第三节几何应用ppt课件

1、一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.M空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面平面.T)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量 .)( )(00yyt0

2、)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程 说明说明: 若引进向量函数若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 那么 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2

3、kzk在),0,(kRT, 故光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz

4、MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF0)(),(),(0zzMyxGF0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令令,222zyxGzyxF那么即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 z

5、xxxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导, 得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T0),(:zyxF设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 .

6、 那么 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以

7、为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(0

8、00zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为那么,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2

9、(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(nzyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0

10、t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFz