D.k 2解析：选 D 函数y= (2k+ 1)x+b是减函数,则 2k+ 10,即k 2.3.(教材习题改编)函数f(x) =1x的最大值是()I 一X 一xB.43C.42/1 3314解析：选 DT1 x(1 x) =xx+ 1 =x - +0-i-.2.丿 441 xJ_ x34._ (教材习题改编)f(x) =x2 2x(x 2,4)的单调增区间为 _ ;f(x)max=解析：函数f(x)的对称轴x= 1 ,单调增区间为1,4 ,f(X)max=f( 2) =f(4) = 8.答案：1,485._ 已知函数f(x)为 R

4、 上的减函数，若mn,则f(m_f(n)；若f(n)；1-1，即 |x|1，且x丰0.x故1x(1,0)U(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征.在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调.A.4知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.数、指数函数等；如果是复合函数， 应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函单函数的单调性，再根据“同则增

5、，异则减”的法则求解函数的单调区间.注意单调区间只能用区间表示， 不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.学披法|91函数单调性的判断i例 1 证明函数f(x) = 2x-在(一a,0)上是增函数.X自主解答设X1,X2是区间(一a,0)上的任意两个自变量的值，且XiX2.11则f(x= 2X1,f(X2) = 2X2X1X2XiX2Xi X2 1 ，由于 1XiX2,所以XiX20,因此g(Xi) g(X2)0，即卩g(Xi)g(X2). 故g(X)在(i,+s)上是增函数.1*- 1求函数的单调区间例 2(20i2 长沙模拟)设函数

6、y=f(X)在(8,+)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=k,2单调递增区间为()A. ( , 0)B.(0，+m)C. (a, i)D. (i,+a)=2(X1X2)+1X2f(X1) f(X2)=(X1X2)ii自主解答 由f(x)2 得一 ixi.由f(x) ，得xi.2x,xi,所以 G(x)才 2, iVXVi,2X,X i.i故f?(x)的单调递增区间为(一a, i).答案C;题爭变 -若本例中f(X) = 2|X|变为f(X) = log2|X|，其他条件不变，则fk(X)的单调增区间为i一解析：函数f(X) = log2|X| ,k= 时，函数fk(x)的图象如图

7、所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0 ,2 .答案：(0, 2 由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1) 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3) 图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4) 导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.$以题试法单调性的应用L1 典题导入例 3 (1)若f(x)为 R 上的增函数，则满足f(2 m)f(m)的实数m的取值范围是(2012 安徽高考)若函数f(x) = |2x+a|的单调递增区间是3 ,+)

8、，贝 Ua=自主解答(1) f (x)在 R 上为增函数， 2 n0. m1 或m 2.ra2xa,x 2，(2)由f(x)=2,解析：选 A 由于f(x) =|x 2|x=*2x+ 2x,x0,a xx0），若f（x）在, 2 I 上的值域为., 2 I，则a=1解析： f(x) =120,x0)在I1,单调递增,所以f1=12,r1=2,1 1a2=23,解得1.拒靶褻髙手低解析：选 D 依题意，知函数图象的对称轴为从而bX在(0，+m)上是()A.增函数C.先增后减b2解析：选 B /y=ax与y=在(0，+m)上都是减函数，a0,b0,.y=ax+bx Xb2的对称轴方程x= - 2a

9、0，则一定正确的是( )A.f(4)f( 6)B.f( 4)f( 6)D.f(4)0 知f(X)在(0， +m)上递增， 所以f(4)f( 6).6.定义在 R 上的函数f(x)满足f(x+y) =f(x) +f(y)，当x0 ,则函数f(x)在a,b上有()A.最小值f(a)C.最小值f(b)解析：选 C/f(x)是定义在 R 上的函数，且f(x+y) =f(x) +f(y),f(0) = 0, 令y=x，则有f(x) +f( x) =f(0) = 0.f( X) =f(X) . f(X)是 R 上的奇函数.设X1X2，贝yX1X20.f(x)在 R 上是减函数.f(X)在a,b有最小值f(

10、b).B.减函数D.先减后增7._函数y= (x 3)|x|的递增区间是.解析：y= (x 3)|x|-x2+ 3x,x0,2x 3x,xX2 2,则f(Xi)f(X2),2y=ai 2xx2(a0 且ai).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为答案:而f(xi) f(X2)=axi+ 1xi+ 2ax2+ iX2+ 22axi+X2 2ax2xiX2+得 a#.答案:i0求下列函数的单调区间：2(1)y= x+ 2|x| + i；x1+ 2,X0,即y= *2一x+1+ 2,x0,则 2a i0.解:一x2+ 2x+ i,(i)由于y=x2 2x+ i,x 0,xl 时，函数y=al 2x

11、x的增区间是(g, 1)，减区间是(一 1,+)； 当 0a0 且f(x)在(1,+g)内单调递减，求a的取值范围.解：(1)证明：设X1X20 ,X1X20,f(X1)f(X2), f(x)在(一g,2)内单调递增.设 1X10,X2X10,要使f(X1) f(X2)0 ,只需(X1a)(X2a)0 恒成立，- a0,判断函数f(x)的单调性；若abf(x)时x的取值范围.解：(1)当a0,b0 时，任意X1,X2 R,X1X2,贝Uf(X1) f(X2) =a(2X1 2x2) +b(3x1一 3x2)./ 2x10?a(2x1 2x2)0 ,3x10?b(3x1 3x2)0 ,f(X1)

12、 f(X2)0，函数f(x)在 R 上是增函数.同理，当a0,b0,当a0 时，；X则xlog1.5同理，当a0,b0 时，Ix1时，f(x) = In x,则有()解析：选 C 由f(2 x) =f(x)可知，f(x)的图象关于直线x= 1 对称，当xl时，f(x)=Inx，可知当x1时f(x)为增函数，所以当x1 时f(x)为减函数，因为 |2 1|，所以f弓 f110,故y2= 4+2 xx+；1= 4+2. x2 2x+ 3 = 4 +2x+12+ 4，根据根式内的二次函数，可得4Wy2w8,故Ky1 时，有f(x)0.(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的单调性并加以证明；(

13、3) 若f(4) = 2,求f(x)在1,16上的值域. 解：(1)T当x0,y0 时，xf=f(x) f(y),.令X=y0，贝yf(1) =f(x) -f(x) = 0.设xi,X2 (0 ,+)，且xiX2,11-1 -123则xlog1.5-2VAf3 f(2)f2B.ff(2)fCf 1f3f(2)D.f(2)f* 0,y0 都有fx=f(x) f(y)，当.f(X2)f(xi)，即f(x)在(0,+s)上是增函数.(3)由 知f(x)在1,16上是增函数. f(x)min=f(1) = 0,f(x)max=f(16), f(4) = 2,由f y=f(x) -f(y),知f16=f

14、(16) -f(4),k4Jf(16) = 2f(4) = 4,f(x)在1,16上的值域为0,4.|裁佛备邃眩1. 求函数f(x) =x2+x- 6 的单调区间.解：设u=x2+x-6,y=u.由x+x 60,得xw 3 或x2.结合二次函数的图象可知，函数u=X2+X-6 在(一8,3上是递减的，在2 ,+)上是递增的.又函数y=u是递增的，函数f(X)= x2+x-6 在(-8,-3上是递减的，在2,+8)上是递增的.2.定义在 R 上的函数f(x)满足：对任意实数m n,总有f(m+n) =f(n) f(n),且当x0 时，0f(x)f(1),B=(x,y)|f(ax-y+.2)=1,

15、aR,若AnB=?，试确定a的取值范围.解：(1)在f(m+n) =f(m) f(n)中，令 m= 1,n= 0,得f(1) =f(1) f(0).因为f(1)丰0,所以f(0) = 1.(2)任取X1,X2 R,且X10,所以 0f(X2xi)0 时，0f(X)1 ,1所以当x10.fX又f(0) = 1，所以综上可知，对于任意的X1 R,均有f(x0.所以f(X2) f(X1) =f(X1)f(X2 X 1f(1)，即x+y1.f(axy+ 2) = 1 =f(0) ,即卩axy+ 2 = 0.Kaw1.1由于X1X20,所以X1-X20，因此f(X1) f(X2)0 ,即f(X1)f(X2), 故f(X)在(a,0)上是增函数.-由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、 作差或作商、变形、判断)证明；可导函数则