第二节柯西中值定理和不定式极限ppt课件

1、2 2 柯西中值定理柯西中值定理和不等式极限和不等式极限 一一 柯西中值定理柯西中值定理 定理(6.5) 设 )(xf、)(xg满足 (i) 在区间 ,ba上连续， (ii) 在 ),(ba内可导 (iii) )(, )(xgxf不同时为零; (iv) )()(agbg 则至少存在一点 ),(ba 使得 )()()()()()(gfagbgafbf 2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限P即 要点： 由拉格朗日中值定理知： 满足定理条件的曲线上任意两点的弦， 必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题： 例1： 设 )(xf在 （a ， b） 可导， 且)( xf在

2、 a， b 上严格递增， 若)()(bfaf，则对一切),( bax有 )()()(bfafxf。 证明：记A（)(,afa），)(,(bfbB，对任意的x),( ba，记C（)(,xfx），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，),(),(bxxa使得)(),(ff分别等于AC，BC弦的斜率，但因f 严格递增，所以)(f )(f ，从而 axafxf)()(xbxfbf)()( 注意到)()(bfaf，移项即得)(xf)()(bfaf， ),( bax ),(),)()()(baabfafbf 进行思考解题： 例2：设)(xf上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在),( bac使得 )

3、(4)()()2(2)(2cfabafbafbf 证：上式左端 )()2()2()22()()2()2()()()2)(2)(afabafbafabbafafbafbafbfafbafbf 作辅助函数 )()2()(xfabxfxg则上式 =2)()2)()()2(abgabagagbag ，)2,(baa =) 1 , 0 (,22)2(2)()2( abababfabfabf 4)()(2abcf ，其中 ),(2baabc 3、作为函数的变形 要点：若)(xf在a，b上连续，（a，b）内可微，则在a，b上 )()()(00 xxfxfxf （介于x与0 x 之间） 此可视为函数)(xf的

4、一种变形， 它给出了函数与导数的一种关系， 我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设)(xf在, 0上可导，0) 0 (f，并设有实数A0，使得)(xfA)(xf在, 0上成立，试证, 0)(xf), 0 x 证明 ：)(xf在0，A21上连续，故存在1xA210 使得 )(1xf=Axo21max)(xf=M 于是 M=111)(0)() 0()(xfxffxfA)(f1x )(21f M21。 故M=0，)(xf在0，A21 上恒为0。 用数学归纳法， 可证在一切AiAi2,21 （ i=1,2,）上恒有)(xf=0,所以)(xf=0, x, 0。 利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1.

5、 证明中值点的存在性: 例 1 设函数f 在区间 , ba 上连续, 在 ),( ba 内可导, 则 ),( ba, 使得 )()(afbf)(lnfab. 证 在Cauchy中值定理中取 xxgln)(. 例例2 2 设函数f 在区间 , ba 上连续, 在 ),( ba 内可导, 且有0)()(bfaf. 试证明: 0)()( ),(ffba. 2 2. . 证明恒等式: 例例2 2 设函数f 和g可导且 , 0)(xf又 . 0gfgf 则 )()(xcfxg. 证明 0) (fg. 例例3 3 设对R , hx, 有 2 | )()(|Mhxfhxf, 其中M是正常数. 则函数)(xf

6、是常值函数. (证明 0 f ). 2 2. . 证明不等式: 例例4 4 证明不等式: 0h时, harctghhh21. 例例5 5 证明不等式: 对 n ，有nnn1) 11 ln(11. 证明方程 0cossinxxx 在 ), 0( 内有实根. 例例2 2 证明方程 cbacxbxax23423 在 ) 1 , 0 ( 内有实根. 四 、小结 本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性； 难点是用辅助函数解决问题的方法。 1拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。

7、拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁， 是数学分析的重要定理之一。 2构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂 问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。 二 不定式的极限 一. 00 型: Th 6.6 (LHospital法则 ) 若函数 )(xf和)(xg满足： (i) 0)(lim)(lim00 xgxfxxxx (ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且0)( xg； (iii

8、) AAxgxfxx()()(lim0可为实数，也可为 ） 则 Axgxfxx)()(lim0 ( 证 ) 注意: 若将定理中的x 换成 xxxxxx,00， 只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。 例1 .cos1lim2xtgxx 例2 )1ln()21 (lim2210 xxexx. 例3 xxex1lim0. ( 作代换xt 或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4 xxxxsin1sinlim20. ( LHospital法则失效的例 ) 二. 型不定式 极限: Th 6.7 (LHospital法则 ) 若函数 )(xf和)(xg满足： (i) )(lim)(l

9、im00 xgxfxxxx (ii) 在点0 x 的某右邻域内二这可导，且0)( xg； (iii) AAxgxfxx()()(lim0可为实数，也可为 ） 则 Axgxfxx)()(lim0 例例5 5 ) 0 ( ,lnlimxxx. 注意1 )()(lim0 xgxfxx 不存在，并不能说明 )()(lim0 xgxfxx 不存在（为什么？） 注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件 例 求极限 xxxxsinlim. ( LHospital法则失效的例 ) 三. 其他待定型: 0 型： 这里的0表示极限为零的函数， 即无穷小

10、量， 不是真正的零， 这里的是无穷大量， 即极限为的函数， 不是真正的， 利用无穷小与无穷大的关系， 有： 01,01， 从而 取倒）（取倒）00/ 11(00/ 1100 这就是说通过其中一项“取倒”可将 0 型既化成 00 型，也可以化成 型。但究竟应化成哪种形式，要以 )()(lim0 xgxfxx 的计算方便为标准。 例例5 5 计算 .lnlim0 xxx 若将“x取倒”化成 型，则 xxxlnlim00lim/ 1/ 1lim/ 1lnlim0200 xxxxxxxx 若将“xln 取倒”化成 00 型，则 200)/(ln1limln/ 1limxxxxxx 比原来还复杂 所以，一般情况下，尽量不要对 xln 取倒。 1 型： 1ln1ln1 ee 化成了 0 型 例8 1,)(coslim210 xxx 型 )coslnlimexp()cosln1exp(lim)(coslim2020102xxxxxxxxx 0 型： ln0ln00 ee 化成了 0 型 例9 xxxxln12)1(lim ， 0 型 00 型： 0ln00ln000 ee 化成了 0 型 xxxln110)(sinlim 型： 0000000101/ 11/ 11 化成了 00 型 例10 xxxln111lim