数理方法复习万贤纲

1、数学物理幂级数展开课程回顾 复数（定义、运算规则、导数、函数）定理 例题 计算积分(z - a)n dzI = L 解：I = (z - a)n dz如a不在L内，I 当a在L内时，如 n 0，I 0；=0C2p(reij )n d(reij )=0=0,n -12p如 n 0，可以定理的推广j= rn+1i(n+j =e1)i d用2pi, n = -10上次课程回顾 复变函数积分 （性质,科西-定理）定理、不定积分、公式 dz计算积分 1z3 z10 2 |z| a分别讨论a 1及a 2的两种情况幂级数展开 复级数 幂级数和展开延拓展开 孤立奇点 本章小结11 t1 t t2 tk |t|

2、 1 11 z21-z2 z4 z6 |z| 1 幂级数和展开12 i f z11 t 1 t t2 t3 1f z 1 zd 1 z01z z0 z 0 z0 z z0 z z01 k 0z z0 z0z z0 z01 z0 1 z0 k 1 2 z0 k 0z z0 z012 i12 if z f z0d k 0 k d z z0 k2 i1n! k n f z0 k 1 d zz0 f z0 幂级数和展开展开 问题： 一个幂级数是其收敛圆内的定理：函数 一个在圆|z-b|=R 内的函数f(z)可以展开为幂级数f(z) = a (z-b)kk=0k该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；以b为中

3、心的展开式是唯一的；系数 a =f(n)(b)/n!k应用积分公式，系数也可以表示为f (x )- b ) n + 11n!12p i( n )Ld xa n=(b ) =f(x幂级数和 展开展开 基本 f(z) = 例1：（用定理）k=0ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n!题目： 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。解答：f(z) =f(n)(z)f(n)(0)exp(z)= exp(z)= 1an= 1/n!f(z) =k=0zk/k!该幂级数在圆|z| 内收敛；幂级数和 例2：展开题目： 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。解答：f(z) = 1/(1-

4、z)f(z)f”(z)= 1/(1-z)2= 2/(1-z)3f(n)(z)f(n)(0)an= 1f(z) = n!/(1-z)n+1= n!zkk=0该幂级数在圆|z|1内收敛；幂级数和展开 发散（用性质）线性组合的展开和函数的积分 =和函数的导数 = 展开之线性组合。各项积分之和；各项导数之和； 例3：题目： 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。解答：cosh(z) = exp(z)+exp(-x)/2exp(z) =k=0zk/k!exp(-z) =cosh(z) =k=0(-z)k/k!zk/k!+ (-z)k/k!/2 z2k/(2k)!k=0k=0该幂级数在圆|z|

5、内收敛；幂级数和 例4： 题目： 在b = 解答：展开0的邻域上把 f(z)=ln(1-z)展开。 例5：= -(1-z)-1dzln(1-z)(1-z)-1 = zkk=0ln(1-z)= -k=0dz = -k=0zkzk+1/(k+1) 题目： 在b 解答：f(z)= (1-z)-2 展开。= 0的邻域上把= (1-z)-1(1-z)-2(1-z)-1(1-z)-2= zkk=0zk = = kzk-1k=0k=0幂级数和展开12 i f z11 t 1 t t2 t3 1f z 1 zd 1 z01z z0 z0 z0 z z0 z z01 k 0z z0 z0z z0 z01 z0

6、1 z0 k 1 2 z0 k 0z z0 z012 i12 if z f z0d k 0 k d z z0 k2 i1n! k n f z0 k 1 d zz0 f z0 展开12 i f a a z分f z 有极点和没有极点证明f z dal12 i12 i若f z 没有极点f z f a a z f a a z dadalclcl是绕z点的一个非常小的园展开展开 （证明见书上） 问题： 一个双边幂级数是其收敛环内的定理：函数 一个在环R1|z-b|R2内幂级数的函数f(z)可以展开为双边 k= ak(z-b)kf(z) =该幂级数在环R1|z-b|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z

7、展开。 解答： 例2：z2k/(2k)!cosh(z)=k=0z2k-1/(2k)!cosh(z)/z=k=0 题目： 在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。 解答：tk/k!exp(t)=k=0z-k/k!exp(1/z)=k=0双边幂级数和 例3：展开题目： 以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。分析因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,所以它以b=0为中心的环有两个0|z| 1和1|z|，需要分别展开解答：在环域0|z| 1中zkf(z)=1/z(z-1)=-1/z(1-z)=-1/zk=0zk-1-k=0在环域f(z)1|z|中1/z(z-1) = 1/z2(

8、1-z-1)= 1/z2k=0z-k=z-k-2k=0孤立奇点 概念 奇点：定义：函数的非举例：点；：初等函数在其定义域内； 孤立奇点：定义：举例：邻域的奇点；特点：本身无定义，对周围有影响；：只有有限个奇点的函数不非孤立奇点；孤立奇点 原则：根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来：极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn； 极限不，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ； 性质奇点邻域展开式可去奇点：(n阶)极点：本性奇点：无负幂项；有限个负幂项， (最高为n次) ；无限多个负幂项；本章小结 双边幂级数 形式：s(z) = k

9、=- ak(z-b)k 性质：在环域内一致收敛展开 条件：在环R1|z-b|R2内 定理：可以展开为双边幂级数 的函数f(z) k= ak(z-b)kf(z) = 孤立奇点 可去奇点：极限有限， 邻域展开式无负幂项； (n阶)极点：极限无穷， 邻域展开式有有限个负幂项； 本性奇点：极限不，邻域展开式有无限多个负幂项。级数展开展开方式有很多：1）用展开2） 利用已知的展开级数3） 级数乘除法(把待求的函数为2部分相乘除，每部分4）特殊)常用的级数： n 0 n 01n!11 z|z| zn|z| ezzn1 n 0 1 n 2n 1 !sin zz2n 1|z| n 0 1 n 2n !cos

10、zz2n|z| z 3 z 1 z 2 例题：求函数f z 在z 0和z 1处的幂级数展开1）在|z| 1时,这时函数z 311 z12 zf z z 3 z 1 z 2 n 012n 1 z znzn 3 n 0 n 0 n 01 2n 22n 112n 1 z 3 1 znzn2)在1 |z| 2的展开z 3 z 1 z 2 1/z1z 112 zf z 3 z 1/21 z/2 z 3 1 1/z n 0 n 01zn 112n 1 z 3 zn 3）在1 |z| z 31z 21z 1f z 3 z z 1 z 2 1/z1 2/z1/z1 1/z z 3 课程回顾 复数（定义、运算规

11、则）复变函数 举例fn = (1+i)n, nN znexp(z)=exp(x+iy)=exp(x)exp(iy)f(n)f(z)f(z)=exp(x)(cosy+isin(y)= sinz=(eiz-e-iz)/2i= ln(z)=ln(|z|eiArgz)=ln|z|+i Argzf(z)f(z)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)复变函数及其导数 复变函数的求导法则与实变函数完全相同；函数条件-曲线积分法,凑全微分法,不定积分法积分 复变函数积分 （=2个实变函数的积分）定理、不定积分、公式 重要性质画辅助线幂级数展开 复级数 幂级数收敛判据比值收敛法判据（收敛半径）展开 幂级数展开展开 奇点。孤立奇点思路求积分展开例题 见page 57数学物理留数定理课程回顾 复数（定义、运算规则）复变函数 举例fn = (1+i)n, nN znexp(z)=exp(x+iy)=exp(x)exp(iy)f(n)f(z)f(z)=exp(x)(cosy+isin(y)= sinz=(eiz-e-iz)/2i= ln(z)=ln(|z|eiArgz)=