第二章分离变量3ppt课件

1、2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法 通过前面课程的学习，我们已经了解，用分离变量法求通过前面课程的学习，我们已经了解，用分离变量法求解偏微分方程定解问题，这个定解问题必须是线性、齐解偏微分方程定解问题，这个定解问题必须是线性、齐次方程、齐次边界条件。那么对于非齐次方程和非齐次次方程、齐次边界条件。那么对于非齐次方程和非齐次边界条件如何进行处理？边界条件如何进行处理？非齐次方程、齐次边界条件非齐次方程、齐次边界条件考虑如下定解问题：考虑如下定解问题：22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x tx l ttx 00,0 (2.38)xx luut00( ),( ),0 (2.3

2、9)ttuuxxxlt 从物理上看：从物理上看：在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时的强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时的振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。引起的振动的合成。从数学上看：从数学上看：就是将将弦的振动位移分解为强迫力引起振动的位移与就是将将弦的振动位移分解为强迫力引起振动的位移与初始状态引起振动的位移的和。即初始状态引起振动的位移的和。即( , )V x t设设强迫力引起振动的位移；强

3、迫力引起振动的位移；( , )W x t初始状态引起振动的位移。初始状态引起振动的位移。即即( , )( , )( , )u x tV x tW x t（2.40） ( , )V x t满足如下定解问题：满足如下定解问题：22222( , ),0,0VVaf x txl ttx00,0 xx lVVt000,0,0ttVVxlt（2.41） 22222,0,0WWaxl ttx00,0 xx lWWt00( ),( ),0ttWWxxxlt（2.42） ( , )W x t满足如下定解问题：满足如下定解问题：22222000+ + ( , ),0,0+ + 0,0+ ,+ ,0 xx lttV

4、Vaf x txl ttxVVtVVxlt22222000 ( ) ( )xx lttWWatxWWWWxxt22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttVVaf x txl ttxVVtVVxlt22222000,0,00,0( ),( ),0 xx lttWWaxl ttxWWtWWxxxlt22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttVVaf x txl ttxVVtVVxlt22222000,0,00,0( ),( ),0 xx lttWWaxl ttxWWtWWxxxlt( , )( , )22222()()( , ),0,0u x tu x

5、tVWVWaf x txl ttx ( , )( , )0()()0,0u x tu x txx lVWVWt ( , )( , )00()()( ),( ),0u x tu x tttVWVWxxxlt 不难验证，若不难验证，若V是是2.41的解，的解，W是是2.42的解，那么的解，那么uV+W一定就是原定解问题的解。一定就是原定解问题的解。00,0 (2.38)xx luut00( ),( ),0 (2.39)ttuuxxxlt 22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x tx l ttx 问题问题2.42可以直接用分离变量法求解，因此现在的可以直接用分离变量法求解，因此现在的

6、问题只要讨论如何解问题问题只要讨论如何解问题2.41就行了。就行了。22222,0,0WWaxl ttx00,0 xx lWWt00( ),( ),0ttWWxxxlt（2.42） 22222( , ),0,0VVaf x txl ttx00,0 xx lVVt000,0,0ttVVxlt（2.41） 复习：参数常数变易法复习：参数常数变易法下列形式的一阶常微分方程下列形式的一阶常微分方程假设假设( )0Q x ，则方程成为，则方程成为( )( )yP x yQ x一阶线性非齐次一阶线性非齐次( )0yP x y一阶线性齐次一阶线性齐次一阶线性齐次常微分方程的解法一阶线性齐次常微分方程的解法(

7、 )0yP x y是可分离变量方程。分离变量，得是可分离变量方程。分离变量，得( )dyP x dxy ( )dyP x dxy 两边积分，得两边积分，得ln( )lnyP x dxC所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为( )P x dxyCe一阶线性非齐次常微分方程的解法一阶线性非齐次常微分方程的解法齐次方程与非齐次方程的差异，在于齐次方程与非齐次方程的差异，在于( )0Q x 。因而，我们可以设想它们的通解之间会有一定的联系。因而，我们可以设想它们的通解之间会有一定的联系。设设1( )yy x，是齐次方程的一个解，则当，是齐次方程的一个解，则当C为常数时，为常数时，1( )yCy

8、x1( )yy x仍然是仍然是( )0yP x y的一个解。它不可能满足线性非齐次方程。如果我们把的一个解。它不可能满足线性非齐次方程。如果我们把C看作看作x的函数，并将的函数，并将1( )( )yC x y x代入线性非齐次方程中，得代入线性非齐次方程中，得设设1( )( )yC x y x是非齐次方程的解，将是非齐次方程的解，将1( )( )yC x y x及其导数及其导数11( )( )( )yC x y xC x y代入方程代入方程( )( )yP x yQ x常数变易常数变易得得111( )( ) ( ) ( ) ( )yyC x yC x yP x C x yQ x 111( )(

9、 ) ( ) ( ) ( )yyC x yC x yP x C x yQ x 即即111( )( )( ) ( )C x yC x yP x yQ x因因1( )yy x是对应线性齐次方程的解，所以是对应线性齐次方程的解，所以11( )0yP x y因而，有因而，有1( )( )C x yQ x1( )( )C xQ x y两边积分，得两边积分，得1( )( )C xQ x ydx C1( )( )C xQ x ydx C1( )( )yC x y x将将代入到代入到得得111( )( )yCy xyQ xy dx在实际运算中，我们取在实际运算中，我们取( )1P x dxye于是，得到一阶线

10、性非齐次常微分方程的通解公式：于是，得到一阶线性非齐次常微分方程的通解公式：( )( )1( )P x dxP x dxyeCyQ x edx22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)( ),( ),0 (2.3)xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt齐次方程、齐次边界条件下，定解问题齐次方程、齐次边界条件下，定解问题的解为的解为11( , )( , ) (cossin)sinnnnnnu x tu x tn an anCtDtxlll11( )1( , )( , ) (cossin)sin ( )sinnnnnnnutnnu x tu x tn an anCtDt

11、xlllnu txl 22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttVVaf x txl ttxVVtVVxlt而定解问题而定解问题（2.41） 只比齐次方程多一个自由项只比齐次方程多一个自由项f(x,t)，所以设想，所以设想2.41的解的解22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)( ),( ),0 (2.3)xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt有如下形式：有如下形式：1( , )( )sinnnnV x tv txl（2.43） ( )( )yP x yQ x( )0yP x y一阶线性非齐次一阶线性非齐次一阶线性齐次一阶线性齐次1( )yy

12、 x是一个特解是一个特解1( )yCy x也满足方程也满足方程1( )( )yC x y x是非齐次方程的解是非齐次方程的解1( )( )C xQ x y1( )( )C xQ x ydx C其中其中( )nv t是待定的函数。是待定的函数。也按特征函数系展开成如下的也按特征函数系展开成如下的级数：级数： 1( , )( )sinnnnf x tf txl（2.44） 其中其中 为了确定为了确定( )nv t，将自由项，将自由项f(x,t)02( )( , )sinlnnf tf x txdxll1( , )( )sinnnnV x tv txl（2.43） 22222( , ),0,0VVa

13、f x txl ttx将将2.43及及2.44代入代入 得得22221( )( )( )sin0nnnna nnv tv tf txll（2.45） （2.44） 1( , )( )sinnnnf x tf txl22221( )( )( )sin0nnnna nnv tv tf txll（2.45） 2222( )( )( )0nnna nv tv tf tl即即2222( )( )( )nnna nv tv tf tl我们又得到一个常微分方程。我们又得到一个常微分方程。因为因为sinnxl是线性无关的，所以只有是线性无关的，所以只有再将再将2.43代入代入2.41中的初始条件得中的初始条件

14、得 1( , )( )sinnnnV x tv txl（2.43） 22222( , ),0,0VVaf x txl ttx00,0 xx lVVt000,0,0ttVVxlt（2.41） (0)0,(0)0nnvv同样可得同样可得因而，只需解如下的常微分方程初值问题：因而，只需解如下的常微分方程初值问题：2222( )( )( )nnna nv tv tf tl(0)0,(0)0,(1,2,)nnvvn（2.46） 用拉普拉斯变换法解这个二阶常系数非齐次常微分方程用拉普拉斯变换法解这个二阶常系数非齐次常微分方程 拉普拉斯变换理论又称为运算微积分，或称为算子微积分是在19世纪末发展起来的首先是

15、英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法 解：解：在方程在方程2.46）2222( )( )( )nnna nv tv tf tl(0)0,(0)0,(1,2,)nnvvn得两端取关于得两端取关于t的拉普拉斯变换，得的拉普拉斯变换，得22222( )( )( )nnna np UpUpFpl( )nUp其中其中和和( )nFp分别是分别是( ),( )nnv tf t得拉普拉斯变换得拉普拉斯变换（2.46）222221( )(

16、)nnUpFpa npl由于由于222221a npl的逆拉普拉斯变化为的逆拉普拉斯变化为1sinn atn al利用拉普拉斯变化的卷积性质，得利用拉普拉斯变化的卷积性质，得01()( )( )sintnnn a tv tfdn al所以，所以，011()( , )( )sinsintnnn a tnV x tfdxn all22222,0,0WWaxl ttx00,0 xx lWWt00( ),( ),0ttWWxxxlt（2.42） 将这个解与将这个解与2.42）22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x tx l ttx 00,0 (2.38)xx luut00( ),( )

17、,0 (2.39)ttuuxxxlt 的解加起来，就得到原定解问题的解加起来，就得到原定解问题2.372.39的解。的解。还可以用冲量定理法求解非齐次振动方程定解问题。还可以用冲量定理法求解非齐次振动方程定解问题。22222( , ),0,0VVaf x txl ttx00,0 xx lVVt000,0,0ttVVxlt（2.41） 冲量定理法的前提是初始条件均取零值。冲量定理法的前提是初始条件均取零值。这里所给的求解问题这里所给的求解问题2.41的方法，其实质是将方程的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开。随着方

18、程与边界条件的不同，特征函数族也就不同，。随着方程与边界条件的不同，特征函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的特征函数展开。所但总是把非齐次方程的解按相应的特征函数展开。所以这种方法也叫做特征函数法。以这种方法也叫做特征函数法。 22222( , ),0,0VVaf x txl ttx00,0 xx lVVt000,0,0ttVVxlt（2.41） 解解 由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标系与极坐标系之间的关系标系，利用直角坐标系与极坐标系之间的关系cossinxy可将上述定解问题用极坐标可将上述定解问题用极坐标

19、, 形式：形式： 222211()12 cos2 ,02 (2.47)0,0,02 (2.48)abuuabuu 这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题。采这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题。采用特征函数法，并注意到在用特征函数法，并注意到在2.3中得到的关于圆域内拉中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的特征函数，可令问题普拉斯方程所对应的特征函数，可令问题2.47）、）、（2.48的解为的解为0( , )( )cos( )sinnnnuAnBn 代入代入2.47）2202221( )( )( )cos1( )( )( )sin12cos2nnnnnnnnAAAnnBBBn2222214( )( )( )12AAA（2.49） 221( )( )( )0(2)nnnnAAAn（2.50） 222211()12cos2uu并整理得到并整理得到0( , )( )cos( )sinnnnuAnBn 221(